Topic outline
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ATTENZIONE dall'anno accademico 2018-19
non tengo più il corso
nell'a.a. 2018-19 il corso di MATEMATICA per CTF è tenuto dalla Prof.ssa Annalisa CUSI
IL SITO e-learning del corso si trova cliccando su Matematica (A-L)
(ovvero https://elearning.uniroma1.it/enrol/index.php?id=6978 )
gli studenti interessati sono pregati di andare alla pagina web di tale corso
Giovanna Nappo
IMPORTANTE queste pagine web riguardano il corso per gli anni accademici 2014-15 e 2015-16
per gli anni accademici 2016.17 e 2017-28 ISCRIVETEVI AL CORSO relativo a tali anni e disponibile alla pagina
https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=4498AVVISO 17 ottobre 2016
APPELLO STRAORDINARIO NOVEMBRE 2016
ALCUNI STUDENTI MI HANNO RICHIESTO UN APPELLO STRAORDINARIO di MATEMATICA CTF per novembre, COLORO CHE SONO INTERESSATI SONO PREGATI DI METTERSI IN CONTATTO CON ME: la data non è stabilita, ma sarà in un giorno tra il 14 e il 18 novembre 2016AVVISO 6 luglio 2016
esame SCRITTO di MATEMATICA
il compito di MATEMATICA CTF si terrà
venerdì 8 luglio ore 14,30-17,30
in AULA II
(piano terra del Dipartimento di Matematica Castelnuovo Edificio CU006)
Informazioni generali sul corso ( programma, testo, orario dell'a.a.2014-15, orario dell'a.a.2015-16 )
Diario (parzialmente ragionato) delle lezioni a.a.2015-16 dal 5 ottobre 2015 a...
Diario (parzialmente ragionato) delle lezioni a.a.2015-16 dal 14 dicembre 2015 a gennaio 2016
DOMANDE DI STUDENTI 2016 AGGIORNATO
Diario (parzialmente ragionato) delle lezioni a.a.2014-15 dall'inizio al 21 novembre 2014
Diario (parzialmente ragionato) delle lezioni a.a.2014-15 dal 24 novembre 2014 in poi
MODALITA' DELL'ESAME E REGOLE DI VALUTAZIONE AGGIORNATO
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Si tratta dell'orario provvisorio, che permette a tutti gli insegnamenti di iniziare le lezione,
MA CONTROLLATE SUI SITI DEI DOCENTI!!
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Matematica (A-L) Docente Prof. Giovanna NAPPO Anno 1° anno Tipologia Di base Crediti/Valenza 8 SSD MAT/04 - matematiche complementari Anno Accademico 2014/2015 Periodo didattico Primo semestre Obiettivi formativi del corso
Capacità di applicare correttamente - nella soluzione di problemi - e di affrontare a livello qualitativo argomenti relativi a: calcolo numerico, rappresentazione di dati, successioni, calcolo algebrico e geometria analitica, funzioni e loro grafici, derivate, integrali, equazioni differenziali, statistica e calcolo delle probabilità.Risultati dell'apprendimento
Competenze acquisite: gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di valutare lo strumento matematico adatto a descrivere un certo fenomeno, interpretare e tracciare grafici, applicare semplici strumenti statistici, effettuare stime e previsioni relativamente alle possibili soluzioni di un problema formulato nell’ambito del programma svolto. Trascrivere in linguaggio matematico un problema formulato in un settore di applicazione della matematica.
In particolare saranno in grado di comprendere e utilizzare tali argomenti nei corsi successivi, quali quelli di fisica e di chimica.Note
Valore di un credito: Le 25 ore di ciascun credito sono così ripartite: 7 ore di lezione, 3 ore di attività di esercitazione numerica, 15 ore di studio da parte dello studente.Programma
Pre-requisiti richiesti: Matematica di base comune a tutti i corsi di scuola secondaria superiore quinquennali.Programma: Scrittura e proprieta' dei numeri. Calcoli approssimati, propagazione degli errori, arrotondamenti, stime e ordini di grandezza.Equazioni e disequazioni. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi di disequazioni lineari in una incognita. Valore assoluto.Sistemi di equazioni lineari: generalita' sui determinanti. Regola di Cramer. Risoluzione grafica e approssimazione degli zeri di una funzione polinomiale.Coordinate cartesiane nel piano. Equazioni di rette; condizioni di parallelismo e perpendicolarita' fra due rette; distanza fra due punti; angolo fra due rette.Parabole con asse parallelo all'asse y. Sistemi monometrici e non. Proporzionalita' diretta e inversa. Equazione di circonferenze; equazioni particolare di ellisse, iperbole e parabola.Potenze e logaritmi in campo reale. Il numero e; logaritmo naturale.Scale logaritmiche e semilogaritmiche.Successioni aritmetiche e geometriche.Elementi di trigonometria: alcune identita' ed equazioni trigonometriche.Funzioni reali di una variabile reale (funzioni polinomiali, funzioni potenza, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche; e radicali; funzioni fratte, funzione di funzione, etc.); insieme di definizione e codominio. Operazioni su funzioni. Cenno allo sviluppo di Fourier. Funzioni con valore assoluto.Limite finito e infinito di una funzione in un punto o all'infinito. Concetto di continuita' di una funzione.Funzioni crescenti e decrescenti; massimi e minimi di una funzione; asintoti; inversa funzionale; composizione funzionale. Alcuni limiti notevoli.Derivate delle funzioni di una variabile: definizione di rapporto incrementale e di derivata e loro significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Differenziale; Formula di Taylor di 1. grado (linearizzazione di una funzione).Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto di due funzioni, della funzione composta di funzioni, delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore.Studio del grafico di una funzione con metodi qualitativi e con le derivate.Cenno alle derivate parziali per le funzioni di due variabili e al differenziale totale.Regola di De l'Hospital.Problema delle aree: approssimazione e Integrale definito: definizione e proprieta'.Teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive di una funzione e integrali indefiniti. Integrazione per decomposizione e per sostituzione. Applicazione al calcolo delle aree. Teorema della media e suo significato geometrico.Integrali di linea e di superficie (cenno).Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Esempi di equazioni differenziali del secondo ordine omogenee. Condizioni iniziali. Problema di Cauchy.Statistica: istogrammi e altre forme di rappresentazione; medie, dispersione e scarto quadratico. Distribuzione normale. Retta di regressione nelle distribuzioni a due caratteri.Elementi di calcolo delle Probabilita': definizioni, proprieta', elementi di calcolo combinatorio, probabilita' condizionata e Teorema di Bayes. Esercitazioni: Problemi di matematizzazione. Lettura e interpretazione di grafici e tabelle.Esercitazioni numeriche sugli argomenti svolti.Testi consigliati e bibliografia
V. Villani, G. Gentili, Matematica, Mc Graw Hill
(oppure V. Villani, Matematica per discipline biomediche, Mc Graw Hill e M. Menghini, M. Barsanti, Problemi di analisi, Pitagora
Attenzione il testo V.Villani "Matematica per discipline biomediche", non contiene completamente la parte sulle equazioni differenziali)
si consiglia anche di vedere
il file contiene il diario delle lezioni dell'a.a.2015-16 oltre alle Domande di studenti 2016
in formato pdf
il file contiene il diario delle lezioni dell'a.a.2015-16 oltre alle Domande di studenti 2016
in formato word
Orario lezioni 2015-16
attenzione le lezioni del venerdì sono sospese per inagibiltà dell'Aula C di Medicina Legale
CONTRARIAMENTE AL PRIMO AVVISO: Le lezioni per il momento continuano con la sospensione delle lezioni del venerdì,
Le LEZIONI SONO CONTINUATE PER TUTTO IL PERIODO SENZA LA LEZIONE DEL VENERDI'
anche se sono state trovate due aule a disposizione:
Aula Bianchi Bandinelli, Via Antonio Scarpa 16, 190 posti
Aula 3 Caserma Sani, via Principe Amedeo 184, 100 posti
in sostituzione dell'Aula3 - ex-Ing e l’Aula C di Medicina Legale.
Giorni Ore Aule Lunedì 15:00 - 17:00 Aula A PDT (Plesso Tecce) Mercoledì
15:00 - 17:00 Aula A PDT (Plesso Tecce) Giovedì 13:00 - 15:00 Aula A PDT (Plesso Tecce) Venerdì 11:00 - 13:00 Aula C di Medicina Legale INAGIBILE Lezioni: dal 5/10/2015 al 15/01/2016 Orario lezioni 2014-15
Giorni Ore Aula Lunedì 11:00 - 13:00 Aula C di Medicina Legale Lunedì 15:00 - 17:00 Aula A PDT (Plesso Tecce) Mercoledì 15:00 - 17:00 Aula A PDT (Plesso Tecce) Venerdì 11:00 - 13:00 Aula C di Medicina Legale Lezioni: dal 1/10/2014 al 15/01/2015 -
Prof. Giovanna NAPPO
Professore Associato
SSD: MAT/06- Probabilità e Statistica MatematicaStruttura di afferenza: 
Dipartimento di Matematica Tel: 0649913262 Email: nappo@mat.uniroma1.it Fax: 0644701007 Ricevimento studenti: studio n. 109, Dipartimento di Matematica "Guido Castelnuovo" (I piano, vicino alle segreterie)
martedì 16.00 - 18.00inoltre:
lunedì e mercoledì 17.00 - 18.00 (solo primo semestre)
Interessi: Settore Disciplinare Mat 06: Probabilità e Statistica Matematica
web page: -
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18 giugno 2016
CALENDARIO esame orale di MATEMATICA
ore 10-13 AULA B ore 13,30 -16 AULA F
Gli orari seguenti sono indicativi (se avete dei problemi con gli orari fatemi sapere)
COLACI PIERLUIGI martedì 21 giugno ore 10,15 AULA B
CRISTIANO MARCO martedì 21 giugno ore 11 AULA B
GIACHIN LUDOVICA martedì 21 giugno ore 12 AULA B
GUARNIERI MICOL martedì 21 giugno ore 13, 30 AULA F
IPPOLITI LUCA martedì 21 giugno ore 14,30 AULA F
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10 giugno 2016
Lo scritto di Matematica (CTF) si tiene il 13 giugno in AULA II (piano terra del Dipartimento di Matematica) ore 14,30- 17,30
Gli orali saranno concordati con gli studenti ammessi all'orale.
- 19 ?? febbraio 2016
AVVISO CALENDARIO (tentativo)
Ho prenotato l'aula F (in attesa di approvazione) per gli esami orali nel pomeriggio inizio ore 15,30 nei giorni
martedì 23 mercoledì 24 e giovedì 25 febbraio.
CALENDARIO TENTATIVO
come al solito se avete problemi di sovarpposizione con altri esami o di orario treni è ancora possibile fare qualche spostamento.
martedì 23 febbraio inizio ore 15,30
1. COSTANZI
2. DE SANO
3. FIGLIOLI
4. AROMOLO
5. CANALELLA
6. CRETA
mercoledì 24 febbraio inizio ore 15,30
7. CHILLOCI
8. DI LELIO
9. CASTIELLO
10. CARFORA
11. LA FORTEZZA
12. GIORGI M.
giovedì 25 febbraio inizio ore 15,30
13. GIANCARLI
14. GIUNTA
15. CAMPOSECCHI
16. BERTO
17. LEVA
AVVISO
Ieri 16 febbraio hanno sostenuto l'esame
CORIZZA, D'ANNIBALE, DE LUCA, DELLE CHIAIE, LANCIA e LOLLI
Per gli esami orali di questa settimana ho prenotato l'aula F del Dipartimento di Matematica sia mercoledì 17 febbraio, che giovedì 18 febbraio.
CALENDARIO
mercoledì 17 febbraio
ore 14/14,30 circa consegna compiti (mio studio stanza 109 o AULA F)
ore15 circa inizio orali di
LUCIANI , GIZZI e DE FLORENTIIS (AULA F)
ore 16,30/17 ancora qualche consegna compiti (mio studio stanza 109 o AULA F)
Giovedì 18 febbraio
ore 10 circa (AULA F)
LOMBARDI, CICERONE, FACCIOLA' e FALASCA
(anche domani sarà possibile vedere alcuni compiti nel pomeriggio)
Tutti gli altri ammessi (lista qui sotto) la settimana prossima
(sul voto ho ancora qualche controlla da fare, ma quando avrò controllato mi metterò in contatto con lo studente sulla posta ufficiale per comunicare il voto)
IN ORDINE ALFABETICO
AROMOLO
BERTO
CAMPOSECCHI
CANALELLA
CARFORA
CASTIELLO
CHILLOCI
CICERONE
COSTANZI
CRETA
DE SANO
DI LELIO
FIGLIOLI
GIANCARLI (conferma per la settimana prossima?)
GIORGI Mirko
GIUNTA
LA FORTEZZA
LEVA
Farò il calendario prossimamente.
- mercoledì 17 febbraio 2016
Ieri 16 febbraio hanno sostenuto l'esame
CORIZZA, D'ANNIBALE, DE LUCA, DELLE CHIAIE, LANCIA e LOLLI
Per gli esami orali di questa settimana ho prenotato l'aula F del Dipartimento di Matematica sia mercoledì 17 febbraio, che giovedì 18 febbraio.
CALENDARIO
mercoledì 17 febbraio
ore 14/14,30 circa consegna compiti (mio studio stanza 109 o AULA F)
ore15 circa inizio orali di
LUCIANI , GIZZI e DE FLORENTIIS (AULA F)
ore 16,30/17 ancora qualche consegna compiti (mio studio stanza 109 o AULA F)
Giovedì 18 febbraio
ore 10 circa (AULA F)
LOMBARDI, CICERONE, FACCIOLA' e FALASCA
(anche domani sarà possibile vedere alcuni compiti nel pomeriggio)
Tutti gli altri ammessi (lista qui sotto) la settimana prossima
(sul voto ho ancora qualche controlla da fare, ma quando avrò controllato mi metterò in contatto con lo studente sulla posta ufficiale per comunicare il voto)
IN ORDINE ALFABETICO
AROMOLO
BERTO
CAMPOSECCHI
CANALELLA
CARFORA
CASTIELLO
CHILLOCI
CICERONE
COSTANZI
CRETA
DE SANO
DI LELIO
FIGLIOLI
GIANCARLI (conferma per la settimana prossima?)
GIORGI Mirko
GIUNTA
LA FORTEZZA
LEVA
Farò il calendario prossimamente. - 24 gennaio 2016
per gli esami orali ho prenotato l'aula F del Dipartimento di Matematica sia martedì 26 che giovedì 28 gennaio.
alle 15 circa iniziano gli orali di color che desiderano sostenere l'esame domani. Sempre domani, domani dalle 16,30 circa fino alle 19 potrete vedere i compiti corretti dei seguenti studenti (ossia di coloro che hanno chiesto di sostenere l'esame questa settimana)
Proseguirò con la correzione e quindi l'elenco potrebbe allungarsi.
Desideri
Cervelli
Colaci
De Luca
Alla
Argirò
Colalillo
Bozzi
Luciani
Ippoliti
Fedeli
Debenedictis
Donà
Arnesano
Di Lelio
Ialongo
Berto
Del Cioppo
Gizzi
Giunta
Leva
Arcà
Costabile
- venerdì 8 gennaio 2016:
RECUPERO LEZIONI PERSE: per recuperare le lezioni perse a novembre 2015, ho chiesto di poter utilizzare
l'aula A del Plesso TECCE martedì 12 gennaio 2016 dalle 16 alle 18.
Tuttavia, poiché non so se avrò la disponibilità dell'aula, è possibile che lunedì 11 gennaio e mercoledì 13 gennaio le lezioni termino alle ore 18 invece che alle ore 17 (ovviamente non faremo tre ore di seguito, ma ci saranno delle pause)
Ho inoltre chiesto sempre l'aula A del Plesso Tecce per i giorni martedì 19 e mercoledì 20 gennaio ore 14-16 per ricevimento collettivo in vista dell'esame del 22 gennaio.
- venerdì 20 novembre
AVVISO PER GLI STUDENTI ISCRITTI nell'a.a 2015-16 SULLA PROVA DI AUTOVALUTAZIONE
AGGIORNATO E CON LE REGOLE
La prova di autovalutazione si terrà lunedì 23 novembre ore 15-17 in AULA A
la partecipazione dà diritto a un massimo di due punti, che saranno conteggiati nella valutazione dell'esame finale.
Alla fine della prova ci sarà la discussione degli esercizi (ore 17-17,30 circa, sempre in AULA A)
La prova serve anche a voi per rendervi conto di quello che avete capito e a me per capire la vostra preparazione fino ad adesso.
IMPORTANTE per la prova di autovalutazione, che può valere fino a due punti, è necessario ricordare le regole generali per gli esami
RICORDATE DI PORTARE UN DOCUMENTO DI IDENTITA' (FONDAMENTALE, altrimenti come faccio a sapere chi siete?)
per gli esami vale anche
SI PUO' USARE UN LIBRO DI TESTO (anche due), e una CALCOLATRICE SCIENTIFICA
Tuttavia potete portare le fotocopie degli appunti che vi ho dato/segnalato a lezione (ossia le lezioni della Prof.ssa Torre e gli appunti che vi ho dato io)
SU RICHIESTA DI ALCUNI STUDENTI AGGIUNGO CHE POTETE PORTARE UN FORMULARIO SCRITTO A MANO DA VOI IN UN FOGLIO PROTOCOLLO
MA
NON SI POSSONO ASSOLUTAMENTE USARE TELEFONI CELLULARI, TABLET, APPUNTI, FOTOCOPIE E FOGLI (ANCHE BIANCHI) DIVERSI DA QUELLI CHE VI DAREMO NOI.
Ovviamente potete portare i vostri quaderni, da usare per la spiegazione dopo il compito
Inoltre se qualcuno ha dei dubbi, può mandarmi un messaggio e-mail, con la domanda, e/o eventualmente con la copia di un esercizio (parzialmente svolto): cercherò di rispondervi, nei limiti del possibile.
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data non specificata (metà novembre 2015)
AVVISO PER GLI STUDENTI ISCRITTI nell'a.a 2014-15 NUOVO!!
Alcuni studenti mi hanno chiesto di poter sostenere un appello straordinario di Matematica prima di Gennaio 2016.
La data è CONFERMATA giovedì 26 novembre, in orario 16-19 AULA E del DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
Chi fosse interessato è pregato di mettersi in contatto con la docente.
ATTENZIONE NON APRIRO' UN APPELLO SU INFOSTUD: GLI ESAMI VERRANNO VERBALIZZATI A GENNAIO 2016. -
mercoledì 4 novembre
AVVISO PER GLI STUDENTI ISCRITTI nell'a.a.2015-16 domani giovedì 5 novembre la lezione inizia alle ore 13,15 e finisce alle ore 14,15. il prof. Papinutto inizia quindi alle 14,30.
AVVISO: Il ricevimento di martedì 27 ottobre è sospeso, causa esami di Laurea. Chi avesse bisogno può chiedere un appuntamento.
AVVISO: Le lezioni per il momento continuano con la sospensione delle lezioni del venerdì,
ma sembra che si siano trovate due aule a disposizione:
Aula Bianchi Bandinelli, Via Antonio Scarpa 16, 190 posti
Aula 3 Caserma Sani, via Principe Amedeo 184, 100 posti
in sostituzione dell'Aula3 - ex-Ing e l’Aula C di Medicina Legale.
- venerdì 2 ottobre 2015
AVVISO IMPORTANTiSSIMO:
CONFERMO CHE LE LEZIONI di MATEMATICA (CTF) COMINCIANO LUNEDI' 5 ottobre in Aula A del Plesso Didattico Tecce ore 15-17
Tuttavia nei giorni successivi l'orario potrebbe subire delle variazioni:
come forse già sapete
l'Aula C di Medicina Legale e l'Aula III ex-Ingegneria
sono risultate inagibili e questo fatto comporterà
CAMBI di INIZIO LEZIONI, di AULA e probabilmente anche di ORARIO
(ATTENZIONE non solo per i corsi che tengono lezione in quelle aule)
quindi SICURAMENTE,
il venerdì non sarà possibile fare lezione finché non si troverà una soluzione
DOVETE CONTROLLARE FREQUENTEMENTE GLI ORARI di TUTTI I CORSI (NON SOLO DI Matematica)
per capire se ci sono cambiamenti di inizio lezioni, di orario e/o di aula.
Per il momento l'orario del corso è quindi il seguente
ORARIO a.a. 2015-16 (PROVVISORIO, potrebbe subire variazioni)
lunedì ore 15-17 Aula A PDT (Plesso Didattico Tecce)
mercoledì ore 15-17 Aula A PDT (Plesso Didattico Tecce)
giovedì ore 13-15 Aula A PDT (Plesso Didattico Tecce)
venerdì ore 11-13 aula C a Medicina LegaleTEMPORANEAMENTE SOSPESO - 15 settembre 2015:
SPOSTAMENTO DATA ESAME SCRITTO DI MATEMATICA CANALE (A-L)
A causa della sovrapposizione con l'esame scritto di Chimica lo scritto è spostato a
lunedì 28 settembre, ore 15 - 18 (ma potrebbe protrarsi fino alle 18,30)
in AULA A del plesso TECCE
AVVISO PER GLI STUDENTI ISCRITTI nell'a.a 2014-15 Alcuni studenti mi hanno chiesto di poter sostenere un appello straordinario di Matematica prima di Gennaio 2016. Orientativamente la data dovrebbe essere a metà novembre, ma quasi sicuramente in orario 16-19 (a causa della mancanza di aule non vedo al momento altre possibiltà) Chi fosse interessato è pregato di mettersi in contatto con me. - mercoledì 17 febbraio 2016
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si tratta degli avvisi da settembre 2014 a giugno 2015 relativi all'a.a.2014-15
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18 giugno 2016
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mercoledì 1 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Unità di misura, potenze di 10, passaggio da radianti a gradi, minuti (di angolo) e secondi (di angolo). Problema della propagazione dell'errore: primi esempi.
venerdì 3 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Problema della propagazione dell'errore: errore assoluto ed errore relativo per prodotto e divisione. Esempi. Ordine di grandezza, esempi. Percentuali. Esempio sulla concentrazione di una soluzione chimica.
lunedì 6 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Esercizi in aula su ordine di grandezza e percentuali. Problema del raddoppio, in una progressione geometrica.
lunedì 6 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Equazioni e Disequazioni di primo e di secondo grado.
mercoledì 8 ottobre 2014
non c'è lezione.
venerdì 10 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Equazioni e disequazioni irrazionali. Esercizi sulle disequazione e altri, tra i quali, dal foglio 1.calcolo, gli esercizi D.20, D.27 (attenzione c'è un errore di stampa)
lunedì 13 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Esercizi tra i quali, l'esercizio D.21, dal foglio 1.calcolo,
Approssimazione di ³√ 3
Calcolo (a priori) dell'errore di (a2+ b2)/(a2 - c2)
quando
a = α ± Δα (ovvero a=3,21 ± 0,01)
b = β ± Δβ (ovvero b=1,15 ± 0,01)
c = γ ± Δγ (ovvero c=2,11 ± 0,01)
utilizando le formule per l'errore del prodotto
(nel caso in cui i valori α - Δα e β - Δβ siano entrambi positivi)
ab=αβ+ΔαΔβ ± (αΔβ+βΔα) = (circa) αβ ± (αΔβ+βΔα)
[trascurando il termine ΔαΔβ]
da cui (per b=a) a2= α2 ± (2αΔα)
a+b= α+β ± (Δα+Δβ)
a-b = α-β ± |Δα-Δβ|
e infine
(a/b) = (circa) (α/β) ± (αΔβ+βΔα)/β2.
Esercizio 1.14 : in un triangolo rettangolo, noti ipotenusa e un cateto, calcolo dell'altro cateto. Valutazione dell'errore.
lunedì 13 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Progressione aritmetica S+nd e progressione geometrica Sqn.
Esempi di aumento dello stipendio, interesse semplice e composto. Esercizio C4.1 (divisione di un segmento in 4 parti, sia con la progressione geometrica di ragione 2 che con una progressione aritmetica con S=0)
Somma dei primi termini di una progressione aritmetica e somma dei primi termini di una progressione geometrica.
mercoledì 15 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Esercizi sulle serie geometriche e aritmetiche (D.17, D18 e D19 del foglio 2.Sistemi e progressioni). Sistemi di equazioni lineari in due e tre variabili (discussione degli esempi 4.1, 4.2 e 4.3)
venerdì 17 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Lezione interrotta per malore di una studentessa (solo riepilogo sui sistemi di equazioni lineari di tre eqauzioni e tre incognite e l'esercizio 1.38)
lunedì 21 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Rappresentazioni della retta nel piano cartesiano. Esercizio C4.5)
lunedì 21 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Discussione dell'esercizio C4.4 e degli esercizi D.9 e D.35 del foglio 2.Sistemi e progressioni.
In particolare ecco la mia soluzione dell'esercizio C4.4 (che è in accordo con quella del libro) in versione semplificata:
si miscelano due composti chimici già preparati e precisamente CO (Monossido di Carbonio) e CO2 (Anidride carbonica). Supposto che sia noto che il Carbonio è presente nella miscela per il 33%, si chiede la composizione della miscela (ossia la percentuale di monossido di carbonio e quella di anidride carbonica)
In questo caso, posto
- N1 il numero delle molecole di CO presenti nella miscela con ogni molecola di peso molecolare circa 12+16
e
- N2 il numero delle molecole di CO2 presenti nella miscela
si ha che ci sono
(N1+N2) atomi di carbonio di peso atomico circa 12 (stiamo trascurando il peso degli elettroni)
ed
(N1+2N2) atomi di ossigeno di peso atomico circa 16 (stiamo trascurando il peso degli elettroni)
Il peso percentuale delle molecole di CO rispetto al peso totale è
(12+16) N1 / [(12+16) N1 + (12+32) N2]
= (3+4) N1 / [(3+4) N1 + (3+8) N2]
=7 N1 /[ 7 N1 + 11 N2] = 7/[7+11 (N2/N1)]
il peso percentuale degli atomi di carbonio rispetto al peso totale è
12 ( N1 + N2) /[12 N1 + N2) + 16 (N1 + 2 N2) ]
= 3 ( N1 + N2) /[3 (N1 + N2) + 4 (N1 + 2 N2) ]
= 3 ( N1 + N2) /[7 N1 + 11 N2 ]
= 3 (1+ (N2/N1) )/ [7 + 11 (N2/N1)]
= 33/100 (=33%) [dato del problema]
Quindi. posto x= N2/N1, ed y il peso percentuale di CO si ottiene il sistema formato dalle seguenti due equazioni (attenzione! questa è una versione del sistema più semplice della versione vista a lezione)
---------y=7/[7+11 x] (y = percentuale di CO)
e
3 (1+x)/[7+11 x]=33/100
---------- (attenzione: con questo editor non posso fare la parentesi graffa del sistema)
Dividendo per 3 ambo i membri e moltiplicando per [7+11 x], la seconda equazione diviene
(1+x) = (11/100) [7+11 x]
ossia
1+x= 77/100 + (121/100) x
che diviene ancora
1-77/100= (121/100-100/100)x
ossia
23/100=21/100 x e quindi x=23/21
a questo punto basta calcolare
y=7/[7+11 x] = 7/[7+11 (23/21)] =7 · 21 /(7 · 21 + 11 · 23 )
= 147 /(147 + 253)=0,3675 (= 36,75 %)
Chiaramente la percentuale di CO2 è quindi 63,25%.
________________________________________________________
Un punto che non è stato chiarito abbastanza (e quindi capito abbastanza) è il seguente:
perché il peso percentuale delle molecole di CO rispetto al peso totale è
(12+16) N1 / [(12+16) N1 + (12+32) N2] ?
Basta osservare che (ricordiamo che stiamo trascurando il peso degli elettroni) posto p il peso di un protone si avrebbe che il peso totale della miscela sarebbe
[(12p+16 p) N1 + (12 p +32 p) N2] = [(12+16) N1 + (12+32) N2] p
mentre il peso delle molecole di CO sarebbe
(12p+16 p) N1= (12+16) N1 p
e chiaramente
(12+16) N1 p / ( [(12+16) N1 + (12+32) N2] p )
= (12+16) N1 / [(12+16) N1 + (12+32) N2]
______________________________________________Una soluzione proposta dagli studenti implicitamente assumeva che N1 ed N2 fossero uguali, ossia che x=1, e quindi non era esatta.
_________________________________________________
altri studenti mi hanno suggerito che la miscela si formasse dalla reazione chinica di una miscela di Carbonio (al 33%) e Ossigeno (al 67%) ossia dalla seguente reazione (se non ho capito male):
inizialmente si le molecole di Ossigeno si "uniscono" a quelle di Carbonio formando CO
secondo la reazione C+O → CO
poi quelle di ossigeno rimanenti si uniscono alle molecole, secondo la reazione
CO+O → CO2.
PERO' A ME SEMBRAVA UN ESEMPIO DIVERSO (e che riguarda le reazioni chimiche e non la matematica)
--------- la soluzione pero' potrebbe trovarsi in questo modo------
Quindi, SE HO CAPITO BENE, inizialmente il 33% di Carbonio (NC atomi) si combina con altri NC atomi di Ossigeno e quindi si formano NC molecole di Monossido di carbonio, ossia CO.
Posto NO il numero di molecole di Ossigeno sappiamo che
12 NC /(12 NC+16NO)=33/100
da cui possiamo ricavare che, posto u= NO/NC,
3/(3+4 u)=33/100 ossia 100/11= 3+4u e quindi u= 67/44
A questo punto rimangono NO-NC atomi di Ossigeno che formano altrettanto molecole di Anidride Carbonica, ossia CO2.
A questo punto si hanno
NC -(NO-NC)= 2NC - NO molecole di CO ed (NO-NC) molecole di CO2.
ma allora la percentuale di molecole di CO è
y=(12+16) (2NC - NO)[(12+16) (2NC - NO) + (12+32)(NO-NC)]
= 7 (2NC - NO)[7 (2NC - NO) + 11 (NO-NC)]
= (14 NC -7 NO) /[3 NC + 4 NO]
=(14 -7 u) /[ 3 + 4 u ]
ossia, ricordando che u=67/44
y = (14 -7· 67/44) /[ 3 + 4 ·67/44 ] =(14 · 44 - 7 · 67)/ [3 · 44 + 4 · 67]
= 147/400= 0,3675
E si arriverebbe allo stesso risultato!!
mercoledì 22 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
matrici, determinanti, regola di Cramer per la soluzione dei sistemi di p equazioni in p incognite, quando il determinante della matrice associata è diverso da zero. Esempio (p=2):
si consideri il sistema
ax+by=e
cx+dy=f
la matrice associata è
a b c d il vettore colonna dei termini noti è
e f Se il determinante della matrice associata al sistema è diverso da zero, ossia se
ad-bc ≠ 0
allora la prima componente della soluzione, cioè la x si ottiene come
il rapporto tra il determinante della matrice
e b f d (ottenuta sostituendo la prima colonna della matrice del sistema con la colonna dei termini noti)
e il determinante della matrice del sistema, ossia il determinante di
a b c d in altre parole
x=(ed-bf)/(ad-bc)
La seconda componente, cioè la y, si ottiene come rapporto tra il determinante della matrice
a e c f (ottenuta sostituendo la seconda colonna della matrice del sistema con la colonna dei termini noti,)
e il determinante della matrice del sistema, ossia
y=(af-ec)/(ad-bc)
venerdì 24 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Solo esercizi sui sistemi di equazioni in più incognite e sulle progressioni.
lunedì 27 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Permutazioni (senza ripetizione) di n elementi e Disposizioni (senza ripetizione) di n elementi di classe k. Disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k.
Equazione della retta perpendicolare a una retta data e passante per un punto dato.
Esercizio del foglio 3 D1 (del tipo: dati 3 punti di un parallelogramma, trovare il quarto punto e inoltre trovare l'area del parallelogramma)
mercoledì 29 ottobre 2014 (ore 15-16 aula A Plesso Tecce)
Coniche: parabole, circonferenze, ellissi, iperboli. Rette tangenti a una circonfenrenza.
venerdì 31 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Funzioni, dominio e codominio, funzioni suriettive, iniettive e biunivoche. Funzione identità. Funzioni di variabile reale a valori reali: esempi e grafici delle funzioni. Cenno alle funzioni inverse. Somma di due funzioni, prodotto di due funzioni e reciproco di una funzione. Funzioni definite a tratti, esempi, grafico della funzione g(x)=f(x+a) e sua espressione.
(per questa parte si consiglia di vedere le slide preparate dalla Prof. Anna Torre al link http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html)
Esercizio su rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto fuori la circonferenza. Esercizio D.27 foglio 3. Geometria Analitica
lunedì 3 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Richiami sulle funzioni e i grafici di funzioni, controesempio: le coppie (x,y) tali che x²+y²=1, non sono il grafico di una funzione.
Composizione di due funzioni. Esempi
f: R → [0,+∞), x→ x²+1 g: [0,+∞) → [0,+∞), t → √ t
gο f : R → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²+1)= √ (x²+1)
-------------------
f: [0,+∞) → [0,+∞), x→ x²+1 g: [0,+∞) → [0,+∞), t → √ t
f ο g : R → [0,+∞), t→ f(g(t))=f(√ t )= (√t )²+1 = t+1
g ο f : R → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²+1)= √ (x²+1)
OSS: f ο g e g ο f sono diverse
----------------------------
f: R → R, x→ x²-1 g: [0,+∞) → [0,+∞), t → √ t
gο f può non avere senso: ad esempio g(f(0))=g(-1)= √(-1)
NON HA SENSO almeno se considerata come funzione a valori reali.
In questo caso va modificata la funzione, cambiando il dominio, in modo che si possa prednere come codominio [0,+∞)
Ossia va definita
f1: {x tali che x²-1≥ 0 } = (-∞, -1] U [1, +∞) → [0,+∞)
gο f1 : (-∞, -1] U [1, +∞) → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²-1)= √ (x²-1)
------------------------
FUNZIONE INVERSA:
se f: D →C, x→f(x) g: C → D, t → g(t)
si ha che g è la funzione inversa di f e si denota con f-1.
se e solo se
f ο g : C → C, t→ f(g(t))= t (è la funzione identità su C)
e inoltre
g ο f : D → D, x→ g(f(x))=x (è la funzione identità su D)
Esempio
f: [1,2] → [0,2], x → 2(x-1) g: [0,2] → [1,2], t → (t/2)+1
f ο g : [0,2] → [0,2], t→ f(g(t))=f( (t/2)+1 ) = 2 ( (t/2)+1 -1 ) =t
g ο f : [1,2] → [1,2], x→ g(f(x))=g( 2(x-1) ) = (2(x-1)/2)+1 = x-1+1=x
---------------------------------------
Richiamo: per ogni naturale m≥1 la funzione [0,+∞) → [0,+∞), x → xm è invertibile (è strettamente crescente e sutirettiva) e la sua inversa è la radice m-sima ed è denotata anche come la funzione
[0,+∞) → [0,+∞), x → x1/m
-----------------------------------------
Funzione elevamento a potenza sui razionali
Sia a >0
se q=m/n razionale (cioè in Q)
allora aq= (a1/n) (a1/n).... (a1/n) [prodotto di (a1/n) m volte]
Per a > 1 la funzione q → aq è strettamente crescente sui razionali,
ossia se q1 < q2 allora aq1 < aq2 .
(senza dimostrazione, comunque: senza ledere in generalità si può supporre che q1 =n1/m e q2=n2/m, con n1 < n2, e notando che se a>1 allora a1/m >1, si ottiene subito che aq1 < aq2 )
Invece per 0<a<1 si ha che q → aq è strettamente decrescente sui razionali,
ossia se q1 < q2 allora aq1 > aq2 .
Da questo (senza pretesa di rigore) si può definire ax per ogni x reale (sempre con a>0 ) osservando che
(1) se q1 e q2 sono "vicini" anche aq1 e aq2 lo sono
(2) se x è un numero reale, con q1 < x < q2 allora è naturale suppore che il valore di ax sia compreso tra aq1 e aq2 (se a >1) o tra aq2 e aq1 (se 0<a<1)
(3) fissaro x, i valori di q1 e q2 si possono prendere "vicini" a piacere e quindi anche i valori di aq1 e aq2 .
Alla fine ax viene definito come questo valore "limite".
(per una definizione rigorosa dovremmo usare il concetto di limite, che vedremo più in là)
La funzione R→ (0,+∞), x → ax, gode di diverse proprietà
a0=1,
ax1+x2=ax1 ax2,
a-x=1/ax,
(ax)y=axy ;
inoltre la funzione è invertibile R→ (0,+∞), x → ax e la sua inversa è la funzione logaritmo in base a ossia la funzione
(0,+∞) → R, y → loga ( y ) ,
ossia quella funzione per la quale valgono
per ogni x reale: log(ax)=x
per ogni y >0 : a loga( y )=y
utilizzando queste proprietà e quelle dell'elevamento a potenza si ottengono facilmente le proprietà dei logaritmi
loga(1)=0
loga(bc)=loga(b)loga(c)
loga(bα)=α loga(b) [ caso particolare α=-1: loga(1/b)= - loga(b) ]
Cambio di base
loga(c)=loga(b)logb(c)
[caso particolare, osservando che loga(a)=1, e ponendo c=a si ottiene
1=loga(b)logb(a) ossia logb(a) = 1/loga(b)
NOTAZIONE:
Log(x)=log10(x) (logaritmo in base 10)
ln(x)=loge(x) (logaritmo naturale e numero di Nepero e = (circa) 2,71828
Esempio 6.14 del libro: sia come nel libro passando ai logaritmi in base 10, che con i logaritmi in base 2 [le due soluzioni sono uguali, utilizzando il fatto che
Log 2 = (log210 )-1 ]
lunedì 3 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Verifica del Cambio di base
loga(c)=loga(b)logb(c)
VERIFICA osserviamo che
aloga(c)= c e che aloga(b)logb(c) = (aloga(b) ) logb(c) = blogb(c)=c
e quindi aloga(c) = aloga(b)logb(c) e che, essendo la funzione x → loga (x) biunivoca, e quindi ax1= ax2 se e solo se x1=x2, deve necessariamente valere
loga(c)=loga(b)logb(c)
Scale logaritmiche:
il grafico della funzione di tipo esponenziale
y=Kax, con K>0 e a >0
in scala semilogaritmica
ossia con scala logaritmica solo sull'asse delle ordinate, cioè prendendo
Y=Log ( y ) e X= x ,
diviene Y= α + β X, con α=Log(K) e β= Log(a)
[ infatti da y=Kax, e prendendo in entrambi i membri il Log si ottiene che
Log y =Log (K ax)= Log(K) + Log(ax)= Log(K) + x Log(a)
che, tenendo conto del fatto che Y=Log ( y ) e X= x si può riscrivere come
Y= α + β X, prendendo α=Log(K) e β= Log(a) ]
Viceversa se in scala semilogaritmica una funzione appare come una retta
Y= α + β X
allora nelle variabili x e y si ha che y=Kax, con K= 10α e a=10β
[come discende subito ripercorrendo all'indietro i passaggi precedenti e tenendo conto che α=Log(K) e β= Log(a) se e solo se K= 10α e a=10β]
il grafico della funzione di tipo elevamento a potenza
y=A xb,
in scala (doppiamente) logaritmica
ossia con scala logaritmica sia sull'asse delle ordinate, che sull'asse delle ascisse, cioè prendendo Y=Log ( y ) e X=Log( x )
diviene Y= γ + b X, con γ=Log(A) (γ= gamma, minuscolo)
[ infatti da y=A xb, e prendendo in entrambi i membri il Log si ottiene che
Log y =Log (A xb)= Log(A) + Log(xb)= Log(A) + b Log(x)
che, tenendo conto del fatto che Y=Log ( y ) e X= Log ( x ) si può riscrivere come
Y= γ + b X, prendendo γ=Log(A) ]
Viceversa se in scala semilogaritmica una funzione appare come una retta
Y= γ + b X
allora nelle variabili x e y si ha che y=Axb, con A= 10γ .
[come discende subito ripercorrendo all'indietro i passaggi precedenti e tenendo conto che γ=Log(A) se e solo se A= 10γ ]
Svolti gli esercizi D.34 e un fac-simile dell'esercizio D.35 del foglio 1
Svolto l'esercizio D.15 del foglio 1.
Definite le funzioni x→cos(x) e x→sin(x)
Osservato che cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x), sin(x)=cos(π/2-x)=cos(x-π/2) e quindi il grafico di y=sin(x) si ottiene come traslazione dal grafico di cos(x)
Disegnati i grafici di y=2sin(x), di y=(1/2) sin(x).
In generale osservato come di ottengono i grafici di y=-f(x), di y=f(-x), di y=|f(x)|.
Suggerito di svolgere l'esericizio C6.1 guardando anche l'interpretazione nell'esercizio C6.2
mercoledì 5 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Proprietà di sinθ e cosθ: Ricordando che il punto P(cosθ,sinθ) è il punto di incontro tra la semiretta che parte dall'origine O(0,0) e forma un angolo θ con l'asse delle x, si trova facilmente che valgono le seguenti proprietà:
1) cos2θ+sin2θ=1
da cui sin θ = ±(1-cos2θ )½ , [ attenzione il segno dipende da θ!! ]
2) cos(-θ)=cosθ; sin(-θ)=-sinθ
3) cos(π/2-θ)=sinθ; sin(π/2-θ)=cosθ
da cui sin(π/2+θ)=cosθ infatti sin(π/2+θ)=sin(π/2-(-θ))=cos(-θ)=cosθ
e sin α = cos (α-π/2)
4) cos (α-β)= cosα cosβ + sinα sinβ
Come si deduce dall'osservare che il segmento individuato dai punti
R(cosα, sinα) ed S(cosβ, sinβ)
ha la stessa lunghezza del punto individuato dai punti
P(cos(α-β), sin(α-β)) e Q=(1,0)
per cui dist2(R,S)=dist2(P,Q), ossia, ricordando che dist2(P1,P2)=(x1-x2)2+(y1-y2)2,
[dist2(R,S)=] (cosα - cosβ)2+(sinα - sin β)2= (cos(α-β)-1)2+(sin(α-β))2 [=dist2(P,Q)]
svolgendo i calcoli si ottiene
(cosα - cosβ)2+(sinα - sin β)2=
=cos2α + cos2β -2cosαcosβ + sin2α + sin2β -2 sinα sin β
= cos2α + sin2α + cos2β + sin2β -2cosαcosβ - 2 sinα sin β
= 1+1 -2 (cosαcosβ + sinα sin β)= 2 -2(cosαcosβ + sinα sin β)
(cos(α-β)-1)2+(sin(α-β))2=(cos(α-β))2+1-2cos(α-β) +(sin(α-β))2=
= (cos(α-β))2+(sin(α-β))2+1-2cos(α-β) = 2 -2 cos(α-β)
da cui la relazione 4) cos(α-β) = cosαcosβ + sinα sin β
Dalla relazione 4) vengono poi immediatamente
4bis) cos(α+β) = cosαcosβ - sinα sin β
sin (α+β) = sinα cos β + cosα sinβ
sin (α- β) = sinα cos β - cosα sinβ
Infatti
cos(α+β) = cos(α- (-β))= cosαcos(-β) + sinα sin(-β) = cosα cos β + sinα (-sinβ)
= cosαcosβ - sinα sin β
sin (α+β) = cos(α+β-π/2) = cosα cos (β-π/2) - sinα sin(β-π/2)
= cosα cos (π/2-β) - sinα ( - sin(π/2-β) ) =cosα sinβ + sinα cos β
= sinα cos β +cosα sinβ
e infine
sin (α- β) = sin (α+ (- β))= sinα cos(- β) + cosα sin(-β) = sinα cos β - cosα sinβ
Tracciato i grafici delle funzioni seno e coseno,
Definizione di funzione periodica e di periodo
una funzione è periodica se esiste un valore T>0 tale che
per ogni x si ha f(x+T)= f(x)
Il periodo è il piu' piccolo valore T>0 per cui vale la relazione precedente.
ESEMPIO: il periodo della funzione seno è 2π infatti
per ogni x vale sin(x+k2π)=sinx (qualunque sia k intero positivo nullo o negativo) e il piu' piccolo valore T per cui vale ciò è appunto 2π.
Esercizi su disegno del grafico di funzioni del tipo f(x+a), bf(x+a), f(kx) etc.
venerdì 7 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Definizione della funzione tangente di x, denotata sia con tg(x) che con tan(x)
tg(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x) dove cos(x)≠0 ossia per x≠π/2 + k π (k intero)
e delle funzioni inverse di sin(x), di cos(x) e di tan(x)
ossia
arcsin(x), arccos(x) e arctg(x)=arctan(x).
Esercizi su richiesta.
lunedì 10 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Studio di una funzione:insieme di definizione, esempi vari.
Comportamento agli estremi, limite (finito) di f(x) per x che tende ad a da destra (da sinistra), esempi vari. Enunciati (senza dim)
se esistono finiti i limiti
lim f(x)=Lf e lim g(x)=Lg
allora esistono finiti
lim [ f(x) + g (x) ]= lim f(x)+ lim g(x)= Lf + Lg ,
lim [α f(x) + β g (x) ]= α lim f(x)+ β lim g(x)= α Lf +β Lg , con α e β numeri reali
lim f(x) g (x) = lim f(x) lim g(x)=Lf Lg ,
INOLTRE
lim f(x) / g (x) = lim f(x)/ lim g(x)=Lf /Lg ,
PURCHE' abbia senso dividere per g(x) (ossia sia g(x)≠0) ed Lg≠0
da cui è possibile calcolare i limiti di
limx→a x = a (ovvio)
limx→a x2= a2 e più in generale
limx→a xn= an
e quindi per ogni funzione polinomiale f(x)=a0+a1x +a2x2+...+an-1 xn-1 + anxn
limx→a f(x)= f(a)
Esempio
limx→ -1 2+3x-4x4= 2+3(-1)-4(-1)4=2-3+4=3
Esercizi su richiesta
lunedì 10 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Studio di una funzione: Comportamento agli estremi, limite finito per per x che tende ad a; limite (infinito) per x che tende ad a da destra (da sinistra), limite (infinito) per x che tende ad a; limiti per x che tende a +∞ (più infinito) e per x che tende a -∞ (meno infinito).
studio dei limiti nel caso f(x)=1/x per x che tende a + infinito, e per x che tende a zero da destra.
Esercizi su richiesta
mercoledì 12 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Studio di una funzione: funzioni pari e dispari esempio f(x)=ln(2-x2)
Utilizzo della seguente proprietà (non dimostrata)
se esistono finiti i limiti
limx→ a g(x)=b le il limite limt→ bf(t)=L
allora esiste finito anche il limite
limx→ af(g(x)) = limt→ bf(t) = L
Definizione di funzione continua in un punto; definizione di funzione continua in un intervallo aperto.
CONTROESEMPIO:
La funzione parte intera di x (si denota con [x]) e vale
f(x)=[x]=k se e solo se k≤x<k+1
non è continua nei punti x=k con k intero
Definizione di funzione crescente (strettamente o non) e decrescente (strettamente o non) in un intervallo
Definizione di funzione crescente (se non si specifica l'intervallo si intende nell'insieme di definizione)
ESEMPIO la funzione f(x)=1/x è strettamente descrescente in (0,+∞)
infatti se x1 < x2 , con x1 e x2> 0 allora 1/x1 >1/x2;
lo stesso vale in (-∞,0), MA NON E' una funzione descrescente:
ad esempio per -1(= x1) < +1 (=x2) si ha f(x1)=-1< f(x2)=1.
esercizi su richiesta
venerdì 14 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Calcolo dell'equazione della retta tangente ad una parabola generica (di equazione y=a x2 +bx +c, con a,b e c costanti NOTE)
che passa per il punto (x0,y0)=(x0, a x02+bx0+c)
[cioè (x0,y0) appartiene alla parabola]
1° MODO:
imponendo che l'intersezione tra la retta generica y-y0=m(x-x0) che passa per il punto (x0,y0) abbia un solo punto di intersezione con la parabola:
cioè usando come parametro m e cercando il valore di m per il quale c'è un solo punto di intersezione, si tratta di studiare il sistema
y=a x2 +bx +c (I)
y-y0=m(x-x0) (II)
con y0=a x02+bx0+c
e cercare m in modo che il sistema abbia una sola soluzione:
inserendo la condizione (I) nella (II) e tendeno conto del valore di y0 si ha:
a x2 +bx +c-(a x02+bx0+c)= m(x-x0)
ossia
a x2 +(b-m)x - a x02 - bx0+mx0=0.
Per ottenere un solo punto di intersezione è necessario (e sufficiente) che la precedente equazione abbia una sola soluzione, ovvero che il discriminante sia nullo. Al variare di m il discriminante vale
Δ(m) = (b-m)2 -4 a (- a x02 - bx0+mx0) = b2 -2bm+m2 +4a2x02 + 4abbx0 - 4amx0
ossia Δ(m)= m2 - 2(b+2ax0) m + b2 +4a2x02 + 4abbx0
=m2 - 2(b+2ax0) m + (b+2ax0) 2 = [ m- (b+2ax0) ]2.
in definitiva l'unico valore per il quale Δ(m) = 0 è m= b+2ax0
e quindi l'equazione della retta tangente è y-y0= (b+2ax0) (x-x0)
2° MODO:
stesso calcolo utilizzando l'idea che la retta tangente si ottiene prendendo una generica secante che passa per il punto (x0,y0)=(x0, a x02+bx0+c) e per il punto (x1,y1)=(x1, a x12+bx1+c) [sempre appartenente alla parabola] e mandando x1 ad avvicinarsi sempre più a x0, in modo che i due punti di intersezione vadano a coincidere:
L'equazione della secante è (y-y0)/ (y1-y0) = (x-x0)/ (x1-x0) ovvero il coefficiente angolare della secante che passa per i punti (x0,y0) e (x1,y1) vale
(y1-y0)/ (x1-x0)
= [(a x12+bx1+c)-(a x02+bx0+c)] /(x1-x0)
= [a (x12- x02)+b(x1-x0)]/(x1-x0)
= a (x12- x02)/(x1-x0) + b (x1-x0)/(x1-x0)
= a(x1+x0)(x1-x0)/(x1-x0) +b
= a(x1+x0)+b
e quindi mandando x1 a x0 si ottiene che il coefficiente angolare tende a 2x0+b, ovvero si riottiene il risultato che l'equazione della retta tangente è
y-y0= (b+2ax0) (x-x0).
----------------------------
OSSERVAZIONE:
mentre il primo metodo non si riesce a generalizzare al caso in cui fossimo interessati alla retta tangente alla curva individuata dal grafico di una funzione y=f(x) il secondo metodo si può generalizzare:
in questo caso la retta secante ha equazione
(y-y0)/ (y1-y0) = (x-x0)/ (x1-x0) ma con y0=f(x0) e y1=f(x1)
e quindi ha equazione
y-y0= (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)
e il ragionamento si può ripetere se esiste finito il seguente limite:
lim x1→ x0 (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) (limite del rapporto incrementale)
che, se esiste è la derivata della funzione f nel punto x0.
Definzione della derivata in un punto, osservazione che
1) la derivata di f(x)=c (ossia della funzione constante) è uguale a 0 in ogni punto x0
2) la derivata di x è 1 in ogni punto x0
3) la derivata di x2 vale 2x0 in ogni punto x0, (calcolo già fatto precedentemente)
3) la derivata di xn vale n(x0)n-1in ogni punto x0 utilizzando la relazione
xn- x0n= (x-x0) (xn-1+xn-2x0+xn-3x02+....+xn-kx0k-1+....+x2x0n-3+xx0n-2+x0n-1)
e che quindi
xn- x0n/ (x-x0) = xn-1+xn-2x0+xn-3x02+....+xn-kx0k-1+....+x2x0n-3+xx0n-2+x0n-1
che converge (per x che tende a x0) a
x0n-1+x0n-2x0+x0n-3x02+....+x0n-kx0k-1+....+x02x0n-3+x0x0n-2+x0n-1= nx0n-1,
come si vede immediatamente (sono n addendi tutti uguali a x0n-1)
Definizione di funzione derivabile in un intervallo e alcune proprietà delle derivate (senza dimostrazione) derivata della somma di due funzioni uguale somma delle derivate di due funzioni, formula della derivata del prodotto di due funzioni e del rapporto di due funzioni. Se la funzione è derivabile in x0, allora è continua in x0.
Esempi: derivate delle funzioni polinomiali
Esempio della funzione f(x)=| x | che è derivabile per x strettamente positivo con derivata 1, per x strettamente negativo con derivata che vale -1 ma non è derivabile in 0 (il limite da sinistra del rapporto incrementale vale -1 mentre il limite da destra vale 1)
ALTRO IMPORTANTE USO DELLA DERIVATA se la funzione f(x) è derivabile e se la funzione è crescente in un intervallo, allora si vede facilmente che la derivata è positiva o nulla, viceversa (SENZA DIMOSTRAZIONE) se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo e la derivata è positiva in quell'intervallo, allora la funzione è crescente in quell'intervallo.
lunedì 17 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Derivata di f(x)=ex, utilizzando il fatto che limite (ex-1)/x tende a 1 per x che tende a 0 (questo limite NON DIMOSTRATO):
(ex-ex0)/(x-x0)= ex0 (ex-x0-1)/(x-x0) quindi la derivata di ex calcolata in x0 vale
lim x1→ x0 (ex-ex0)/(x-x0)= lim x1→ x0 ex0 (ex-x0-1)/(x-x0)
= ex0 lim x1→ x0 (ex-x0-1)/(x-x0) = ex0 lim h→ 0 (eh-1)/h = ex0 1= ex0.
In modo del tutto analogo si potrebbe ottenere che la derivata di ax vale C ax dove C è una costante da determinare [è la derivata in 0 di ax, ossia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y=ax nel punto (0,1) ]
Per ottenere il valore di C serve la
Formula della derivata della funzione composta (NON DIMOSTRATA)
df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
Utilizzando questa formula si ottiene subito che la derivata di eβx vale eβx β= βeβx Utilizzando questa formula e il fatto che ax = (e lna )x = ex lna si ottiene che
dax /dx= ex lna ln a = ax ln a .
Esercizi a richiesta
lunedì 17 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce
TEST
mercoledì 19 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)
Forme indeterminate di limiti del tipo ∞ - ∞ , ∞/∞, 0/0
Esempi di limiti del rapporto di due funzioni polinomiali per x che tende a + infinito (o a - infinito)
Esempio del limite sinx/x per x che tende a 0
Dimostrazione del fatto che lim x→ 0 sinx/x =1 ulitizzando il fatto che
1) la funzione sinx/x è pari e quindi basta considerare il caso in cui si considera il limite per x che tendo a 0 da destra
2) se 0<x< π/2 allora 0<sinx<x<tan(x)=sinx /cosx da cui dividento per x si ottiene
0<sinx/x<x/x=1<tan(x)/x=(sinx/x) /cosx
e quindi (se vale la disuguaglianza stretta "<" allora vale anche la disuguaglianza debole "≤")
sinx / x ≤1 e 1 ≤ (sinx /x) /cosx ossia cosx ≤ (sinx /x) e riassumendo
cosx ≤ (sinx /x) ≤1
a questo punto è intuitivo che se x tende a 0 (da valori positivi) si ottiene che
lim x→ 0+ sinx/x =1
In realtà vale un risultato noto come il Teorema del confronto (e corollario dei carabinieri)
TEOREMA del confronto (versione non enunciata)
Se f(x)≤ h(x) ≤ g(x) e se esistono
lim x→ x0 f(x) = Lf , lim x→ x0 h(x) = Lh , lim x→ x0 g(x) = Lg
allora
Lf ≤ Lh ≤Lg
TEOREMA DEL CONFRONTO (dei carabinieri)
Se f(x)≤ h(x) ≤ g(x) e se esistono
lim x→ x0 f(x) = lim x→ x0 g(x) = L
allora esiste lim x→ x0 h(x) = L.
(il nome dei carabinieri viene dalla seguente idea preso un ladro i due carabinieri di mettono uno da una parte e uno dall'altra del ladro e se i due carabinieri vanno alla prigione allora annche il ladro va in prigione)
Alcuni esercizi del foglio 5, ricerca dei massimi e dei minimi della funzione
f(x)= e -x2+x/2+1
senza usare le derivate, ma utilizzando il fatto che la funzione g(x)=-x2+x/2+1 ammette un punto massimo assoluto (detto anche di massimo globale) in x0=-b/(2a)= (-1/2)/(-2)= 1 e il valore massimo vale g(1)= -12+1/2+1=1/2
ossia per ongi x vale g(x)≤ g(1)=1/2 e allora, poiché la funzione f(t)=et è crescente allora
eg(x)≤ eg(1)=e1/2 per ogni x
ossia la funzione f(x)=eg(x) ≤ eg(1)=f(1)=e1/2 ammette un punto di massimo in x=1 e il valore massimo vale e1/2 . Invece la funzione non ammette minimo assoluto in quanto f(x)>0 per ogni x e lim x→ ∞ f(x) = 0.
venerdì 21 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)
Esercizio su massimo e/o minimo:
in un corridoio a forma di L di cui una prima parte ha larghezza 1 metro e una seconda parte ha larghezza due metri, e altro 3,20 metri dobbiamo far passare una lastra di larghezza 4 m e altezza 3,18 metri (quindi deve passare in verticale)
E' possibile?
la soluzione si riduce a un problema del tipo
1) dato un punto A(a,0) sull'asse delle ascisse, con a > 2, trovare il punto B(0,b(a)) sull'asse delle ordinate e che appartiene alla retta che unisce il punto A con il punto P(2,1)
[questo punto rappresenta lo "spigolo" del corridoio: i lati sono gli assi cartesiani, ossia le rette y=0, x=0 e le rette parallele agli assi cartesiani passanti per P(2,1)]
(l'equazione della retta è (y-0)/(1-0)=(x-a)/(2-a) ossia y= (x-a)/(2-a) e quindi b(a)= (0-a)/(2-a)= a/(a-2) che è positivo solo per a>2)
2) trovare la distanza L(a) tra A(a,0) e B(0,b(a) ) ossia
L(a) = radice[ (a-0)2+(0-b(a))2]
3) trovare il valore minimo di L(a): per trovarlo possiamo anche trovare prima il valore minimo di
(L(a))2=a2+(b(a))2= a2 + (a/(a-2))2
e il punto a* in cui assume il valore minimo ossia (L(a*))2 ≤ (L(a))2 per ogni a>2
e quindi avremo anche che L(a*) ≤ L(a)
(qui possiamo calcolare
d/da (L(a))2 = 2 a + 2(a/(a-2)) d/da (a/(a-2))
= 2 a + 2 (a/(a-2)) [1(a-2) - a 1]/(a-2)2)
= 2a + 2a (-2)/(a-2)3= 2a[ (a-2)3-2]/(a-2)3.
Osservando che a>2>0 e a-2>0
d/da (L(a))2 <0 per (a-2)3 <2 ossia a-2 < 21/3 , cioè a < 2+ 21/3
d/da (L(a))2 =0 per (a-2)3 =2 ossia a = 2+ 21/3
d/da (L(a))2 >0 per (a-2)3 >2 ossia a> 2+21/3,
quindi a*= 2 + 21/3 (<2) è un punto di minimo per (L(a))2 per a >2,
perché la derivata è negativa prima di a* e quindi la funzione decresce, è nulla in a* e positiva dopo a* quindi la funzione è crescente dopo a*.
di conseguenza L(a*) ≤ L(a) per ogni a>2
4) per risolvere il problema è necessario che la larghezza della lastra sia minore del valore minimo L(2 + 21/3)
L(2 + 21/3) = [ ( 2 + 21/3 )2+ (2 + 21/3 )2/( 2 + 21/3 -2)2 ]1/2
=(2+21/3) [1+1/(21/3)2]1/2 = (2+21/3) [1+1/22/3]1/2
=(circa) (2+1/1,26) (1+1/(1,26)2)1/2=(circa) 3,79*(1,63)1/2
=(circa) 3,79 * 1,27 = 4,8133
e quindi la lastra può passare nel corridoio.
limiti notevoli:
1) ricordato che lim x→0 sin(x)/x = 1
2) ricavato che limx →0 [1-cos(x)]/x2= 1/2
infatti
[1-cos(x)]/x2 = [1-cos(x)][1+cos(x)]/ [x2(1+cos(x) )]
= [1- (cos(x))2][x2(1+cos(x) )] = (sin(x))2 [x2(1+cos(x) )] = (sin(x)/x)2*[1/(1+cos(x) )]
e quindi si ricava ilo limite poiché , quando x tende a zero,
sin(x)/x tende a 1 e 1/(1+cos(x)) tende a 1/2
altro argomentio: Derivate delle funzioni sin (x), cos(x) e tan(x)
d/dx cos(x)= -sin (x)
infatti
[cos(x+Δ)-cos(x)]/Δ = [cos(x) cos(Δ) - sin(x) sin(Δ) - cos(x)]/Δ
= cos(x) [cos(Δ)-1]/Δ - sin(x) sin(Δ)/Δ
(moltiplicando e dividendo per Δ nel primo addendo)
= cos(x) Δ ([cos(Δ)-1]/Δ2) - sin(x) sin (Δ)/Δ
poiché, per Δ che tende a zero,
([cos(Δ)-1]/Δ2) tende a (-1/2) e sin(Δ)/Δ tende a 1
si ottiene che
d/dx cos(x) =limΔ→∞ [cos(x+Δ)-cos(x)]/Δ
= cos(x) limΔ→0 Δ limΔ→0 ([cos(Δ)-1]/Δ2) - sin(x) limΔ→0 sin(Δ)/Δ
=cos(x) 0 (-1/2) - sin(x)= -sin(x)
d/dx sin(x)= cos(x)
infatti sin(x)= cos(π/2-x) e quindi per la regola della funzione composta
d/dx sin(x) = d/dx cos(π/2-x)= -sin(π/2-x) d/dx(π/2-x)= -sin(π/2-x) (-1)
= sin(π/2-x)=cos(x)
regola mnemonica sul segno:
nelle vicinanze dello 0, la funzione sin(x) è strettamente crescente quindi la derivata deve essere positiva e cos(x)≥0
per x >0, la funzione cos(x) è strettamente decrescente e quindi la sua derivata deve essere negativa, e -sin(x) è negativa!
per x≠ π/2 + k π, d/dx tan(x) = 1/[cos(x)]2
infatti, per la regola della derivata del rapporto,
d/dx tan(x)= d/dx [sin(x)/cos(x)] = [cos(x) cos(x) - sin(x) (-sin(x))]/[cos(x)]2
= [cos2(x) + sin2(x)]/[cos(x)]2 =1/[cos(x)]2.
(ATTENZIONE: NOTAZIONE cos2(x) = [cos(x)]2)
Formula della derivata della funzione inversa:
Se f(x) è invertibile, cioè se esiste f-1(x), se è derivabile in x0 e se f'(f-1(x0))≠0
allora y=f-1(x) è derivabile in x0 e vale
d/dx f-1(x0)= 1/ f'( f-1(x0))
Calcolo della derivata del logaritmo: d/dx ln(x)= 1/x (x>0)
infatti la funzione ln(x) è l'inversa di f(x)=ex, e inoltre d/dx ex=ex quindi
d/dx ln(x) = 1/ (e ln(x) ) =1/x
dove abbiamo utilizzato il fatto che e ln(x)=x (proprietà della funzione inversa)
-
lunedì 24 novembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Funzioni inverse e derivate delle funzioni inverse:
le derivate di arcsin(x) di arccos(x) e di arctan(x)
inverse e loro derivate di alcune funzioni
y=(x+2)1/2
y= e2x +3
y= -2 tan(3x+1) + 5
(da completare)
Richiami sulle funzioni inverse
Una funzione f:D→ C , x→ y=f(x) è invertibile
see solo se (per definzione)
per ogni y in C esiste ed è unico un x in D tale che
f(x)=y ed in tale caso x=f-1( y)
Inoltre f(f-1( y))=y e f-1( f( x))=x.
Di solito, però, quando D e C sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali
(ad esempio intervalli, limitati o illimitati)
allora si preferisce usare il simbolo x per la variabile indipendente e y per quella indipendente per cui si scrive
y=f-1( x), con le proprietà f(f-1( x))=x e f-1( f( x))=x.
ESEMPIO 1
funzione inversa di y=f(x)=(x+1)3
x=f -1( y) se e solo se y=(x+1)3 OSSIA SE E SOLO SE y1/3=x+1 cioè se y1/3-1=x
quindi x=f -1( y)= y1/3-1, ma di solito si scrive
y=f -1( x)= x1/3-1, inoltre
f(f-1( x)) f(x1/3-1)=(x1/3-1+1)3= (x1/3)3=x3/3=x
e
f-1( f( x)) = ( f( x) ) 1/3-1 =((x+1)3 ) 1/3-1 = (x+1)3/3-1=x.
ESEMPIO 2
la funzione y=f(x)=ex è invertibile se si prende come dominio D tutti i reali e come codominio C i numeri reali strettamente positivi, ossia C=(0,+∞).
quindi per ogni y>0 esiste un x reale tale che y=ex questo valore x è il logaritmo naturale, ossia x=ln( y), quindi x=f-1( y)=ln( y)
Tuttavia scriviamo di solito y=ln(x) per x>0.
Formula della derivata della funzione inversa
Se f(x) è derivabile [con derivata f'(x)] , è invertibile, e se x è tale che f'(f-1(x))≠ 0,
allora la funzione inversa y=f-1(x) è derivabile con derivata in x
(d/dx)f-1(x)= 1/f'(f-1(x))
Idea della dimostrazione
La derivata nel punto x0 di f-1(x) è il limite del rapporto incrementale
[f-1(x)-f-1(x0)]/(x-x0)
Posto y=f-1(x) e y0=f-1(x0)
e osservando che quindi f( y)=f(f-1(x))=x e f (y0)=f(f-1(x0))= x0,
possiamo scrivere
[f-1(x)-f-1(x0)]/(x-x0)=[y -y0]/(f( y) - f( y0) ) = 1/ {(f( y) - f( y0) )/ [y -y0] }
che tende, per x→x0, a 1/f' (y0) =1/f' ( f-1(x0) )
in quanto per x→x0, si ha che y=f(x)→f(x0)=y0.
Calcolo delle derivate delle funzioni inverse di sen(x) [o sin(x)] di cos(x) e di tan(x) [o tg(x)]
Prima di tutto bisogna ricordare che
(d/dx)sin(x)=cos(x), (d/dx)cos(x)=-sin(x), (d/dx) tg(x) = 1/(cos(x))2.
SI DIMOSTRA CHE
(d/ dx) arcsin (x) = 1/ (1-x2 )1/2 per x in (-1,1) (OSSIA ESCLUSI GLI ESTREMI)
(d/ dx) arccos (x) = -1/ (1-x2 )1/2 per x in (-1,1) (OSSIA ESCLUSI GLI ESTREMI)
(d/ dx) arctg (x) = 1/ (1+x2 ) per x in (-∞,∞)
CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE
CASO della funzione arcsin(x)
La funzione y=sin(x) è invertibile se si sceglie come dominio [- π/2,π /2]
(in questo intervallo la funzione y=sin(x) è continua e strettamente crescente)
e come codominio [-1,1]
La funzione inversa è chiamata arcoseno
e per ogni x in [-1,1] si scrive y=arcsin(x) [ = f-1(x) per f(x)=sin(x) ]
ossia y è quel numero in [- π/2,π /2] e tale che sin( y) =x
La derivata della funzione inversa è quindi, ricordando che la derivata di sin(x) è cos(x),
(d/ dx) arcsin (x) = 1/ f'(f-1(x) ) = 1/ cos ( arcsin (x) ) = 1/ cos( y)
dove y è tale che sin( y)=x
MA IN QUESTO MODO NON SAPPIAMO CALCOLARE QUANTO VALE LA DERIVATA in x
tuttavia sappiamo che
sin2( y) + cos2( y) =1 per ogni y
e quindi, nel nostro caso
cos2( y)=1-sin2( y) =1-x2 da cui cos( y) = ± (1-x2)1/2
e dopo aver capito che bisogna scegliere il segno +
possiamo finalmente affermare che
(d/ dx) arcsin (x) = 1/ f'(f-1(x) ) = 1/ cos ( arcsin (x) ) = 1/ cos( y) = 1/(1-x2)1/2
ovviamente dobbiamo escludere i punti x=+1 e x=-1 dove il denominatore si annulla.
PERCHE' SCEGLIERE IL SEGNO + ?Risposta 1 Sappiamo che se una funzione è crescente e derivabile la sua derivata deve essere maggiore o uguale a zero: la funzione arcsin(x) è crescente: cià si può vedere dal grafico oppure dalla seguente considerazione generale
Se f è crescente e invertibile (e quindi stettamente crescente) allora anche la sua funzione inversa è crescente
A sua volta questo fatto si può vedere dai grafici oppure dal seguent ragionamento:
se f è crescente ed invertibile DEVE ESSERE strettamente crescente in quanto NON possono esistere x e x' con x<x' e per i quali f(x)=f(x') [se esistessero la funzione non sarebbe iniettiva e quindi non sarebbe invertibile]
allora x<x' implica che f(x)<f(x') [con le disuguaglianze strette]
Siano ora t < t' vogliamo controllare che f -1(t) < f -1(t') .
A questo scopo si pongano x=f -1(t) ed x'=f -1(t') : questi due numeri non possono essere uguali (in quanto anche f -1 è invertibile)
e non può essere f -1(t) > f -1(t') (in quanto allora applicando il fatto che f è strettamente crescente otterremmo f(f -1(t) ) > f( f -1(t') ) ossia t > t', mentre per ipotesi t<t')
quindi deve essere necessariamente f -1(t) < f -1(t').
Risposta 2 non detta a lezione: sappiamo che y deve essere un numero in [- π/2,π /2]
e che cos(α) ≥ 0 per ogni α in [- π/2,π /2]
CASO della funzione arccos(x)
La funzione y=cos(x) è invertibile se si sceglie come dominio [0,π ]
(in questo intervallo la funzione y=cos(x) è continua e strettamente decrescente)
e come codominio [-1,1]
La derivata della funzione inversa è quindi, ricordando che la derivata di cos(x) è -sin(x), per x in (-1,1)
(d/ dx) arcsin (x) = 1/ f'(f-1(x) ) = 1/ sin ( arccos (x) ) = - 1/ sin( y)
dove y è tale che y è in [0,π ] e cos( y)=x
in modo analogo abbiamo che sin2( y)=1-cos2( y)=1-x2 e che quindi
sin( y) = ±(1-x2)1/2, m va scelto il segno + perche' sin( y)≥ 0 per y in [0,π ],
oppure ricordare che la funzione cos(x) à decrescente e quindi lo è anche la sua inversa.
CASO della funzione arctg(x)
La funzione y=tg(x) è invertibile se si sceglie come dominio (-π/2,π/2 )
(in questo intervallo la funzione y=cos(x) è continua e strettamente decrescente)
e come codominio (-∞,∞)
La derivata della funzione inversa è quindi, ricordando che la derivata di tg(x) è 1/cos2(x), per x in (-π/2,π/2)
(d/ dx) tg (x) = 1/ f'(f-1(x) ) = 1/ [ 1/ cos2( arctg (x) )] = cos2( y)
dove y è tale che y è in (-π/2,π/2) e tg( y)=x
Qui però dobbiamo utilizzare la seguente relazione che lega cos2( y) e tg2( y)
cos2 ( y) = 1/[1 + tg2( y)]
che si dimostra immediatamente osservando che
cos2 ( y) = cos2 ( y)/1=cos2 ( y)/[cos2 ( y)+sin2 ( y)] =1/[1 + tg2( y)]
(basta dividere numeratore e denominatore per cos2 ( y)]
a questo punto ricordando che se arctg(x)=y allora x= tg( y)
(d/dx) acrtg(x) = cos2 ( y)= 1/[1 + tg2( y)] = 1/[1+x2].
lunedì 24 novembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Regola di de l'Hôpital
per i limiti del tipo 0/0 o del tipo ∞/∞
esempi e applicazioni
correzione del test di valutazione.
(da completare)
mercoledì 26 novembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Concavità e convessità, varie caratterizzazioni.
Flessi orizzontali e obliqui
Studio del grafico delle funzioni f(x)=x2/(x2+3) e della funzione f(x)=x3/[x2-x-2]
PRIMA Definizione di funzione convessa
(o con concavità rivolta verso l'alto)
f(x) è convessa in un intervallo J (limitato o illimitato) se e solo se
comunque scelti x1 e x2 in J (si può pensare con x1<x2 )
per ogni x in (x1,x2) la funzione f(x) è sempre minore o uguale alla retta secante che passa per i punti (x1,f(x1)) e (x2,f(x2)),
cioè la retta y=f(x1)+ { [f(x2)-f(x2)]/(x2-x1) }(x-x1)
IN FORMULE
f(x) ≤ f(x1)+ { [f(x2)-f(x2)]/(x2-x1) }(x-x1) per ogni x tale che x1≤x≤x2,
[ovviamente poiché l'equazione della retta si può scrivere anche come
y=f(x2)+ { [f(x1)-f(x1)]/(x1-x2) }(x-x2)
vale anche
f(x) ≤ f(x2)+ { [f(x1)-f(x1)]/(x1-x2) }(x-x2) per ogni x tale che x1≤x≤x2 ]
-----------------------------------------------------------------
UNA FUNZIONE è CONCAVA in J se invece vale la disuguaglianza opposta, ossia se comunque scelti x2 e x1 in J (possiamo pensare x1≤x2, )
f(x) ≥ f(x1)+ { [f(x2)-f(x2)]/(x2-x1) }(x-x1) per ogni x tale che x1≤x≤x2,
Ovviamente se f(x) è convessa in J allora -f(x) è concava e viceversa se f(x) è concava in J allora -f(x) è convessa
PROTOTIPO DELLE FUNZIONI CONVESSE SONO la funzione y=|x| e la funzione y=x2.
SECONDA DEFINIZIONE EQUIVALENTE di funzione convessa
UNA FUNZIONE è CONVESSA in J se invece vale la disuguaglianza opposta, ossia se comunque scelti x2 e x1 in J (possiamo pensare x1≤x2, )
f(λx1+(1-λ)x2)≤ λ f(x1) + (1-λ)f(x2) per ogni λ in [0,1]
MOTIVO PER CUI LA DEFINIZIONE E' EQUIVALENTE: al variare di λ
x(λ)=λx1+(1-λ)x2 percorre il segmento di estremi x1 e x2
(si noti che x(0)=x2 e che x(1)=x1)
e quindi i punti (x(λ), f(λx1+(1-λ)x2) ) percorrono il grafico della funzione
mentre i punti
(x(λ), λ f(x1) + (1-λ)f(x2) )
percorrono il segmento della secante che unisce i punti (x1,f(x1)) e (x2,f(x2))
CONDIZIONI DI CONVESSITA' per funzioni derivabili
Se f(x) è derivabile in ogni punto di J allora è convessa se e solo se
per ogni x1 in J la retta tangente è sempre minore o uguale alla funzione stessa
ossia, dato che l'equazione della retta tangente in x1 è
y=f(x1)+f'(x1)(x-x1)
Sia f derivabile in J allora f è convessa se e solo se
se per ogni x1 in J si ha
f(x1)+f'(x1)(x-x1) ≤ f(x) per qualunque x in J
Ovviamente per le funzioni concave e derivabili vale la disuguaglianza opposta:
Sia f derivabile in J allora f è concava se e solo se
se per ogni x1 in J si ha
f(x1)+f'(x1)(x-x1) ≥ f(x) per qualunque x in J
Seconda caratterizzazione
Sia f derivabile in J allora f è convessa se e solo se f'(x) è crescente
analogamente
Sia f derivabile in J allora f è concava se e solo se f'(x) è decrescente
Condizioni di convessità per funzioni con derivata seconda
Se una funzione è derivabile due volte e f''(x)≥0 allora f(x) è convessa
(per ricordarlo pensare al prototipo f(x)=x2 per la quale f'(x)=2x e f''(x)=2>0)Se è convessa e derivabile due volte allora f''(x)≥0.
ESEMPIO la funzione f(x)=x4 è convessa, e si ha f''(x)≥0, ma non f''(x)>0 per ogni x: infatti f'(x)=4x3 e quindi la derivata prima è crescente e quindi f(x)=x4 è convessa, ma f''(x)=12x2 ≥0, ma vale 0 in x=0.
FLESSI
la curva (x, f(x)) ha un flesso in (x0,f(x0)) se la funzione f(x) cambia concavità in x0, ossia se la funzione a destra di x0 è convessa e a sinsitra di x0 è concava o viceversa
più precisamente
se esistono due intervalli (x0, x0+ε1) e (x0-ε2,x0) (con ε1>0 e ε2>0) per i quali
(a) f(x) è convessa in (x0, x0+ε1) ed f(x) è concava in (x0-ε2,x0)
oppure viceversa
(b) f(x) è concava in (x0, x0+ε1) ed f(x) è convessa in (x0-ε2,x0)
Si dice che si ha un flesso orizzontale se f'(x0)=0
come ad esempio per la funzione f(x)=x3 e con x0=0
si dice che si ha un flesso obliquo se f'(x0)≠0
come ad esempio per la funzione
f(x)= x2/(x2+3)
per la quale, dalla formula (f/g)' = [f'g-fg']/g2,
f'(x)= [2x (x2+3) - x2 2x] / (x2+3)2 = 6 x/(x2+3)2,
e quindi usando di nuovo la stessa formula e la formula (d/dx)h(f(x))=h'(f(x))f'(x), per calcolare la derivata di (x2+3)2,
f''(x) = 6 [ (x2+3)2 - x 2 (x2+3) 2x]/(x2+3)4,= 6 [ 1/(x2+3)3] [ (x2+3) -4x2]
= 6 (-3x2+3)/(x2+3)3= -18(1-x2)/(x2+3)3 ≥0
se e solo se x2≥1 ossia per x≤-1 e per x ≥1,dove è convessa e invece è concava per x in (-1,1).
Quindi la funzione f(x)= x2/(x2+3) cambia la concavità nei punti -1 e +1 e si ha che ha un punto di flesso in -1 e in + 1 e si tratta di un flesso obliquo perché
f'(1)= 6/42=3/8>0 (in -1 si ha invece f'(-1)= - 6/42<= - 3/8 < 0 )
la retta tengente y=f(1)+f'(1)(x-1) = 1/4 +(3/8)(x-1) attraversa il grafico nel senso spiegato qui sotto
IMPORTANTE la retta y=f(x0)+f'(x0)(x-x0) nelle vicinanze di x0 ,ossia nell'intervallo (x0-ε2,x0+ε1), gode della proprietà che
se vale (a) (prima convessa e poi concava)
f(x0)+f'(x0)(x-x0)≤f(x) per x in (x0, x0+ε1) (dove f(x) è convessa)
e
f(x0)+f'(x0)(x-x0)≥f(x) per x in (x0-ε2,x0) (dove f(x) è concava)
viceversa se vale (b) (prima concava e poi convessa) si ha
f(x0)+f'(x0)(x-x0)≥f(x) per x in (x0, x0+ε1) (dove f(x) è concava)
e
f(x0)+f'(x0)(x-x0)≤f(x) per x in (x0-ε2,x0) (dove f(x) è convessa)
..
venerdì 28 novembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
asintoti verticali, orizzontali e obliqui
Esercizi vari
ASINTOTI
Se limx→x0+ f(x) = +∞ si dice che la retta x=x0 è un asintoto verticale
(lo stesso vale se limx→x0+ f(x) = -∞
oppure limx→x0- f(x) = +∞ o se limx→x0- f(x) = -∞ )
Se limx→+∞ f(x) = q si dice che la retta y=q è un asintoto orizzontale
(lo stesso vale se limx→ -∞ f(x) = q )
Se limx→+∞ [f(x) - (mx+ q) ] = 0 si dice
che la retta y=mx+q è un asintoto obliquo
(ovviamente è necessario che limx→+∞ f(x) = ∞ o limx→+∞ f(x) = - ∞)
e limx→+∞ [f(x) - (mx+ q) ] = 0
Inoltre lo stesso vale se invece si limx→+∞ si considera limx→ -∞ )
ESEMPIO la funzione f(x)=x3/[x2+x-2] ha un asintoto obliquo per x→∞ e uno per x→ - ∞
Per trovarlo cominciamo con l'osservare che limx→+∞ f(x) = ∞ in quanto
x3/[x2+x-2]= x/[1+(1/x) -(2/x2)]
Poi dobbiamo trovare m e q tali che limx→+∞ [f(x) - (mx+ q) ] = 0.
Osserviamo che
f(x) - (mx+ q) = x3/[x2+x-2] -(mx+q)= [x3 - (mx+q)(x2-x-2) ] / [x2+x-2] =
=[x3 - mx3 - mx2 +2mx -qx2-qx+2q ] / [x2+x-2]
= [(1-m)x3 + (-m-q)x2 + (2m-q) +2q] / [x2+x-2]
Affinché questa funzione vada a zero quando x tende a + infinito è necessario che il numeratore sia un polinomia di grado minore del denominatore e quindi dobbiamo imporre che
1-m=0 e che -m-q=0 ossia che m=1 e q=-1
IN CONCLUSIONE la retta y=x-1 è un asintoto obliquo per la funzione f(x)=x3/[x2+x-2]
(l'altro asintoto è lasciato come esercizio)
-------------
Questo è un caso particolarmente semplice in generale per trovare se c'è un asintoto obliquo si deve procedere come segue:
Per trovare il valore m: ci si chede se esiste finito limx→+∞ f(x)/x, e se esiste necesariamente deve essere m=limx→+∞ f(x)/x
Per trovare q: si cerca , se esiste un q tale che valga la condizione
limx→+∞ [f(x) - (mx+ q) ] = 0
OSSERVAZIONE poiché il limx→+∞ f(x)/x è una forma indeterminata, SE ESISTE IL LIMITE limx→+∞ f'(x)/1= L ed è finito, allora si può prendere m=L, MA ATTENZIONE potrebbe non esistere limx→+∞ f'(x) MA INVECE potrebbe esistere finito limx→+∞ f(x)/x !!!
ESERCIZIO C7.3 ed ESERCIZIO 7.17 su massimi di funzioni in un intervallo chiuso.
Trovare il max x(1-x) per x in [3/4, 2]
SI CONSIGLIA DI FARE UN GRAFICO APPROSSIMATIVO della funzione f(x)=x(1-x), tuttavia si può risolvere anche senza l'aiuto del grafico:
si trova la derivata f'(x)= 1-2x si osserva che f'(x)=0 per x=1/2 che però non è nell'intervallo [3/4,2] si trova che f'(x) >0 solo per x< 1/2 e quindi la funzione è decrescente nell'intervallo [3/4,2] e quindi il massimo viene assunto nel punto x=374 e il massimo vale f(3/4)= 3/4 (1-3/4)= 3/16.
Osservazione: quando si tratta di trovare il massimo di f(x) in un intervallo chiuso e limitato si devono tenere presenti i seguenti fatti:
1) se la funzione è continua esistono un punto di massimo e un punto di minimo
(se l'intervallo non è limitato ciò non è vero: pensare ad esempio alla funzione ex)
2) se la funzione è derivabile non basta andare a cercare i punti xi in cui è derivabile, ma bisogna controllare anche cosa avviene agli estremi dell'intervallo, che supponiamo siano a e b
e per decidere quale è il massimo in tutto l'intervallo si confrontano tutti i valori f(xi), f(a) ed f(b) per decidere quale di questi è il massimo in [a,b] (o il minimo)
3) se ci sono dei punti in cui la funzione non è derivabile bisogna tenere conto anche di questi punti
Esercizi D.6 e D.7 del foglio 6:
Per questi esercizi servono i grafici A,B, C D ed E nella figura 6.1 (che trovate nell'eserciziario)
GRAFICO A, sicuramente è il grafico di una parabola con la concavità rivolta verso l'alto e con punto di minimo negativo e minimo assoluto positivo
GRAFICO B, è una retta con coefficiente angolare strettamente positivo e che taglia l'asse x in un punto con ascissa positiva e taglia l'asse y in un ponto con ordinata negativa
GRAFICO C, sicuramente è il grafico di una parabola con la concavità rivolta verso il basso e con punto di minimo positivo e massimo assoluto negativo
GRAFICO D, sicuramente è uina funzione crescente e SEMBRA che abbia un flesso orizzontale in un punto x0 >0 e che f(x0)<0
GRAFICO E, SEMBRA è una funzione decrescente e SEMBRA che abbia un flesso orizzontale in un punto x0 >0 e che f(x0)=0
Tuttavia le figure non sono chiarissime, e FORSE a volte non bisogna tenere conto delle unità di misura.
IN REALTA' HO CAPITO QUAL E' IL PROBLEMA CON QUESTE FIGURE: A UNA PRIMA VISTA (almeno per presbiti, come me) si vedono SOLO i punti sugli assi con coordinate intere ben marcate, e che vengono prese per le uniche coordinate intere, e quindi nel grafico E sembra che la funzione si annulli in un punto dell'intervallo (0,1) e che in 1 la funzione assuma un valore negativo!
INVECE i punti sugli assi con coordinate intere ben marcate devono essere i punti del tipo (0,2k) o (2h,0), con h e k interi, mentre i punti con coordinate dispari [ossia del tipo (0,2k+1) e (2h+1,0) ] non sono marcate e quindi nel grafico E la funzione si annulla nel punto x=1.
Ad esempio nell'esercizio D.7 si chiede di trovare a quale grafico corrisponda una funzione tale che f(1)=0 f'(1)=0 ed f''(0)=0, se si tenesse conto delle unità di misura come appaiono a un presbite, non si troverebbe nessuna funzione con queste caratteristiche fra quelle dei grafici A, B,C, D ed E
In questo caso si possono scartare immediatamente i grafici A e B per i quali non esiste un x con f(x)=0 e quindi non soddisfano la condizione f(1)=0.
Rimangono quindi solo le funzioni dei grafici B,D ed E
Giudicando dai grafici e nell'ipotesi che le unità di misura sono esatte sembrerebbe pero' che nessuna funzione soddisfa la condizione f(1)=0 tranne forse la funzione del grafico D, che però non può essere perché f'(1)>0 in quanto la funzione è strettamente crescente nel punto xD in cui la funzione si annulla [ricordiamo che la derivata f'(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente la curva (x,f(x)) nel punto (x0,f(x0)) ]
Per lo stesso motivo non può essere neanche la funzione del grafico B che è una retta con coefficiente angolare chiaramente strettamente positivo.
Rimane quindi solo il grafico della funzione E, che pero' (a un presbite) appare come una funzione con f(1)<0) e la risposta sarebbe che nessuna funzione può essere rappresentata da uno dei cinque grafici. MA SE CI SI ACCORGE DI QUALE E' LA VERA UNITA' DI MISURA allora si "VEDE" che la funzione del grafico E è tale che f(1)=0, f'(1)=0 ed f''(0)=0.
ESERCIZIO D.1 del foglio 6
sia P(x) un polinomio di grado 4, ossia P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
tangente all'asse x e con un flesso orizzontale nel punto (0,-1) si può affermare che
a) il polinomio è sempre positivo
b) il polinomio è sempre negativo
c) si può solo affermare che il polinomio è positivo a destra di x=0 (cioè per x>0)
d) si può solo affermare che il polinomio è positivo a sinistra di x=0 (cioè per x<0)
e) nessuna delle precedenti risposte è corretta.
Iniziamo dal prendere in considerazione la condizione sul flesso orizzontale in (0,-1), che ci permette di dire che
i) P(0)=-1
ii) P'(0)=0
iii) P''(0)=0
iv) P(x) cambia concavità nelle vicinanze di 0 ossia
esistono due intervalli (0, ε1) e (-ε2,0) (con ε1>0 e ε2>0) per i quali
iv.a) P''(x) > 0 per x in (0, ε1) e P''(x) < 0 per x in (- ε2,0)
oppure
iv.b) P''(x) < 0 per x in (0, ε1) e P''(x) > 0 per x in (- ε2,0)
osservando che
P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e e quindi P(0)=e
P'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d e quindi P'(0)=d
P''(x)=12ax2+6bx+2c e quindi P''(0)=2c
dalle condizioni i) ii) e iii) otteniamo che P(0)=e=-1, P'(0)=d=0 e P''(0)=2c=0
e quindi
P(x)=ax4+bx3-1
P'(x)=4ax3+3bx2 =(4ax+3b)x2
P''(x)=12ax2+6bx= 6x(2ax+b)
dalla condizione iv) otteniamo che vale
iv.a) P''(x) = 6x(2ax+b)> 0 per x in (0, ε1) e P''(x) = 6x(2ax+b) < 0 per x in (- ε2,0)
ossia che 2ax+b>0 per x in ( - ε2, ε1) e quindi b>0
oppure
iv.b) P''(x) = 6x(2ax+b) < 0 per x in (0, ε1) e P''(x) = 6x(2ax+b)> 0 per x in (- ε2,0)
ossia che 2ax+b<0 per x in ( - ε2, ε1) e quindi b<0
DALLA CONDIZIONE CHE la curva è tangente all'asse delle x otteniamo che esiste un x0 con
v) P(x0)=0, ossia a(x0)4+b(x0)3-1= 0
vi) P'(x0)=0, ossia (4ax0+3b)(x0)2=0
dalla condizione vi) deve necessariamente essere il punto x0= -3b/(4a)
e quindi dalla condizione v) si ottiene che
a(x0)4+b(x0)3=1 ossia a(-3b/(4a))4+b(-3b/(4a))3= (b4/a3)(33/43)[3/4-1 ] =1
ossia a3 = - b4 44/33 da cui si deduce che a<0
[e si possono scartare le risposte a) e c)]
Inoltre essendo a<0 si ha che P(x) tende a -∞ sia per x che tende a + ∞ che per x che tende a - ∞ [e quindi si può scartare la risposta d)].
Infine notiamo che non possono esserci punti di minimo o massimo relativo (o locale) diversi da x0= -3b/(4a): infatti gli unici punti in cui P'(x)=0 sono x=0 e appunto x= x0= -3b/(4a), e in particolare non può esserci un punto x1 di massimo relativo (o locale) con P(x1)>0, e quindi, grazie al comportamento di P(x) per x che tende a + ∞( e a - ∞), il punto di massimo assoluto (o globale) deve necesariamente essere x0= -3b/(4a), e quindi il massimo deve essere P(x0)=0, ossia il polinomio P(x) è sempre negativo (non strettamente) ossia P(x) ≤ 0
e vale la risposta b) [INTERPRETANDO P(x) sempre negativo, con negativo in senso NON STRETTO]
..
lunedì 30 novembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Coordinate Polari
Prodotto scalare
Relazione tra cos(θ), dove θ è l'angolo formato da due vettori OP e OQ e prodotto scalare
Polinomio di Taylor
COORDINATE POLARI
ogni punto/vettore P(xP,yP) puo' essere individuate univocamente dal suo modulo
ρP=(xP2+yP2)1/2, e dall'angolo αP che il vettore OP forma con l'asse delle x (NB: si suppone che αP sia in (-π, π] e O=(0,0) è l'origine degli assi)
attraverso le formule
xP=ρP cos(αP) , yP= ρP sin(αP)
Questo si vede immediatamente supponendo che P sia nel primo quadrante, ossia xP e yP entrambi positivi, (ossia αP in [0,π/2] ) e osservando che,
posto P' (x',y') il punto di incontro tra la semiretta che parte da O e passa per P e la circonferenza di raggio 1 si ha che x'=cos(αP) e y'= sin(αP).
Inoltre, posti H(xP,0) e H'(x',0) si ha che il triangolo POH è simile al triangolo P'OH' e quindi |OP|/1=|PH|/|P'H'| e |OP|/1=|OH|/|OH'| ossia
ρP= yP/y'=yP/sin(αP) e ρP= xP/x'=xP/cos(αP)
da cui yP=ρPsin(αP) e xP= ρP cos(αP)
(si veda la figura coordinate polari)
Si vede poi facilmente che nel caso in cui αP sia in uno degli altri quadranti che il segno di xP è concorde con quello di cos(αP) e analogamente che il segno di yP è concorde con quello di sin(αP).
SI OSSERVI che quando P coincide con l'origine O allora il suo modulo vale 0 e viceversa se ρP=0 allora P è l'origine.
Quando il punto è dato attraverso la coppia (ρP, αP) si dice che stiamo usando le coordinate polari.
Il nome viene dal modo in cui vengono rappresentate le carte geografiche nelle vicinanze dei poli.
Prodotto scalare
dati i vettori v1=(x1,y1) e v2=(x2,y2) il prodotto scalare è definito da
v1•v2 = x1x2+y1y2
(a volte si usa anche la notazione <v1,v2 > )
Relazione tra cos(θ), dove θ è l'angolo formato da due vettori OP e OQ e prodotto scalare
Siano P(xP,yP) e Q(xQ,yQ) con modulo ρP=(xP2+yP2)1/2, e ρQ=(xQ2+yQ2)1/2, rispettivamente
e siano αP l'angolo che il vettore OP forma con l'asse delle x, e αQ l'angolo che il vettore OQ forma con l'asse delle x
per cui
xP= ρP cos(αP) , yP=ρPsin(αP)
xQ= ρQ cos(αQ), yQ=ρQsin(αQ)
Allora, posto θ l'angolo formato da due vettori OP e OQ si ha che
θ= αP - αQ
e quindi
cos(θ)= cos(αP - αQ) = cos(αP) cos(αQ) + sin(αP) sin(αQ)
D'altra parte il prodotto scalare dei vettori OP e OQ è dato da
xPxQ+yPyQ= ρP cos(αP) ρQ cos(αQ) + ρPsin(αP) ρQsin(αQ) = ρPρQ [cos(αP)cos(αQ) + sin(αP)sin(αQ)]= ρPρQ cos(αP - αQ) =ρPρQ cos(θ)
RIASSUMENDO abbiamo trovato che
cos(θ)= [xPxQ+yPyQ] / [ ρP ρQ ]
APPLICAZIONE.
Dati i punti A(0,2), B(4,0), C(3,3) trovare l'angolo θB= ABC (ossia nel vertice B)
Prima di tutto bisogna individuare i vettori BA e BC (si tratta di "spostare l'origine degli assi in B) ossia considerare i vettori
vA= (xA-xB, yA-yB)=(0-4,2-0)=(-4,2) e il vettore vC = (xC-xB, yC-yB)=(3-4,3-0)=(-1,3) , i rispettivi moduli
ρA=((xA-xB)2+(yA-yB)2 )1/2 = ((-4)2+(2)2 )1/2= (20)1/2= 2 51/2,
ρC=((xC-xB)2+(yC-yB)2 )1/2 = ((-1)2+(3)2 )1/2= (10)1/2= 21/2 51/2,
e il prodotto scalare
vA•vC=(xA-xB)(xC-xB) + (yA-yB)(yC-yB)= (-4) (-1)+ (2) (3)= 10
e allora (dalla formula cos(θ)= [xPxQ+yPyQ] / [ρP ρQ] )
cos(θB) = vA•vC/(ρAρC)= 10/ [2 21/2 5] =1/21/2 e quindi θB= π/4 (=45°)
Piu' in generale se conosciamo il cos(θ) dove θ è un angolo nell'intervallo (0,π) possiamo almeno dire se l'angolo è acuto o ottuso, a seconda del segno di cos(θ): infatti se cos(θ)>0 allora θ è un angolo acuto (o retto, nel caso cos(θ)=1) e viceversa se cos(θ)< 0 allora è un angolo ottuso.
POLINOMIO DI TAYLOR
Iniziamo con l'osservare che, se la funzione y=f(x è derivabile, allora l'equazione della tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto (x0,f(x0)) è una funzione polinomiale di grado 1 (o lineare) il cui grafico passa per il punto (x0,f(x0))
ossia è la funzione
y=f(x0) + f'(x0) (x-x0)
Si "intuisce" da un disegno che la differenza tra la retta tangente e la funzione è "piccola" quando x-x0 è "piccolo" ovvero quando x è "vicino" a x0, ma si può anche pensare più rigorosamente al fatto che, essendo sia y=f(x) che y= f(x0) + f'(x0) (x-x0) due funzioni continue in x0, allora
limx→x0 [f(x)- ( f(x0) + f'(x0) (x-x0) ) ] = f(x0) - f(x0)=0
Lo sviluppo di Taylor generalizza questa idea al caso di funzioni polinomiali
e nel caso in cui la funzione f(x) abbia derivate di ordine più grande di 1.
[ricordiamo che f'(x) è la derivata di ordine 1, f''(x) è la derivata di ordine 2, ed è la (d/dx)f'(x) e si scrive anche (d2/dx2)f(x)=f(2)(x), f'''(x) è la derivata di ordine 3, ed è la (d/dx)f''(x) e si scrive anche (d3/dx3)f(x)=f(3)(x),
e che più in generale la derivata di ordine n o derivata n-sima (ennesima) si scrive (dn/dxn)f(x)=f( n)(x), ed è definita da f( n)(x)=(d/dx)f(n-1)(x) ]
Sia f una funzione con derivate fino all'ordine n
allora il POLINOMIO DI TAYLOR di grado n (o sviluppo di Taylor di ordine n) è il polinomio
Tn(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + f''(x0) (x-x0)2/2!+ f'''(x0) (x-x0)3/3! +...
....+ f(k)(x0) (x-x0)k /k!+ ...+ f( n)(x0) (x-x0)n /n!
SI OSSERVI CHE y=T1(x) coincide con l'equazione della reta tangente
Sotto opportune condizioni, il polinomio di Taylor Tn(x) "approssima" il valore della funzione f(x): infatti
VALE IL SEGUENTE RISULTATO
Se f(x) è derivabile fino all'ordine n+1, (con f(n+1)(x) continua) allora
la differenza tra f(x) e il polinomio di Taylor di grado n Tn(x) è maggiorata, in valore assoluto come segue:
| f(x) - Tn(x)| ≤ M |x-x0|n+1/(n+1)!
dove M è una costante che dipende da f, da n, da x e x0,
ossia, se x>x0 allora
M=max t in [x0 ,x] |f(n+1)(t)|
mentre se x<x0 allora
M=max t in [x, x0] |f(n+1)(t)|
OSSERVAZIONE: se x varia in [x0-δ, x0+ δ] allora vale anche la seguente maggiorazione:
| f(x) - Tn(x)| ≤ M' δn+1/(n+1)! per ogni x in [x0-δ, x0+ δ]
dove M':= max t in [x0 -δ,x0 +δ] |f(n+1)(t)|
in quanto (ad esempio per x< x0)
M=max t in [x, x0] |f(n+1)(t)| ≤ M'= max t in [x0 -δ,x0 +δ] |f(n+1)(t)|
ossia l'errore che si commette calcolando Tn(x) invece di f(x) è minore o uguale a
max t in [x0 -δ,x0 +δ] |f(n+1)(t)| δn+1/(n+1)!
APPLICAZIONE:
Calcolare ex per x in [0,1/4] utilizzando il polinomio di Taylor di grado 2 in x0=0 e trovare l'errore massimo che si commette (sia direttamente che utilizzando la maggiorazione dell'errore sopra citata)
Per iniziare ricordiamo che per f(x)=ex, si ha f'(x)=ex, e quindi f( n)(x)=ex, per ogni n, e quindi f( n)(0)=e0=1, per ogni n.
Di conseguenza il polinomio di Taylor di ordine n per x0=0 è dato da
Tn(x)= 1 + x + x2/2!+ x3/3!+ x4/4!+....+ xn/n!
in particolare
T2(x)= 1 + x + x2/2
e quindi il valore assoluto dell'errore che si commette calcolando 1 + x + x2/2 invece di ex è uguale a
|ex - (1 + x + x2/2)| posto g(x)=ex - (1 + x + x2/2) si vuole calcolare esattamente
max x in [0,1/4] |g(x)|
o almeno trovare una maggiorazione per tale espressione
Nel primo caso lo studio del max x in [0,1/4] |g(x)| si riduce a osservare che
g(0)=e0 - (1 + 0 + 02/2)=0
e che
g(1/4)=e1/4 - (1 + 1/4 + (1/4)2/2) = e1/4 - (32+8+1 )/32=e1/4 - 41/32
e che
g'(x)= ex - (0 + 1 + (2x)/2) = ex - (1 + x) ≥ 0 per ogni x
in quanto la funzione f(x)=ex è convessa su tutti i reali (ad esempio la derivata seconda è ex>0 per ogni x) e l'equazione della tangente nel punto (0,1) è y=1+x
e quindi il grafico della funzione è sempre al di sopira del grafico della retta tangente, o anche la funzione è sempre maggiore o uguale della tangente [ o meglio f(x) ≥ f(x0)+f'(x0)(x-x0), per ogni x, si confrontino le caratterizzazioni delle funzioni convesse]
di conseguenza
g(x)=ex - (1 + x + x2/2) ≥ g(0)=0 ed essendo g(x) una funzione crescente si ha che |ex - (1 + x + x2/2)| =|g(x) |=g(x) e
max x in [0,1/4] |ex - (1 + x + x2/2)|= max x in [0,1/4] |g(x)| = max x in [0,1/4] g(x)= g(1/4)= e1/4 - 41/32
ora e1/4 - 41/32 vale circa 0,00277
[ più precisamente usando una calcolatrice scientifica
1,2840254166877414840734205680624- 1,28125 = 0,00277541668774148407342056806244 ]
tuttavia c'è stato bisogno di calcolare e1/4 usando una calcolatrice scientifica e non volevamo utilizzare questo mezzo ma solo una calcolatrice semplice
Allora possiamo utilizzare invece il RISULTATO sul polinomio di Taylor per poter dire che
max x in [0,1/4] |ex - (1 + x + x2/2)| ≤ max t in [0,1/4] | (d2/dt2)et | (1/4)3/3!=
= max t in [0,1/4] | et | (1/4)3/3! = e1/4 (1/4)3/3! ≤ 3 (1/4)3/3! =
= 1/128 = 0,0078125 ≤ 0,008 = 8 10-3.
(abbiamo usato il fatto che e1/4 ≤ 3 e che 3!=3 2=6)
e possiamo quindi affermare che per ogni x in [0,1/4]
1 + x + x2/2- 8 10-3≤ ex ≤1 + x + x2/2 +- 8 10-3
..
lunedì 30 novembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Ancora sui polinomi di Taylor
caso f(x)= cos(x) e x0=0 (con dim e applicazione)
caso f(x)= sin(x) e x0=0 (con dim)
caso f(x)= ln(1+x) e x0=0 (senza dim)
Discussione sugli Esercizi sui polinomi (foglio 6 D.1, D.2 e D.3)
Polinomio di Taylor caso f(x)= cos(x) e x0=0
f(x)=cos(x)
f'(x)=-sin(x)
f''(x)= -cos(x)
f'''(x)= sin(x)
fiv(x)=cos(x)
e quindi si ottiene che si ricomincia daccapo
in particolare per f(x)=cos(x)
f(4k)(x)=cos(x)
f(4k+1)(x)=-sin(x)
f(4k+2)(x)= -cos(x)
f(4k+3)(x)= sin(x)
di conseguenza
f(0)=cos(0)=1
f'(0)=-sin(0)=0
f''(0)= -cos(0)=-1
f'''(0)= sin(0)=0
fiv(0)=cos(0)=1
e cosi' via
e quindi nello sviluppo di Taylor (o polinomio di Taylor) appaiono solo le potenze si esponente pari e con segno alterno
ad esempio
T1(x)=cos(0)-sin(0)x=1+0x=1
T2(x)=cos(0)-sin(0)x-cos(0)x2/2!=1+0x-x2/2!=1-x2/2
T3(x)=cos(0)-sin(0)x-cos(0)x2/2! +sin(0)x3/3!=1+0x-x2/2!+0x3/3!
=1-x2/2 =T2(x)
T4(x)=cos(0)-sin(0)x-cos(0)x2/2! +sin(0)x3/3! + cos(0)x4/4!
=1+0x-x2/2!+0x3/3!+x4/4!=1-x2/2!+x4/4!
T5(x)=1+0x-x2/2!+0x3/3!+x4/4!+0x5/5!=1-x2/2!+x4/4!=T4(x)
etc
ad esempio
T11(x) =1-x2/2!+x4/4! - x6/6! + x8/8! - x10/10!
OSSERVAZIONE la funzione cos(x) è pari e anche il polinomio di Taylor è pari, (compaiono solo le potenze pari di x)
APPLICAZIONE
calcolare cos(0,2) usando il polinomio di Taylor di grado 3 e maggiorare l'errore commesso utilizzando il risultato sui polinomi di Taylor
T3(x)=T2(x)=1-x2/2
e quindi
T3(0,2)=1-(0,2)2/2= 1- (2/10)2/2= 1-2/100=98/100=0,98
utilizzando la maggiorazione dell'errore e osservando che
M=max t in [x0 ,x] |f(n+1)(t)| ≤ 1
(la derivata n+1-sima è una fra le funzioni ±sin(t) o ± cos(t) e quindi sicuramente il suo valore assoluto è minore o uguale a 1)
otteniamo che
| cos(0,2) - T3(0,2) | = | cos(0,2)- (1-(0,2)2/2) | ≤ M (0,2)3/3! ≤ 1 (2/10)3/3! = (4/3) 10-3 = (circa) 1,33 10-3 ,
ossia che 0,97867=0,98 - 1,33 10-3 ≤ cos(0,2) ≤ 0,98 + 1,33 10-3 = 0,98133
(per curiosità dalla calcolatrice scientifica si ottiene che cos(0,2)=0,98006657784124163112419651674817)
Inoltre lo stesso vale per ogni x in [0,2/10]
ossia
| cos(x) - T3(x) | = | cos(x)- (1-x2/2) | ≤ max t in [0 ,x] |f(n+1)(t)| |x|3/3! ≤ 1 (0,2)3/3! = 1 (2/10)3/3! = (4/3) 10-3 = (circa) 1,33 10-3
cioè per ogni x in [0,2/10]
1-x2/2 - 1,33 10-3 ≤ cos(x) ≤ 1-x2/2 + 1,33 10-3
Polinomio di Taylor caso f(x)= sin(x) e x0=0
f(x)=sin(x)
f'(x)=cos(x)
f''(x)= -sin(x)
f'''(x)= -cos(x)
fiv(x)= sin(x)
e quindi si ottiene che si ricomincia daccapo
in particolare per f(x)=sin(x)
f(4k)(x)=sin(x)
f(4k+1)(x)=cos(x)
f(4k+2)(x)= -sin(x)
f(4k+3)(x)= -cos(x)
di conseguenza
f(0)=sin(0)=0
f'(0)=cos(0)=1
f''(0)= -sin(0)=0
f'''(0)= -cos(0)=-1
fiv(0)=sin(0)=0
e cosi' via
e quindi nello sviluppo di Taylor (o polinomio di Taylor) appaiono solo le potenze si esponente dispari e con segno alterno
ad esempio
T1(x)=0+1x=x
T2(x)=0+1x+0x2/2!= x =T1(x)
T3(x)=0+1x+0x2/2!- 1x3/3!=x-x3/3!
T4(x)=0+1x+0x2/2!- 1x3/3!+0 x4/4! =x-x3/3! =T3(x)
T5(x)=0+1x+0x2/2!- 1x3/3!+0 x4/4! + x5/5!=x-x3/3!+x5/5!
etc
ad esempio
T11(x) =x-x3/3!+x5/5! - x7/7! + x9/9! - x11/11! ( =T12(x) )
OSSERVAZIONE la funzione sin(x) è dispari e anche il polinomio di Taylor è dispari, (compaiono solo le potenze dispari di x)
Polinomio di Taylor caso f(x)= ln(1+x) e x0=0
T4(x)= 0 + x - x2/2 + x3/3- x4/4
e più in generale
Tn(x)= 0 + x - x2/2 + x3/3- x4/4 +....± xn/n (dove l'ultimo termine è + xn/n se n è dispari e - xn/n se n è pari)
DISCUSSIONE DEGLI ESERCIZI del tipo D.1, D.2 e D.3 del foglio 6
Attenzione alcuni studenti hanno pensato che la frase in D.2
" un polinomio di grado 4 ha un massimo in (1,1)" significasse che 1 è un punto di massimo assoluto e che quindi f(x) ≤ 1 per ogni x.
[tra l'altro è più usuale dire un polinomio di grado 4 ha un massimo nel punto 1 e il massimo vale 1, oppure 1 è un punto di massimo e f(1)=1 ]
Chiederò alla professoressa Menghini se questa interpretazione è corretta, ma se fosse cosi' credo che avrebbe detto che (1,1) è IL massimo e non UN massimo.
Analogamente se la frase in D.3
" un polinomio di grado 4 ha un minimo in (0,0) " si dovesse interpretare come ha un minimo assoluto allora il fatto che abbia anche un flesso orizzontale sarebbe inutile e la risposta giusta sarebbe banalmente la risposta 3A (ossia che il polinomio è sempre positivo)
Ad esempio per l'esercizio D.3 del foglio 6 si ha
che posto
P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e e quindi P(0)=e
P'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d e quindi P'(0)=d
P''(x)=12ax2+6bx+2c e quindi P''(0)=2c
dalla condizione che 0 è un punto di minimo (locale) e che P(0)=0
si ha che
P(0)=e=0
P'(0)=d=0
P''(0)=2c≥0
ossia
P(x)=ax4+bx3+cx2
P'(x)=4ax3+3bx2+2cx= x(4ax2+3bx+2c)
P''(x)=12ax2+6bx+2c
Dalla condizione che ha un flesso orizzontale in un altro punto x=ξ≠0
si ottiene che esiste un punto ξ≠0, tale che
P'(ξ)=0
P''(ξ)=0
ossia ξ≠0 è soluzione del sistema
x(4ax2+3bx+2c)=0 (I)
12ax2+6bx+2c =0 (II)
che grazie alla condizione che ξ≠0 possiamo riscrivere come
4ax2+3bx+2c=0 (I')
12ax2+6bx+2c=0 (II)
Dalla (I') otteniamo che ξ= [ -3b ± ((3b)2 - 32ac)1/2 ]/ (8a)
Inoltre da (II) - (I') abbiamo che ξ≠0 è soluzione di
12ax2+6bx+2c -(4ax2+3bx+2c)= 8ax2+3bx = x(8ax+3b)=0
ed essendo ξ≠0 è soluzione di 8ax+3b=0 ossia ξ= -3b/(8a)
da cui , confrontando con la condizione ξ= [ -3b ± ((3b)2 - 32ac)1/2 ]/ (8a) = -3b/(8a)
abbiamo che (3b)2 - 32ac=0 e quindi
P'(x)=4a x (x- ξ)2
e quindi non possono esserci altri punti di massimo o minimo locale diversi da x=0
Quindi non può essere a<0 altrimenti ci sarebbero almeno altri due punti di massimo locale e ciò è impossibile.
DI CONSEGUENZA x=0 deve essere un minimo ASSOLUTO (o globale) e quindi la funzione P(x)≥0 per ogni x.
Volendo si potrebbe arrivare alla conclusione che a>0 anche osservando che
da (1/2)(II) - (I') si ottiene che
6ax2+3bx+ c -(4ax2+3bx+2c)= 2ax2- c=0
ossia (ricordando che a≠0 ) che
ξ2= c/(2a)
ed inoltre, essendo ξ≠0 (e quindi ξ2>0) e c≥0
deduciamo che c>0 e che anche a >0
Per l'esercizio D.3 del foglio 6 si ha
che posto
P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e e quindi P(0)=e P(1)= a+b+c+d+e
P'(x)=4ax3+3bx2+2cx+d e quindi P'(0)=d P'(1)=4a+3b+2c+d
P''(x)=12ax2+6bx+2c e quindi P''(0)=2c P''(1)=12a +6b+2c
dalla condizione che (1,1) è un massimo (locale) e che c'è un flesso nell'origine, come vediamo qui sotto non si riesce ad ottenere nulla
MA BISOGNA CHIEDERE ANCHE CHE NELL'ORIGINE CI SIA UN FLESSO ORIZZONTALE
otteniamo che
si ha che
P(0)=e=0
P(1)= a+b+c+d+e=1
[P'(0)=d = 0 ? se possiamo dire se è un flesso orizzontale, ma non la usiamo per il momento]
P'(1)= 4a+3b+2c+d =0
P''(0)=2c = 0
P''(1)= 12a +6b+2c ≤0
dalle condizioni P(0)=e=0 e P''(0)=2c = 0
possiamo dire che
P(x)=ax4+bx3 +dx
P'(x)=4ax3+3bx2 +d
P''(x)=12ax2+6bx
e le altre condizioni diventano
P(1)= a+b+d=1 cioè d=1-(a+b) (I)
P'(1)= 4a+3b+ d =0 cioè d=-4a-3b (II)
P''(1)= 12a +6b ≤0 (III)
dal confronto tra (I) e (II) otteniamo che
1-(a+b)=-4a-3b cioè 1-a+4a = b-3b ossia 1+3a = - 2b e infine b= - (1+3a)/2
e inserendo questo risultato in (III) possiamo affermare che
12a +6b = 12 a - 3 (1+3a) = 3a -3 =3( a-1) ≤0 ossia a ≤ 1
e di conseguenza ricordando che
d=1-(a+b) = 1-a +(1+3a)/2= [2-2a +1+3a]/2= (3+a)/2
P(x)=ax4-(1+3a)x3 /2 + (3+a) x /2
P'(x)=4ax3 - 3(1+3a) x2 /2 +(3+a)/2
P''(x)=12ax2 - 3(1+3a) x
ed è ben difficile poter dire qualcosa!!
SE INVECE PONIAMO LA CONDIZIONE CHE IN (0,0) CI SIA UN FLESSO ORIZZONTALE, ALLORA ABBIAMO ANCHE LA CONDIZIONE
P'(0)=d = 0 allora potremo dire che d=0 e che quindi
P(x)=ax4+bx3
P'(x)=4ax3+3bx2
P''(x)=12ax2+6bx
e le altre condizioni diventano
P(1)= a+b =1 cioè b=1-a
P'(1)= 4a+3b =0 cioè 4a +3(1-a)=a+3=0 e cioè a=-3 e b=1-(-3)=4
P''(1)= 12a +6b = 6(2a+b) ≤0 e coerentemente 2a+b=-6+4=-2<0
e quindi
P(x)= -3 x4 +4 x3 = x3 (-3x+4) =-x3 (3x-4)
e il segno di P(x) è dato dal sistema
P(x)>0 se e solo se
-x3>0 e 3x-4>0, cioè x<0 e x>4/3 (impossibile)
OPPURE
-x3<0 e 3x-4<0, cioè x>0 e x<4/3 ossia 0<x<4/3
e quindi
P(x) <0 per x<0 e anche P(x)<0 per x>4/3
IN DEFINITIVA possiamo dire che P(x) è negativa a sinistra di 0 (cioè per x<0)
..
mercoledì 2 dicembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Integrali definiti: ∫ab f(t)dtè il simbolo che si usa per l'integrale definito di f(t) [ in dt ] tra a e b.
a e b sono detti estremi di integrazione
(i) interpretazione geometrica, se a<b, la funzione f(x) è a valori positivi (o nulli) l'idea è definire ∫ab f(t)dt come area della regione compresa tra l'asse x e la funzione f(x), per x in [a,b],ossia del seguente insieme di punti del piano
{ (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f(x) }
(ii) definizione formale:
(ii.a) il caso di funzioni costanti a tratti: se l'intervallo [a,b] è diviso in sottointervali del tipo [xk-1,xk) (con a=x0<x1<x2<....<xn-1<xn=b ) e la funzione f(x) è costante su ciascun intervallo [xk-1,xk), e più precisamente
f(x)=ck per x in [xk-1,xk)
allora
∫ab f(t)dt = c1 (x1-x0) + c2 (x2-x1)+... + ck (xk-xk-1)+...+cn-1 (xn-1-xn-2)+cn (xn-xn-1)
= ∑k=1 n ck (xk-xk-1)
(ii.b) il caso di funzioni continue in [a,b]: comunque si divida l'intervallo in n sottointervalli del tipo [xk-1,xk) (con a=x0<x1<x2<....<xn-1<xn=b ) si possono definire due funzioni costanti a tratti nel seguente modo
f1(x) = mk per x in [xk-1,xk)
dove mk=min x in [xk-1,xk] f(x)
ed
f2(x) = Mk per x in [xk-1,xk)
dove Mk=MAX x in [xk-1,xk] f(x)
di modo che, chiaramente, f1(x) ≤ f(x)≤f2(x) per ogni x in [a,b]
(si ricorda che essendo f(x) una funzione continua, il massimo e il minimo su ogni intervallo chiuso e limitato sono univocamente individuati)
OSSERVAZIONE ovviamente le funzioni f1(x) ed f1(x) dipendono da f, ma anche da n e dalla suddivisione scelta, ossia da a=x0<x1<x2<....<xn-1<xn=b, ma, per semplicità di notazione, tali dipendenze vengono omesse.
Di conseguenza (con un disegno diventa tutto più semplice)
{ (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f1(x) } è contenuto in { (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f(x) } che a sua volta è contenuto in { (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f2(x) }
e quindi l'area della regione che ci interessa, ossia {(x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f(x)}, è compresa tra l'area della regione { (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f1(x) } che è appunto
∫ab f1(t)dt = ∑k=1 n mk (xk-xk-1)
e l'area della regione { (x,y) con a≤x≤b e 0≤y≤f2(x) } che è appunto
∫ab f2(t)dt = ∑k=1 n Mk (xk-xk-1)
ovvero
∫ab f1(t)dt = ∑k=1 n mk (xk-xk-1)≤ A ≤∫ab f2(t)dt = ∑k=1 n Mk (xk-xk-1)
(dove A= area della regione che ci interessa)
Poiché f(x) è una funzione continua, si dimostra che infittendo la suddivisione in intervalli (e quindi per n che tende all'infinito) in modo che l'ampiezza di ciascun intervallo [xk-1,xk) , cioè |xk-xk-1| , tenda a zero, allora le due somme sono sempre piu' vicine.
Il valore dell'integrale di f(x) tra a e b, in simboli ∫ab f(t)dt è appunto questo valore "limite"
OSSERVAZIONE il motivo per cui tale se l'ampiezza di ciascun intervallo [xk-1,xk), cioè |xk-xk-1| , tenda a zero, la differenza tra
∑k=1 n Mk (xk-xk-1) e ∑k=1 n mk (xk-xk-1) è piccola
è perché, essendo la funzione continua, e l'intervallo "piccolo" la funzione varia poco in tale intervallo e quindi per ogni x in [xk-1,xk), f(x) è "vicino sia ad mk che a Mk, e quindi sia Mk (xk-xk-1) che mk (xk-xk-1) sono "vicini" a f(xk)(xk-xk-1). Ovviamente questa non è una dimostrazione formale, ma rende l'idea del motivo.
ESEMPIO: Calcolo dell'integrale della funzione f(x)=x tra 0 e 1 (con la definizione formale)
e dell'integrale della funzione f(x)=x2 tra 0 e 1 (con la definizione formale).
Il caso f(x)=x si potrebbe facilmente risolvere graficamente (se disegnate sul piano cartesiano la retta y=x, si vede immediatamente che la regione
{ (x,y) con 0≤x≤1 e 0≤y≤x }
è un triangolo di area 1/2.
Tuttavia vogliamo riottenere lo stesso risultato utilizzando il procedimento illustrato dalla definzione formale
(ovviamente serve solo come esempio, ma vedremo che ci sono metodi piu' efficaci per "calcolare" gli integrali definiti)
Si considera la suddivisione dell'intervallo [0,1] con xk=k/n, di modo che xk-xk-1 = 1/n per ogni k=1,...,n.
Si vede facilmente che, essendo la funzione f(x)=x crescente
mk=min x in [xk-1,xk] f(x) = min x in [xk-1,xk] x = xk-1= (k-1)/n
e
Mk=MAX x in [xk-1,xk] f(x) = MAX x in [xk-1,xk] x = xk= k/n
per cui
∫01 f1(t)dt = ∑k=1 n mk (xk-xk-1)
= ∑k=1 n (k-1)/n [1/n]
= [1/n2] [0+1+2+...+(n-1)]
e
∫01 f2(t)dt = ∑k=1 n Mk (xk-xk-1)
= ∑k=1 n k/n [1/n] = [1/n2] [1+2+...+(n-1)+n]
= [1/n2] n(n+1)/2 =(1/2) [ n2+n]/n2
che tende a 1/2 all'infittirsi della suddivisione, ossia quando n tende all'infinito.
(abbiamo usato la formula 1+2+...+n=n(n+1)/2 e il fatto che [ x2+x]/x2 tende a 1 per x che tende ad infinito)
Inoltre si vede facilmente che
∫01 f2(t)dt - ∫01 f1(t)dt
= [1/n2] { [1+2+...+(n-1)+n] - [0+1+2+...+(n-1)] }m = [1/n2] n = 1/n
che tende a zero per n che tende all'infinito e quindi abbiamo ottenuto che
all'infittirsi della suddivisione i valori di ∫01 f2(t)dt e di ∫01 f1(t)dt tendono entrambi a 1/2, come si voleva, ossia che
∫01 t dt =1/2 corentemente con l'interpretazione geometrica.
Il caso di f(x)=x2 è ben fatto sul libro, qui osserviamo solo che si tratta di ripetere quanto fatto nel caso f(x)=x
ma osservando che in questo caso mk=[(k-1)/n]2 e Mk=[k/n]2.
Quindi in questo caso
∫01 f1(t)dt = ∑k=1 n mk (xk-xk-1)
= ∑k=1 n [(k-1)/n]2 [1/n] = [1/n2] [02+12+22+...+(n-1)2]
e
∫01 f2(t)dt = ∑k=1 n Mk (xk-xk-1)
= ∑k=1 n [k/n]2 [1/n] = [1/n3] [12+22+...+(n-1)2+n2] =
[1/n3] n(n+½)(n+1)/3 = (1/3) [n(n+½)(n+1)]/n3
che tende a 1/3
(abbiamo usato la formula 12+22+...+(n-1)2+n2 = n(n+½)(n+1)/3 = n(2n+1)n/6 )
e anche qui
∫01 f2(t)dt - ∫01 f1(t)dt = [1/n2] {[12+22+...+(n-1)2+n2] - [02+12+22+...+(n-1)2] }
= [1/n3] n2 = 1/n
che tende a zero per n che tende all'infinito
In definitiva abbiamo ottenuto che
∫01 t2dt =1/3.
Estensioni e alcune proprietà
1) estensione al caso di funzioni che possono assumere valori negativi (area segnata)
2) estensione al caso in cui gli estremi di integrazione non sono in ordine crescente ossia, se x1 < x2 , allora, per definizione si pone
∫x2x1 f(t)dt = - ∫x1x2 f(t)dt
Proprietà dell'integrale definito:
se a<c<b allora ∫ab f(t)dt = ∫ac f(t)dt + ∫cb f(t)dt
(ovvia, se si pensa all'interpretazione geometrica come area)
Quest'ultima proprietà permette di estendere l'integrale anche a funzioni definite a tratti, in modo che su ciascun intervallo siano continue.
Inoltre, le altre proprietà permettono di definire la seguente funzione:
Fa(x)=∫ax f(t)dt
sia per x maggiore di a che per x minore di a e di osservare che
SE LA FUNZIONE f(x) è continua,
allora la funzione Fa(x) è derivabile e ha derivata prima uguale a f(x) ossia
(d/dx)Fa(x)=f(x)
--------------------------------------------------
Idea euristica:
Fa(x+Δ)=∫ax+Δ f(t)dt = ∫ax f(t)dt + ∫xx+Δ f(t)dt = Fa(x) + ∫xx+Δ f(t)dt
quindi il rapporto incrementale vale
[Fa(x+Δ) - Fa(x)]/Δ = ∫xx+Δ f(t)dt / Δ
inoltre se Δ è "piccolo" allora
∫xx+Δ f(t)dt è molto "vicino" al prodotto f(x) Δ
in quanto per ogni t in [x, x+Δ] il valore f(t) è "vicino" a f(x) [perché f è continua]
e quindi
[Fa(x+Δ) - Fa(x)]/Δ = ∫xx+Δ f(t)dt / Δ =(circa) f(x) Δ/ Δ = f(x).
DEFINIZIONE di una FUNZIONE PRIMITIVA di una funzione data
data una funzione f(x) ed una funzione F(x) tale che
la derivata F'(x)=f(x)
si dice allora che la funzione F(x) è una funzione primitiva di f(x).
Abbiamo quindi trovato che la funzione Fa(x)=∫ax f(t)dt è una funzione primitiva di f(x).
Osservazioni Se F1(x) è una funzione primitiva di f(x), allora anche la funzione F2(x)=F1(x)+C, doce C è una costante, è una primitiva
[ infatti se (d/dx)F1(x) = f(x)
allora (d/dx) F2(x)= (d/dx)( F1(x)+C) = (d/x) F1(x) + (d/dx) C = f(x) +0 ]
e viceversa,
se F1(x) ed F2(x) sono entrambe funzione primitive di f(x) allora
F1(x) ed F2(x) differiscono per una costante
[ Infatti se (d/dx)F1(x) = f(x) e (d/dx)F2(x) = f(x)
allora (d/dx)[F2(x) - F2(x)] = (d/dx)F2(x) - (d/dx)F2(x) = f(x)-f(x) =0
e inoltre se una funzione g(x) è tale che g'(x)=0 allora g(x) è costante e quindi la funzione g(x)=F2(x) - F2(x) è costante ]
Cenno al fatto che questa proprietà sarà la chiave di volta per poter calcolare esplicitamente gli integrali definiti e al legame tra primitive e integrali definiti.
..
venerdì 4 dicembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Relazione tra integrale definito e integrale indefinito ed esempi
Definizione di integrale indefinito
L'integrale indefinito di f(x) è la collezione delle funzioni F(x) primitive di f(x) ossia tali che F'(x)=f(x) e viene denotato con
∫ f(x)dx = { funzioni F(x) tali che F'(x)=f(x) }
Dalla lezione precedente sappiamo che data una primitiva F(x) tutte le atre primitive differiscono da F(x) per una costante, ossia per ogni F1(x) primitiva di f(x) esiste una costante C tale che F1(x)=F(x)+C e quindi possiamo scrivere
∫f(x)dx = { funzioni F(x)+C con C costante }dove F è una fissata primitiva di f
TUTTAVIA C'E' UNA NOTAZIONE PIU' SEMPLICE OSSIA
∫f(x)dx = F(x)+C
Come abbiamo visto euristicamente nella lezione precedente, la funzione
Fa(x)=∫ax f(t)dtè una primitiva di f(x) e quindi fissata una primitiva F(x) possiamo affermare che esiste una costante C tale che
Fa(x)=∫ax f(t)dt =F(x)+C
Inoltre, tenendo conto che Fa(a)=0 (come del resto discende immediatamente dall'interpretazione dell'integrale come area)
possiamo affermare che
∫abf(t)dt = Fa(b)=Fa(b)-Fa(a)= F(b)+C - (F(a)+C)=F(b)-F(a)
IN CONCLUSIONE ABBIAMO TROVATO IL LEGAME TRA INTEGRALE DEFINITO di f(x) E INTEGRALE INDEFINITO di f(x) [ ossia la famiglia delle primitive, cioà le funzioni F(x) tali che F'(x)=f(x) ]
∫abf(t)dt = F(b) - F(a) ( = "notazione"= F(x)|ab )
Per trovare le fuzioni primitive si usa la tabella delle derivate e la si legge al contrario, ad esempio-----------------------------
(d/dx) ex = ex e quindi (d/dx) [ex+C] = ex
da cui si ottiene che∫ex dx= ex +C
-----------------------------
(d/dx)ln x = 1/x e quindi (d/dx) [lnx + C] = 1/x, con x>0
da cui si ottiene che∫1/x dx = lnx + C, con x >0
-----------------------------
(d/dx) xa = a xa-1 ovvero per comodità (d/dx) xa+1 /(a+1)= xa
e quindi (d/dx) [xa+1/(a+1) + C] = xa
da cui si ottiene che∫xa dx = xa+1/(a+1) + C
OVVIAMENTE DEVE ESSERE a+1≠0 ossia a≠-1,
ma del resto per a=-1, ossia per f(x)=x-1=1/x, abbiamo già visto che ∫1/x dx = lnx + C
-----------------------------
(d/dx)cos(x) = -sin(x) e quindi (d/dx) [-cos(x) + C] = sin(x)
da cui si ottiene che∫sin(x) dx = -cos(x) + C
-----------------------------
(d/dx)sin(x) = cos(x) e quindi (d/dx) [sin(x) + C] = cos(x)
da cui si ottiene che∫cos(x) dx = sin(x) + C
-----------------------------
(d/dx)arcsin(x) = 1/(1-x2)½ e quindi (d/dx) [ arcsin(x)) + C] = 1/(1-x2)½, per |x|<1
da cui si ottiene che∫1/(1-x2)½ dx = arcsin(x) + C
-----------------------------
Ovviamente si ha anche che
(d/dx)arccos(x) = -1/(1-x2)½ e quindi (d/dx) [-arccos(x)) + C] = 1/(1-x2)½ , per |x|<1
da cui si ottiene che∫1/(1-x2)½ dx = -arccos(x) + C
Ciò non contraddice il risultato precedente in quanto arccos(x) = -arcsin(x) + π/2
(per convincersene basta fare un disegno)-----------------------------
(d/dx)arctan(x) = 1/(1+x2) e quindi (d/dx) [ arctan(x)) + C] = 1/(1+x2)
da cui si ottiene che∫1/(1+x2) dx = arctan(x) + C
-----------------------------
Da questa prima tabella si ottiene ad esempio che
∫01 et dt = e1 - e0 = e-1 ( "notazione " ∫01 et dt = ex|01 =e1 - e0 = e-1 )Sul libro si trova una tabella completa, ma suggerisco anche la tabella da youmath all'indirizzo
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/596-integrali-notevoli.html
Esercizi vari in cui si è usata la proprietà di linearità dell'integrale definito e di quello indefinito.Per l'integrale indefinito questa proprietà significa che
∫ [α f(x) + β g(x) ] dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx
come discende immediatamente dalla proprietà di linearità delle derivate
infatti se ∫ f(x)dx = F(x)+C e ∫ g(x)dx=G(x)+K, ossia se F'=f e G'=g allora
(d/dx) [ α F(x) + β G(x) ] = α F'(x) + β G'(x) = α f(x) + β g(x)
che significa appunto che α F(x) + β G(x) è una primitiva di α f(x) + β g(x)
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lunedì 8 dicembre VACANZA ACCADEMICA
mercoledì 10 dicembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Integrazione per sostituzione e integrazione per parti esercizi ed esempi
Integrazione per sostituzione:
Sia F(x) una primitiva di f(x) [cioè F'(x)=f(f) ] e sia g(x) derivabile,
allora F(g(x)) è una primitiva di f(g(x)) g'(x)
INFATTI (d/dx) F(g(x))= F'(g(x)) g'(x) =f(g(x)) g'(x)
ovvero se ∫ f(x)dx = F(x)+C allora ∫ f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x))+C
SI USA ANCHE LA SEGUENTE NOTAZIONE
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(t) dt |t=g(x) = F(t)|t=g(x) +C = F(g(x))+C
dove il simbolo |t=g(x) significa "calcolato in t=g(x)
DI CONSEGUENZA
∫abf(g(t))dt = F(g(b)) - F(g(a)) ( = "notazione"= F(g(x))|ab )
ESEMPIO
∫ sin2(x) cos(x) dx = ∫ sin2(x) (d/dx)sin(x) dx = sin3(x)/3 +C
qui g(x)=sin(x) f(t)=t2 e F(t)=t3/3
Integrazione per parti:
Dalla formula di derivazione del prodotto di due funzioni si ha che
(d/dx) (f(x)g(x))=f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
o equivalentemente
f(x) g'(x) = (d/dx) (f(x)g(x)) - f'(x) g(x).
Quindi per la linearità dell'integrale indefinito e osservando che f(x)g(x) è ovviamente una primitiva di (d/dx) (f(x)g(x))
si ottiene la formula di integrazione per parti:
∫ f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x) g(x) dx
e analogamente, per l'integrale definito
∫ab f(x) g'(x) dx = f(x)g(x)|ab - ∫ab f'(x) g(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - ∫ab f'(x) g(x) dx
Questa formula va utilizzata ovviamente solo se si sa calcolare ∫ f'(x) g(x) dx.
ESEMPIO calcolo di ∫ xex dx
Se prendessimo f(x)=ex, g'(x)=x e quindi g(x)= x2/2 dalla FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI otterremmo
∫xex dx = ex x2/2 - ∫ ex x2/2 dx
ma non sapremmo come calcolare l'integrale indefinito
se invece prendiamo
f(x)=x e g'(x)=ex, e quindi g'(x)=ex dalla FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI otteniamo
∫xex dx =x ex - ∫ ex dx = x ex - ex +C
ESEMPIO A volte è necessario usare la formula di integrazione per parti piu volte, come nel caso di
∫x2ex dx =x2 ex - ∫ ex 2x dx = x2 ex - 2 ∫xex dx = x2 ex -2 (x ex - ∫ ex dx)
= x2 ex - 2 x ex + 2 ex + C
Questo procedimento si può utilizzare per calcolare
∫xnex dx con n intero! ma se n non è intero non sarebbe utile.
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venerdì 12 dicembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Esempi di uso della formula di integrazione per sostituzione e per parti.
valore medio di una funzione in un intervallo [a,b] limitato (ossia -inf< a<b< +inf)
Esercizi dal foglio 7
integrale di log (x)
integrale indefinito di 1/(x2-1)½lunedì 14 dicembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Equazioni differenziali: definizione e vari esempi di equazioni differenziali lineari
Soluzione generale, soluzione particolare, Equazioni differenziali in forma normale e problema di Cauchy
Enunciato del teorema di Cauchy per equazioni differenziali di ordine 1 e di ordine 2
Esempi di applicazionelunedì 14 dicembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
integrali tra a e + ∞, tra -∞ e b, e tra -∞ e +∞
Esempi :
1) integrale di e-x tra 2 e +∞
2) generalizzazione al caso e-λ x con λ >0 tra 0 e +∞
3) caso dell'area tra 0 e 1 di ln (x) geometricamente e analiticamente
4) integrale tra 1 e +∞ di x-β che è finito per β >1 e infinito altrimenti
5) integrale indefinito di 1/(x2-1)½ (per |x|>1) e generalizzazione al caso dell'integrale indefinito di 1/(x2-a2)½ e 1/(x2+a2)½
Seconda ora esercizi
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mercoledì 16 dicembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
1) Equazione differenziale del tipo dy/dx= k y/x con soluzione generale y(x)=Cxk: soluzione per verifica
INFATTI y'(x)=Ckxk-1= k Cxk/x = ky(x)/x.
2) Equazione differenziale del tipo dy/dx= a y(1-y) , con a>0 e con la richiesta che 0<y<1, con soluzione generale y(x)=1/(1+Ce-ax): soluzione per verifica, solo per C>0 (così la funzione y(x) è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 )
INFATTI, ricordando che (d/dx)[1/f(x)]= - f'(x)/f2(x)
y'(x)= - [ C e-ax (-a) ]/ [ 1+ C e-ax ]2= ( 1/[ 1+ C e-ax ] ) ([ a C e-ax ] /[ 1+ C e-ax ] )
= y(x) a (1-y(x) ) = a y(x) (1-y(x) )
in quanto a(1-y(x))= a (1- 1 /[1+ C e-ax ] ) = a ( [1+ C e-ax -1] /[1+ C e-ax ] )= a C e-ax /[1+ C e-ax ]
Studio delle soluzioni y(x)=1/(1+Ce-ax) al variare di C>0, ossia
a) la funzione è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 per ogni x
b) la funzione è crescente su tutto R, infatti
y'(x)= a y(x) (1-y(x) ) >0 [in quanto a>0, y(x)>0 e 1-y(x)>0]
c) COMPORTAMENTO AI BORDI
limx→+∞ y(x)= limx→+∞ 1/[1+ C e-ax ] =1/[1+0]=1
limx→-∞y(x)= limx→-∞ 1/[1+ C e-ax ] (=1/[1+∞] )=0
d) PUNTI DI FLESSO, CONCAVITA' e CONVESSITA'
per trovare i punti di flesso e studiare la concavità e la convessità di y(x) bisogna calcolare la derivata seconda e studiarne il segno, ma invece di calcolarla esplicitamente utilizziamo l'equazione differenziale che la funzione y(x) soddisfa, come illustrato qui sotto:
y''(x)= (d/dx) y'(x) = (d/dx) a y(x) (1-y(x) ) = a(d/dx)[ y(x) - y2(x) ]= a [y'(x)-2y(x)y'(x) ]= a y'(x) [1-2y(x)]
ora si vede immediatamente che essendo a> e y'(x)>0 [come visto nel punto b)]
y''(x) >0 se e solo se 1-2y(x) >0 ossia la funzione è convessa se e solo se y(x)<1/2, è concava se e solo se y(x) >1/2 ed ha un flesso se e solo se y(x)=1/2
INFINE a soluzione di y(x)=1/2 equivale a trovare x tale che
1/[1+ C e-ax ] =1/2 cioè 1+ C e-ax = 2 cioè C e-ax = 1
cioè (moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per eax )
C = eax, ed infine si ottiene che l'unico punto di flesso è
x=ln(C)/2
ATTENZIONE y(x)=1/(1+Ceax) è soluzione dell'equazione dy/dx= - a y(1-y)
Enunciato (parziale) del Teorema di Cauchy sull'esistenza e unicità delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale y'=Φ(x,y) con condizione iniziale y(x0)=y0.
METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 1: data una soluzione generale, che dipende da una costante C (o meglio da un parametro C) , imporre la condizione che y(x0)=y0, e trovare il valore C: il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola soluzione.
ESEMPIO la soluzione di y'(x)= 3 y(x) (1-y(x) ) con y(1)=3/4 è quella funzione
y(x)= 1/[1+ C e-3x ] tale che y(1)= 1/[1+ C e-3 ] =3/4 ossia 1+ C e-3= 4/3, ossia C=e3/3, e la soluzione cercata è
y(x)= 1/[1+ (e3/3) e-3x ]= 3/[3+ e-3(x-1) ]
METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 2: ossia del problema del tipo
y''=Φ(x,y, y') con condizioni iniziali y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0.
Data una soluzione generale, che dipende da due costanti A e B, imporre le condizioni che y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0, e trovare i valori A e B: il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola coppia (A,B) che individua la soluzione cercata.
Nel libro si accenna al caso in cui invece delle condizioni del tipo y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0, si richiedono condizioni del tipo y(x0)=y0 e y(x1)=y1. In questo caso PUO' SUCCEDERE che ci sia una sola soluzione, oppure nessuna o infinite.
Come esempio abbiamo visto il caso dell'equazione del tipo
y''(x)=- k y(x) con k>0
la cui soluzione generale è
y(x)= A sin (√k x) + B cos (√k x).
Considerando che
y'(x)= A cos (√k x) √k - B sin (√k x) √k .
e che quindi
y(x0)= A sin (√k x0) + B cos (√k x0),
e
y'(x0)= A cos (√k x0) √k - B sin (√k x0) √k,
imporre la condizione y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0,
significa risolvere il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite A e B
A sin (√k x0) + B cos (√k x0)=y0,
A cos (√k x0) √k - B sin (√k x0) √k= y'0,
la cui matrice è
sin (√k x0) cos (√k x0)
cos (√k x0) √k - sin (√k x0) √k
con determinante
- sin2(√k x0) √k - cos2(√k x0) √k= - √k ( sin2(√k x0) + cos2(√k x0) ) = - √k ≠ 0
e quindi esiste sempre una e una sola soluzione (come del resto ci garantisce il teorema di Cauchy)
INVECE se proviamo ad imporre le condizioni "al bordo" del tipo y(x0)=y0 e y(x1)=y1, otteniamo il sistema
A sin (√k x0) + B cos (√k x0) = y0,
A sin (√k x1) + B cos (√k x1) = y1,
la cui matrice è
sin (√k x0) cos (√k x0)
sin (√k x1) cos (√k x1)
con determinante
sin(√k x0) cos (√k x1) - cos(√k x0) sin (√k x1) = sin(√k x0- √k x1)
che può essere nullo o non a seconda dei valori di √k, x0 e x1 e quindi NON E' DETTO CHE abbia una e una sola soluzione, ossia ce ne è una e una sola se sin(√k x0- √k x1) ≠ 0, mentre se sin(√k x0- √k x1) = 0 potrebbe non esserci soluzione o invece potrebbe accadere che ne abbia infinite (dipende dai valori di y0 e y1)
METODI DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
1) Equazioni differenziali a variabili separabili OSSIA del tipo
y'(x)= g(x) h( y)
Per la spiegazione di questo metodo viene introdotta la nozione di differenziale di una funzione f(x) e riscritto il metodo di integrazione per sostituzione con l'uso dei differenziali.
(TRA L'ALTRO QUESTO FATTO SPIEGA IL NOME DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI)
DEFINIZIONE Data una funzione derivabile f(x), con derivata continua, si chiama differenziale di f(x) l'espressione df(x)= f'(x)dx
SIGNIFICATO GEOMETRICO del differenziale: fissato x0, l'equazione della retta tangente in x0, è y(x)-f(x0)=f'(x0) (x-x0), ovvero
y(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0)
ed in particolare y(x0)=f(x0). Se consideriamo la differenza della retta tangente nei punti x0+Δx e x0, ossia y(x0+Δx) -y(x0), si ha che
y(x0+Δx) -y(x0) = f(x0) + f'(x0) (x0+Δx-x0) - f(x0) = f'(x0) Δx
Prendendo un x generico al posto di x0 e dx al posto di Δx otteniamo che
y(x +dx) -y(x) = f'(x) dx = df(x)
e QUINDI il significato geometrico del differenziale come incremento della retta tangente nell'intervallo di estremi x e x+dx
Questa notazione permette di riscrivere la regola di integrazione per sostituzione in modo più " accattivante"
Supponiamo che ∫ φ(x) dx = Φ(x) +C
(ma possiamo anche scrivere ∫ φ(t) dx = Φ(t) +C )
e che f(x) sia una funzione derivabile, con derivata continua, allora sappiamo che
∫ φ(f(x)) f'(x)dx = Φ(f(x)) +C = Φ(t)| t=f(x) +C
ora, usando il differenziale possiamo riscrivere questa formula come
∫ φ(f(x)) f'(x)dx = ∫ φ(f(x)) df(x) = ∫ φ(f) df | f=f(x) .
QUESTO MODO DI SCRIVERE CI SARA' UTILE PER SCRIVERE PIU' SEMPICEMENTE il METODO DI SOLUZIONE PER LE EQUAZIONE A VARIABILI SEPARABILI.
INFATTI un'equazione del tipo
y'(x)= g(x) h( y(x) )
equivale a y'(x) dx = g(x) h( y(x)) dx ovvero a [y'(x) dx]/ h( y(x)) = g(x) dx
e quindi i due integrali indefinitisono uguali ossia
∫ [1/ h( y(x))] y'(x) dx = ∫ g(x) dx che possiamo esprimere anche come
∫ [1/ h( y(x))] dy(x) = ∫ g(x) dx
o brevemente come
∫ [1/ h( y)] dy | y=y(x)= ∫ g(x) dx
di conseguenza, posto H(t) una primitiva di 1/h(t) e G(x) una primitiva di g(x) si ottiene
H(y(x))= G(x) + C
e SE LA FUNZIONE H è INVERTIBILE per ottenere la funzione y(x) basta applicare a entrambi i membri della precedente uguaglianza H-1 ottenendo così la soluzione generale dell'equazione differenziale
y(x)= H-1 ( H(y(x)) ) = H-1( G(x) + C )
ESEMPIO calcolo della soluzione dell'equazione dy/dx= k y/x che è a variabili separabili.
Per calcoloare la soluzione del problema di Cauchy si può procedere come al solito: data la soluzione del
2) Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti non costanti ossia del tipo
a(x)y'(x) + b(x) y(x) + c(x) = 0
con a(x)≠0 (ALTRIMENTI NON è un'equazione differenziale)
e quindi equivalente a
y'(x) + [b(x)/a(x)] y(x) + [c(x)/a(x)] = 0
cioè, posto B(x)=b(x)/a(x) e C(x)=c(x)/a(x), equivalente a
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0
(a) CASO OMOGENEO (cioè C(x)=0) e quindi a variabili separabili
(b) CASO GENERALE (cioè C(x) non necessariamente nullo) con il metodo della variazione delle costanti (ideato da Lagrange)
Il metodo è spiegato sul libro (per il momento non vado avanti)
AGGIUNTA: l'equazione omogenea è y'(x) + B(x) y(x) = 0
che è a variabili separabili ossia y'(x)/y(x)=-B(x) che equivale ady/y=-B(x)dx cioè ∫dy/y = - ∫B(x)dx
e quindi, se FB(x) è una primitiva di B(x), cioè (d/dx)FB(x)=B(x),
ln|y(x)| = - FB(x) +c
(equivalentemente, come sul libro, si scrive anche ln|y(x)| = - ∫B(x)dx +c )
da cui, posto C=ec, (e quindi C>0)
|y(x)| = eln|y(x)| = e- FB(x) +c= C e- FB(x)
(o anche, come sul libro, |y(x)| = C e- ∫B(x)dx )
ora ci accorgiamo che si può tolgiere il valore assoluto e si ottiene che la soluzione generale è
y(x) = C e- FB(x) (o anche y(x)= C e- ∫B(x)dx ),
con C che può assumere un qualunque valore reale (senza la restrizione che C>0)
Ora si cerca la soluzione dell'equazione differenziale non omogenea
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0 o equivalentemente y'(x) = - B(x) y(x) - C(x)
del tipo y(x)=u(x) e- FB(x)cioè:
al posto della costante C si mette una funzione u(x) che "varia al variare di x"
da questa osservazione il nome di metodo della variazione delle costanti (o della costante)
y'(x) = (d/dx)[u(x) e- FB(x) ] = u'(x) e- FB(x) + u(x) e- FB(x) (-B(x))
= u'(x) e- FB(x) -B(x) u(x) e- FB(x) = u'(x) e- FB(x) -B(x) y(x)
e quindi la funzione y(x)=u(x) e- FB(x) è soluzione dell'equazione y'(x) = - B(x) y(x) - C(x) se e solo se
u'(x) e- FB(x) - B(x) y(x) = - B(x) y(x) - C(x)
ossia se e solo se
u'(x) e- FB(x) = - C(x) cioè u'(x) = - C(x) e FB(x)
che equivale a chiedere che
u(x)= - ∫ C(x) e FB(x) dx = L(x)+C dove L(x) è una primitiva di C(x) e FB(x) .
In definitiva la soluzione dell'equazione lineare non omogenea
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0
è data da
y(x) = - (∫ C(x) e FB(x) dx ) e- FB(x) = (-L(x) +C) e- FB(x)
ovvero, come sul libro,
>y(x) = - e- ∫B(x) dx (∫ C(x) e ∫B(x) dx + K)
ESEMPIO equazione differenziale y'=A(M-y)
OMOGENEA y' = -Ay la cui soluzione è yo(x) = C e-Ax
(il sottoindice ci ricorda che è la soluzione dell'equazione differenziale omogenea)
cerchiamo la soluzione di y'=AM-Ay del tipo
y(x) = u(x) e-Ax
da cui
y'(x) = (d/dx)[ u(x) e-Ax ] = u'(x) e-Ax + u(x) e-Ax (-A) = u'(x) e-Ax -A u(x) e-Ax = u'(x) e-Ax Ay(x) = MA - Ay(x)
se e solo se
u'(x) e-Ax = MA
cioè (moltiplicando per eAx ambo i membri dell'uguaglianza)
u'(x) e-Ax eAx = MA eAx , ossia u'(x) = MA eAx = M (d/dx)[eAx]
da cui u(x)= M eAx+ C
e quindi la soluzione dell'equazione non omogenea
y'=AM-Ay è y(x)= (M eAx+ C)e-Ax = M + Ce-Ax
..
venerdì 18 dicembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Esempio di come ricavare un'equazione differenziale:
La legge del raffreddamento di NEWTON afferma che la velocità di raffreddamento di un corpo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l'ambiente. Se la temperatura dell'ambiente è costante e β è la costante di proporzionalità, posto y(t) la temperatura del corpo al tempo t scrivere l'equazione differenziale che soddisfa la funzione temperatura del corpo.
La velocità di raffreddamento è la derivata di y(t): il rapporto [y(t+Δ)-y(t)]/Δ rappresenta la velocità media di raffreddamento nell'intervallo [t, t+Δ] e quindi, mandando Δ a zero si ottiene la derivata y'(t).
La differenza tra temperatura del corpo e temperatura dell'ambiente è y(t)-M
e quindi la legge di Newton ci assicura che,
y'(t) = β (y(t)-M) che è del tipo y'=A(M-y) con A=-β.
La soluzione generale è quindi y(t)= M + Ce-At = M + Ceβt
Supponiamo ora che la temperatura iniziale sia y(0)=M+2 (>M) e troviamo la soluzione particolare:
basta imporre y(0)=M+Ceβ0 = M+C = M+2, cioè C=2
da cui la soluzione particolare è
y(t)=M +2 eβt
OSSERVANDO che a seconda del segno di β si ha un comportamento diverso per t che tende all'infinito, ossia
SE β>0 ALLORA lim t→+∞ y(t)=lim t→+∞M +2 eβt = +∞
SE β=0 ALLORA y(t)= M +2 e0t = M
SE β<0 ALLORA lim t→+∞ y(t)=lim t→+∞M +2 eβt = M
capiamo che il valore di β deve essere negativo: ci aspettiamo che se mettiamo un corpo in un ambiente a temperatura costante M, dopo un certo tempo anche la temperatura del corpo sarà M (ovvero talemente vicina a M da essere indistinguibile da M)
EQUAZIONI DI BERNOULLI
sono equazioni del tipo y'(x)+b(x)y(x)+c(x)(y(x))m=0
per m reale diverso da 0 e da 1:
se m=0 è l'equazione differenziale lineare non omogenea y'(x)+b(x)y(x)+c(x)=0
se m=1 è l'equazione differenziale lineare omogenea y'(x)+[b(x)+c(x)]y(x)=0
che si risolvono con la trasformazione w(x)=1/(y(x))m-1= (y(x))-m+1.
infatti in questo caso
w'(x) = (d/dx) (y(x))-m+1= (-m+1) (y(x))-m+1-1y'(x)
= (-m+1) (y(x))-m [-b(x)y(x)-c(x)(y(x))m] = (m-1) b(x) (y(x))-m+1 + (m-1) c(x)
= (m-1) b(x) w(x) + (m-1) c(x) [ usando il fatto che (y(x))-m+1=w(x) ]
OSSIA
w(x)=1/(y(x))m-1 soddisfa l'equazione differenziale lineare di ordine 1
w'(x) = (m-1) b(x) w(x) + (m-1) c(x)
CHE SI RISOLVE CON IL METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI
una volta trovata la soluzione generale w(x) si ottiene la soluzione y(x) dell'equazione di Bernoulli usando la relazione w(x)=1/(y(x))m-1 da cui si ricava che
y(x)=[1/w(x)]1/(m-1).
Ovviamente (a parte il caso in cui m è intero e pari, di modo che m-1 è dispari) si dovranno imporre le condizioni per cui abbia senso elevare 1/w(x) alla potenza 1/(m-1), cioè considerare solo soluzioni w(x) strettamente positive.
ESEMPIO:
trovare la soluzione dell'equazione y'=ay(1-y)= ay-ay2 che è un'equazione di Bernoulli con m=2 b(x)=-a e c(x)=a, con il metodo appena descritto.
(ovviamente già sappiamo che la soluzione generale è y(x)=1/[1+Ce-ax], ma ora vediamo come ci si può arrivare anche da soli)
si pone w(x)=1/y(x)
w'(x) = - y'(x)/y2(x) = - [ay(x)-ay2(x)]/y2(x) = -a/y(x) +a = -aw(x)+a
risolviamo l'equazione differenziale
w'(x) = -aw(x)+a
Soluzone dell'equazione omeogenea w'(x) = -aw(x) è wo(x)=Ce-ax
la soluzione dell'equazione non omogenea è del tipo w(x)=u(x)e-ax , con
w'(x)= u'(x) e-ax - a u(x)e-ax = a - a w(x) se e solo se
u'(x) e-ax = a ossia se esolo se u(x)=aeax , da cui u(x)=eax +C
e w(x)= (e-ax +C)e-ax = 1+Ce-ax ,
INFINE ricordando che w(x)=1/y(x) ossia che y(x)=1/w(x)
si ottiene finalmente che
y(x) = 1/[1+Ce-ax ].
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI E OMOGENEE
sono equazioni del tipo
y''(x)+b y'(x) + cy(x)=0
Abbiamo controllato alcuni casi particolari in una lezione precedente:
per risolovere questa equazione si procede come segue
si considera il polinomio caratteristico associato, ossia il polinomio λ2+bλ+c
e si studia l'equazione di secondo grado
λ2+bλ+c=0
Ci possono essere tre casi
1) esistono DUE SOLUZIONI di λ2+bλ+c=0, m1 ed m2 DISTINTE (o equivalentemente il discriminante Δ=b2-4c>0 ed m1, m2= -(b/2)± (√Δ)/2
e allora la soluzione generale è
y(x) = A em1x+B em2x.
2) le due soluzioni di λ2+bλ+c=0 COINCIDONO ossia m1 = m2 = m (= - b/2) (o equivalentemente il discriminante Δ=b2-4c=0)
allora la soluzione generale è
y(x)= A em x+B x em x.
3) il discriminante Δ=b2-4c<0
(o equivalentemente, MA SOLO PER COLORO CHE CONOSCONO I NUMERI COMPLESSI, le soluzioni di λ2+bλ+c=0 sono complesse e coniugate e valgono -(b/2)± i (√|Δ|)/2, dove i è l'unità immaginaria)
allora la soluzione generale è
y(x)= ep x [A sin(q x) +B cos(q x) ],
dove p=-b/2 e q=(√|Δ|)/2.
ESEMPI
1) y''(x)-y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2-1=0, cioè m1 =-1 ed m2=+1
e quindi la soluzione generale è
y(x)= A e-x+B e+ x.
2) y''(x)-2y'(x)+y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2-2 λ +1=0, cioè (λ-1)2=0 e quindi m1 =m2=+1
e quindi la soluzione generale è
y(x)= A e x+B x e x.
3) y''(x)+y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2+1=0, cioè il discriminante è negativo e vale
Δ=b2-4c= 0-4 allora p=-(b/2)=0 e q=(√|Δ|)/2= (√4)/2)=1,
e quindi (poiché e0x=1) la soluzione generale è
y(x) = A sin(x) +B cos(x)
SISTEMI DI DUE EQUAZIONI lineari a coefficienti costanti e omogenee di ordine 1.
si tratta del sistema del tipo
y1'=a1y1+b1y2,
y2'=a2y1+b2y2,
per risolvere questo sistema si procede in questo modo:
1) Si considera la derivata seconda di y1 e si cerca di scrivere un'equazione differenziale che coinvolga solo y1 e la sua derivata y'1. (la spiegazione di come fare viene messa dopo)
2) Si ottiene un'equazione lineare a cofficienti costanti di ordine 2 che si risolve con il metodo spiegato prima e si trova la soluzione generale per y1(x).
3) una volta "trovata" la soluzione generale y1(x) si osserva che l'equazione
y2'=a2y1+b2y2, è ora semplicemente un'equazione lineare a coefficienti costanti di ordine 1 che si risolve con il solito metodo di variaizone delle costanti.
OSSERVAZIONE si può ripetere lo stesso procedimento anche iniziando da y2 invece che da y1.
SPIEGAZIONE DEL METODO PER OTTENERE l'equazione da risolvere per trovare y1.
dalla prime delle due equazioni
y1'=a1y1+b1y2,
y2'=a2y1+b2y2,
troviamo che (SE b1≠0) y2=(1/b1)[y'1- a1y1] ed inoltre, derivando ambo i membri, sempre della prima equazione
otteniamo
y"1=a1y'1+b1y'2,
e quindi UTILIZZANDO la seconda equazione
y"1 = a1y'1+b1y'2= a1y'1+b1 [a2y1+b2y2] = a1y'1+b1a2y1+b1b2y2
a questo punto, per eliminare y2, nell'ultima espressione utilizziamo il fatto che y2=(1/b1)[y'1- a1y1] e troviamo
y"1 = a1y'1+b1a2y1+b1b2(1/b1)[y'1- a1y1] =a1y'1+b1a2y1+b2y'1- a1b2y1
riordinando i coefficienti abbiamo finalmente l'espressione
y"1 = (a1+b2)y'1+(b1a2 - a1b2)y1
ovvero
y"1 - (a1+b2)y'1+(a1b2-b1a2 ) y1 = 0
si tratta quindi di studiare l'equazione di secondo grado
λ2- (a1+b2) λ+(a1b2-b1a2 )=0
che ha discriminante Δ= (a1+b2)2-4(a1b2-b1a2 ) = (a1-b2)2+4b1a2
e quindi a seconda del segno di Δ possiamo trovare la soluzione generale
ESEMPIO DUE SPECIE IN COMPETIZIONE
y1'= y1 - y2,
y2'=-4y1+y2,
con condizioni iniziali y1(0)=6 e y2(0)=5
(anche in questo caso vale un teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy)
Questo sistema modellizza DUE SPECIE IN COMPETIZIONE: ad esempio due specie erbivore: se ci fosse una sola specie, ad esempio se fosse y2=0 allora la prima specie crescerebbe senza limiti seguendo l'equazione y1'= y1. La presenza della seconda specie fa "descresce" la popolazione grazie alla presenza del termine -y2 nella prima equazione.
Lo stesso tipo di argomentazione vale per la seconda specie e si può ripetere tutte le volte che nel sistema
y1'=a1y1+b1y2,
y2'=a2y1+b2y2,
si ha che tale sistema MODELLIZZA DUE SPECIE IN COMPETIZIONE
se a1>0 e b2 >0 e invece b1<0 e a2 < 0
TORNANDO ALL'ESEMPIO: si tratta del sistema precedente con a1=1, b1=-1, a2 = -4, b2 =1
e quindi
λ2- (a1+b2) λ+(a1b2-b1a2 )=λ2- (1+1) λ+(1-(-1)(-4) )=λ2- 2 λ-3=0
con soluzioni m1=3 ed m2=-1
e allora la soluzione generale è
y1(x) = A e3x+B e-x.
per trovare poi y2(x) si procede come segue:
si deve risolvere l'equazione
y2'=-4y1+y2= -4(A e3x+B e-x) +y2,
la cui equazione omogenea associata è y2'= y2, con soluzione del tipo y2(x)=Cex.
La funzione y2(x)=u(x) ex deve risolvere
u'(x) ex+ u(x) ex= -4(A e3x+B e-x) +y2, e quindi
u'(x) ex = -4(A e3x+B e-x)
ovvero
u'(x) = -4(A e3x+B e-x)e-x = -4A e2x-4B e-2x da cui
u(x) = -4A (e2x/2) - 4B (e-2x/(-2)) = -2A e2x+2B e-2x
(Attenzione: non consideriamo un'ulteriore costante, come invece avremmo fatto nel caso di una equazione differenziale lineare di ordine 1. Spiegazione euristica: abbiamo già due parametri A e B)
e quindi finalemte possiamo scrivere
y2(x)=u(x) ex = (-2A e2x+2B e-2x ) ex = -2A e3x+2B e-x
e in conclusione la soluzione generale del sistema è
y1(x) = A e3x+B e-x,
y2(x) = -2A e3x+2B e-x
per trovare la soluzione particolare imponiamo le condizioni iniziali y1(0)=5 e y2(0)=6, ossia
y1(0) = A e0 + B e-0 = A+B = 5
y2(0) = -2A e30+2B e-0 = -2A +2B=6
la cui soluzione è A=1 e B=4 e quindi la soluzione particolare del sistema è
y1(x) = e3x-4 e-x,
y2(x) = -2 e3x+8e-x
OSSERVAZIONE questo modello non modellizza bene la situazione di due specie in competizione che abbiamo descritto, almeno non per tutti i tempi x: infatti, ad esempio lim x→+∞ y2(x) =lim x→+∞ ( -2 e3x+8e-x ) = -∞
e ciò implica che y2(x) può essere interpretato come "numerosità" della seconda specie al massimo fino a quando y2(x)≥0.
QUESTO TIPO DI PROBLEMI SI PRESENTA ANCHE NEI MODELLI DI TIPO COOPERATIVO o di PREDA/PREDATORE che hanno condizioni diverse sui coefficienti:
Il sistema
y1'=a1y1+b1y2,
y2'=a2y1+b2y2,
MODELLIZZA DUE SPECIE IN COMPETIZIONE
se a1> 0 e b2 >0 e invece b1<0 e a2 < 0
ovvero il sistema
y1'= α1y1 - β1 y2,
y2'= - α2y2 + β2y2,
con α1, β1,α2, β2 tutte strettamente positive,
(ciascuna specie senza l'altra cresce, mentre la presenza dell'altra specie fa diminuire la crescita della specie in esame)
MODELLIZZA DUE SPECIE IN COOPERAZIONE
se a1<0 e b2 <0 e invece b1>0 e a2 > 0
ovvero
y1'= - α1y1 + β1 y2,
y2'= +α2y1 - β2y2,
con α1, β1,α2, β2 tutte strettamente positive,
(ciascuna specie senza l'altra decresce, mentre la presenza di un'altra specie fa aumentare la crescita della specie in esame)
MODELLIZZA DUE SPECIE DEL TIPO PREDA/PREDATORE
se a1>0 e b2 <0 b1<0 e a2 > 0
ovvero
y1'=α1y1 - β1 y2,
y2'=α2y1 - β2y2,
con α1, β1,α2, β2 tutte strettamente positive,
(se y1 rappresenta le prede e y2 rappresenta i predatori allora le prede tendono a crescere senza la presenza dei predatori, mentre la presenza dei predatori li fa diminuire, invece i predatori tendono a decrescere senza la presenza delle prede e la presenza delle prede li fa crescere)
A CAUSA DI QUESTO PROBLEMA Lotka e Volterra hanno "inventato" la seguente variante del modello generale nel caso di preda predatore
y1'=α1y1 - β1y1 y2,
y2'=α2y1 y2 - β2y2,
con α1, β1,α2, β2 tutte strettamente positive,
con l'idea che i predatori "mangiano" le prede con maggiore frequenza quanto più speso si possono incontrare, e ciò accade più di frequente tanti piu' sono sia le prede che i predatori. Ecco il motivo della presenza dei termini del tipo y1 y2, (come nel caso dell'interpretazione del modello y'=ay(1-y) come diffusione del raffreddore)
VANTAGGIO DEL MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA
le soluzioni sono sempre positive e hanno un andamento ciclico: se i predatori diminuiscono allora le prede aumentano e viceversa
SVANTAGGIO DEL MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA
non c'è una formula esplicita per le soluzioni del sistema
lunedì 22 dicembre Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
La lezione sarà recuperata a gennaio
lunedì 22 dicembre Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
La lezione sarà recuperata a gennaio
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VACANZE DI NATALE
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mercoledì 7 gennaio 2015 Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Esercizi sulle equazioni differenziali:DA FOGLIO 8D.2, D.3 (con richiami alle equzioni a variabili separabili),
D.4, D.5 (con richiami sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine),
D.10, D.11 (con osservazione che gli esercizi di questo tipo a volte sono a tempo discreto e a volte a tempo continuo)
D.23
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venerdì 9 gennaio 2015 Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
A partire da un problema scritto sulla lavagna:da un mazzo di 40 carte (4 semi e 10 carte per ogni seme) (a) quanti insiemi di 5 carte esistono? (b) quanti insiemi con 4 assi esistono? (c) in quanti modi si possono prendere 5 carte, tenendo conto dell'ordine?
abbiamo introdotto il concetto di Combinazione di n elementi di classe k come un sottoinsieme di cardinalità k (ossia con k elementi) di un insieme di cardinalità n (ossia con n elementi)
Cenno alle funzioni di due variabili, e ai differenziali
sia A un sottoinsieme del piano R2,
U: A → R; (x,y) → U(x,y)
è una funzione reale di due variabili reali
ESEMPIO 1 U(x,y)=x2+y2. (qui A=R2)
ESEMPIO 2 in realtà abbiamo già visto un esempio di funzione di due variabili quando abbiamo paralto dei piani, ad esempio
l'equazione a(x-x0)+b(y-y0)+ c(z-z0)=0 individua un piano che passa per il punto P0(x0,y0,z0), e se c≠0 allora possiamo scrivere
z=z0 - [a(x-x0)+b(y-y0) ]/c
ossia
z=U(x,y) con U(x,y)=z0 - [a(x-x0)+b(y-y0) ]/c
DERIVATE PARZIALI
fissato y possiamo definire la funzione x→u1(x):=U(x,y)
(ad esempio per la funzione dell'ESEMPIO 1, U(x,y)=x2+y2, fissato y=1 possiamo considerare la funzione x→x2+12=x2+1)
e considerare la sua derivata (SE ESISTE) ossia
(d/dx)u1(x)= lim Δx→0 [u1(x+Δx)-u1(x)]/Δx = lim Δx→0 [U(x+Δx,y)-U(x,y)]/Δx
che viene denotato con il simbolo
(∂/∂x)U(x,y) = lim Δx→0 [U(x+Δx,y)-U(x,y)]/Δx
(a volte si usa anche il simbolo U'x(x,y))
e detto DERIVATA (prima) PARZIALE di U rispetto ad x, nel punto (x,y)
In modo analogo viene definita la DERIVATA PARZIALE di U rispetto a y nel punto (x,y) ossia:
fissato x si considera la funzione y→u2( y):=U(x,y) e di considera la sua derivata (SE ESISTE) e si ottiene che (d/dx)u2( y) coindice con
(∂/∂y)U(x,y) = lim Δy→0 [U(x,y+Δy)-U(x,y)]/Δy
(a volte si usa anche il simbolo U'y(x,y) )
ESEMPIO: se U(x,y)=x2+y2, allora (∂/∂x)U(x,y)=(∂/∂x)[x2+y2 ]= 2x
in quanto y2 è costante rispetto ad x
e analogamente (∂/∂y)U(x,y)=(∂/∂x)[x2+y2 ]= 2y
Non daremo la definzione formale di continuità di una funzione di due variabili, ma diciamo solo che la funzione è continua inn un punto (x0,y0) se U(x,y) è"vicino" a U(x0,y0), se (x,y) è "vicino" a (x0,y0).
Analogamente la funzione U(x,y) è continua se è continua in ogni punto (x,y).
[QUI SERVIREBBE di aggiungere delle condizioni sull'insieme A sul quale è definita la funzione U, ma tralasciamo questi particolari IMPORTANTI, per mancanza di tempo]
AD ESEMPIO la funzione U(x,y)=x2+y2 è continua e anche le derivate parziali lo sono
ed in generale tutte le funzioni che sono di tipo polinomiale sono continue, come, ad ESEMPIO: U(x,y)=3x2+5x2y+2y2.
IMPORTANTE Nel seguito assumeremo che U(x,y) è una funzione continua e che anche le derivate parziali (∂/∂x)U(x,y) e (∂/∂y)U(x,y) lo siano
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Nello spazio tridimensinale R3 i punti (x,y,z) che soddisfano l'equazione z=U(x,y) rappresentano una superficie.
PIANO TANGENTE in un punto (x0,y0,z0) alla superficie z=U(x,y):
in analogia con l'equazione della retta tangente alla curva y=f(x) nel punto (x0,y0), dove y0=f(x0),
ossia la retta y=y0+f'(x0) (x-x0)
si ha che il piano tangente è
z=z0+(∂/∂x)U(x0,y0) [x-x0] + (∂/∂y)U(x0,y0) [y-y0]
Differenziale di U(x,y)
in analogia al caso delle funzioni di una variabile f(x) con derivata prima continua il differenziale df(x) è per definizione df(x)=f'(x) dx
ed in particolare per x=x0 corrisponde all'incremento di della retta tangente nel punto (x0,y0) quando calcolata in x1=x0+dx:
y1-y0=f'(x0)[x1 -x0]=f'(x0)[x0+dx-x0]=f'(x0) dx
ANALOGAMENTE SE U(x,y) è continua insieme alle sue derivate parziali allora
dU(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) dx + (∂/∂y)U(x,y) dy
anche qui c'è un'analogia:
se fissiamo (x0,y0) e (x1,y1) = (x0+dx,y0+dy) allora (∂/∂x)U(x0,y0) [x1-x0] + (∂/∂y)U(x0,y0) [y1-y0]= (∂/∂x)U(x0,y0) dx + (∂/∂y)U(x0,y0) dy
rappresenta l'incremento sul piano tangente.
DERIVATA della funzione h(t):= U(x(t),y(t))
Sia U una funzione don derivate parziali prime continue e siano x(t) ed y(t) due funzioni derivabili
[e tali che, per ogni t il punto (x(t),y(t)) apartiene all'insieme A sul quale è definita la funzione U ]
e sia h(t) definita da
h(t):= U(x(t),y(t))
allora (SENZA DIMOSTRAZIONE) la funzione h(t) è derivabile con derivata data da
h'(t)= (∂/∂x)U(x(t),y( t)) x'(t) + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) y'( t)
e quindi il differenziale di h(t) vale
dh(t)=h'(t)dt = [ (∂/∂x)U(x(t),y( t)) x'(t) + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) y'( t) ] dt
= (∂/∂x)U(x(t),y( t)) x'(t) dt + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) y'( t) dt
= (∂/∂x)U(x(t),y( t)) dx(t) + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) dy( t)
IMPORTANTE CONSEGUENZA
Siano (x0,y0) e (x1,y1) due punti di A, allora QUALUNQUE SIANO LE FUNZIONI x(t) e y(t) con t'≤ t ≤ t", e tali che (x(t'),y(t'))=(x0,y0) e (x(t"),y(t"))=(x1,y1)
allora
U(x1,y1)-U(x0,y0) = h(t")-h(t')=∫[t',t"] h'(t) dt = ∫[t',t"] dh(t)
= ∫[t',t"] [(∂/∂x)U(x(t),y( t)) x'(t) dt + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) y'( t) dt]
= ∫[t',t"] [ (∂/∂x)U(x(t),y( t)) dx(t) + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) dy( t)]
CONNESSIONE CON GLI INTEGRALI DI FORME DIFFERENZIALI:
INTRODUCIAMO ORA LA NOTAZIONE γ(P',P") per la linea curva data dai punti (x(t),y(t)) per t'≤t≤t" nel piano che unisce i punti P'=(x0,y0) e P"=(x1,y1)
e, date due funzioni F1(x,y) ed F2(x,y), LA NOTAZIONE
∫ γ(P',P") [ F1(x,y) dx + F2(x,y) dy ] = ∫[t',t"] [F1(x(t),y( t)) dx(t) +F2(x(t),y( t)) dy( t) ]
OVVIAMENTE tale integrale in genere dipende dalle funzioni x(t) e y(t) e quindi dalla linea curva γ(P',P") che unisce i due punti P'=(x0,y0) e P"=(x1,y1)
TUTTAVIA se le due funzioni F1(x,y) ed F2(x,y) sono tali che
LA FORMA DIFFERENZIALE
F1(x,y) dx + F2(x,y) dy
(il nome " forma differenziale " si può memorizzare ad esempio pensando che "somiglia" ad un differenziale)
COINCIDE EFFETTIVAMENTE CON IL DIFFERENZIALE di una funzione U ossia F1(x,y) dx + F2(x,y) dy =dU(x,y)
[ NOTA BENE in tale caso si dice che la forma differenziale F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è una FORMA DIFFERENZIALE ESATTA ]
OVVERO se esiste una funzione U(x,y) tale che F1(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F2(x,y)=(∂/∂y)U(x,y)
ALLORA possiamo affermare che
l'integrale della forma differenziale F1(x,y) dx + F2(x,y) dy vale U(x1,y1) - U(x0,y0)
ossia
l'integrale di linea non dipende dalla linea curva γ(P',P") data dai punti (x(t),y(t)) per t'≤t≤t" nel piano che unisce i punti P'=(x0,y0) e P"=(x1,y1), ma solo dai punti P'=(x0,y0) e P"=(x1,y1)
INFATTI, per quanto visto prima, tale integrale vale
∫ γ(P',P") [ F1(x,y) dx + F2(x,y) dy ] = ∫[t',t"] [F1(x(t),y( t)) dx(t) +F2(x(t),y( t)) dy( t) ]=
= ∫[t',t"] [ (∂/∂x)U(x(t),y( t)) dx(t) + (∂/∂y)U(x(t),y( t)) dy( t)] = h(t'')-h(t')= U(x1,y1) - U(x0,y0)
in altre parole, e riassumendo:
F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è UNA FORMA DIFFERENZIALE ESATTA SE E SOLO SE ESISTE UNA FUNZIONE U(x,y) tale che
F1(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F2(x,y)=(∂/∂y)U(x,y)
e in tale caso possiamo affermare che l'integrale di linea della forma differenziale
F1(x,y) dx + F2(x,y) dy vale
∫ γ(P',P") [ F1(x,y) dx + F2(x,y) dy ] = U(x",y") - U(x',y')
OSSERVAZIONE: la funzione U(x,y) non è univocamente determinata, infatti si può usare anche la funzione U(x,y)+C, che ha lo stesso differenziale di U(x,y), MA CHIARAMENTE [U(x",y")+C] - [U(x',y')+C]= U(x",y") - U(x',y')
Poiché in genere, date due funzioni F1(x,y) ed F2(x,y) NON SAPPIAMO SE F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è una forma differenziale esatta,
ossia non sappiamo se esiste una funzione U(x,y) tale che dU(x,y)= F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è importante avere un criterio sufficiente affinché questo sia verificata:
ATTENZIONE! CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHE' UNA FORMA DIFFERENZIALE F1(x,y) dx + F2(x,y) dy SIA ESATTA:
SE ESISTONO LA DERIVATA PARZIALE di F1(x,y) rispetto ad y e LA DERIVATA PARZIALE di F2(x,y) rispetto ad x e sono uguali e continue, cioè
(∂/∂y)F1(x,y)=(∂/∂x)F2(x,y) (ed è una funzione continua)
Allora la forma differenziale la forma differenziale F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è esatta.
LEGAME CON LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
OSSERVAZIONE Supponiamo che esista una funzione U(x,y) differenziabile e una funzione y(x) tale che
U(x,y(x))=c (c= costante)
Allora la funzione h(x)=U(x,y(x)) è costante e quindi la sua derivata è nulla, ossia
h'(x)=(∂/∂x)U(x,y(x)) 1 + (∂/∂y)U(x,y(x))y'(x) = 0
e SE INOLTRE (∂/∂y)U(x,y(x))≠0 allora la funzione y(x) è soluzione dell'equazione differenziale (in forma normale)
y'(x) = - [(∂/∂x)U(x,y(x))] / [(∂/∂y)U(x,y(x))]
QUESTA OSSERVAZIONE E' ALLA BASE DELL'IDEA per risolvere equazioni differenziali del tipo
y'(x)= - a(x,y(x)) / (b(x,y(x)) [con b(x,y(x))≠0]
nel caso in cui la forma differenziale a(x,y) dx + b(x,y)dy sia una forma differenziale esatta:
IN TALE CASO POSSIAMO RIPETERE I PASSAGGI PRECEDENTI "AL CONTRARIO"
per trovare una soluzione dell'equazione differenziale del tipo
y'(x)= - a(x,y(x)) / (b(x,y(x)). [con b(x,y(x))≠0]
OSSIA
se esiste una funzione U(x,y) per cui dU(x,y)=a(x,y) dx + b(x,y)dy
allora possiamo cercare la soluzione y(x) del tipo U(x,y(x))=c, OVVIAMENTE SE SI RIESCE A TROVARE UNA TALE SOLUZIONE.
ESEMPIO: (TUTTO QUESTO ESEMPIO E' NUOVO e DIFFERISCE DA QUELLO SVOLTO IN CLASSE nel 2015)
Verificare che (2x+5y)dx+ (5x+2y)dy è un differenziale esatto
Prima di tutto ricordiamo che stiamo cercando una funzione U(x,y) tale che
dU(x,y)=(2x+5y)dx+ (5x+2y)dy
ossia tale che
(∂/∂x)U(x,y)=2x+5y e (∂/∂y)U(x,y) = 5x+2y.
Dalla condizione (∂/∂x)U(x,y)=2x+ 5y
otteniamo che U(x,y)= x2 + 5yx +C1( y)
Dalla condizione (∂/∂y)U(x,y)=5x+ 2y
otteniamo che U(x,y)= 5xy + y2 + C2(x)
E' quindi necessario che x2 + 5yx +C1( y)=5xy + y2 + C2(x)
e ciò è possibile se e solo se C1( y) - y2 = C2(x) - x2 e quindi sia necessariamente una costante C
[INFATTI una funzione che dipende SOLO da y e una funzione che dipende SOLO da x possono essere uguali SOLTANTO se sono costanti!!]
e quindi
la/e funzione/i cercata/e è U(x,y)= x2 + 5xy + y2 + C
(ATTENZIONE in effetti si tratta di infinite funzioni al variare di C, ma basta prendere il caso C=0 per trovarne una)
IMPORTANTE si poteva ottenere che si trattava di un differenziale esatto anche semplicemente controllando che
(∂/∂y) (2x+5y) = (∂/∂x) (5x+2y) come in effetti si vede subito considerando che entrambi i membri sono uguali a 5, e che si tratta di funzioni ''regolari''.
MA NON AVREMMO SAPUTO DIRE PER QUALE/I FUNZIONE/I U(x,y)
(2x+5y)dx+ (5x+2y)dy = dU(x,y) = (∂/∂x)U(x,y) dx + (∂/∂y)U(x,y) dy
Proprietà dell'integrale di un differenziale esatto
Si noti che se x=x(t)= 2t+1 e y=y(t)=t2,
[ si noti che (x(0),y(0))=(1,0) e che (x(1),y(1))=(3,1) ]
e se vogliamo calcolare ∫01 dU(x(t),y(t)) dt
otteniamo
∫01 dU(x(t),y(t)) = ∫01 [ (2x(t)+5y(t)) x'(t) dt + (5x(t)+2y(t)) y'(t) dt ]
= .... = U(3,1) - U(1,0) = 32 + 5*3*1 + 12 + C - [ 12 + 5*1*0 + 02 + C ] = 24
(i puntini simboleggiano i calcoli che è bene a svolgere per controllo)
e che verrebbe lo stesso risultato se avessimo scelto invece x(t)= 2 t2 +1 ed y(t)=t3
in quanto anche per queste due funzioni si ha (x(0),y(0))=(1,0) e (x(1),y(1))=(3,1)
come per le precedenti funzioni (anche in questo caso, per convincersi che tutto funziona, è bene fare i calcoli esplicitamente)
Equazione differenziale associata
se volessimo risolvere l'equazione differenziale associata ossia
(2x+5y)dx+ (5x+2y)dy = 0 con condizione iniziale y(x0)=y0
o equivalentemente, ricordando che dy(x)=y'(x) dx l'equazione
y'(x) = - (2x+5y/(5x+2y)
potremmo procedere come segue:
Cerchiamo una funzione y(x) per la quale U(x,y(x))=C, dove U è la funzione trovata precedentemente, ossia una funzione per la quale
x2 + 5xy(x) + y(x)2 = C
Per trovare la funzione y(x) possiamo intanto trovare l'unico valore C per cui
(x0)2 + 5x0y(x0) + y(x0)2 = (x0)2 + 5x0y0 + (y0)2= C
e poi chiedere che per ogni x
y(x) sia soluzione dell'equazione di secondo grado in y
x2 + 5xy + y2 = (x0)2 + 5x0y0 + (y0)2,
ovvero, ad esempio nel caso x0=0 e y0=1 l'equazione per y(x) diviene
y2 + 5xy +x2-1=0
le cui soluzioni sono y(x) = ( -5x ± √[ (5x)2 - 4(x2 - 1) ] )/2 = ( -5x ± √[ 21x2 +4 ] ) /2
Tuttavia solo la soluzione y(x)= - (5/2) x + √[ 21x2 +4 ] /2
è la soluzione cercata perché solo per questa si ha che y(0)= √[4] /2 = 1
mentre per l'altra soluzione y(x)= - (5/2) x - √[ 21x2 +4 ] /2 si ha y(0)= -1
FINE DELLA PARTE NUOVA
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lunedì 12 gennaio 2015 Aula C di Medicina Legale (ore 11-13)
Introduzione alla statistica
Differenza tra Statistica DESCRITTIVA e Statistica INFERENZIALE
DATI QUALITATIVI e DATI QUANTITATIVI
DATI RAGGRUPPATI
DIAGRAMMI A BARRE
ISTOGRAMMI
DIAGRAMMI A TORTA o AREOGRAMMI
INDICI DI POSIZIONE: Media aritmetica (o algebrica), Moda, Mediana, Media geometrica
Altri indici: utili per gli indici di dispersione Varianza, quartili
INDICI DI DISPERSIONE: Scarto quadratico medio (anche detto Deviazione standard):= radice quadratica della varianza, Distanza interquartile=q3-q1
Per questa parte, oltra al libro si consigliano le slide della Prof. Anna Torre al link http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html
e quelle della prof.ssa Pacchiarotti al link
http://www.mat.uniroma2.it/~processi/dispense-pacchiarotti-biotec.pdf
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lunedì 12 gennaio 2015 Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Panoramica su media aritmetica, geometrica e armonica:
la media aritmetica di x1,x2,...,xn, è quel valore x tale che
n x = x1+x2+...+xn,
ovvero
x = (1/n) [ x1+x2+...+xn]
la media geometrica di x1,x2,...,xn, (N.B. SOLO SE xi >0 per ogni i=1,2,...,n) è quel valore xg tale che (xg)n = x1 x2 ... xn
ovvero xg = (x1 x2 ... xn)1/n
o ancora
xg = exp{ (1/n) [ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)] }
la media armonica di x1,x2,...,xn, (N.B. SE xi >0 per ogni i=1,2,...,n) è quel valore xh tale che
xh = n/[(1/x1 ) +(1/x2 ) +... +(1/xn)]
ovvero
xh = 1/{(1/n) [(1/x1 ) +(1/x2 ) +... +(1/xn)]}
Proprietà
La media geometrica è sempre minore o uguale alla media aritmetica, con verifica solo nel caso n=2: siano x1 e x2 due numeri strettamente POSITIVI
allora si verifica facilmente che
x = (1/2) [ x1+x2 ] ≥ xg = (x1 x2 )1/2
INFATTI, essendo x1>0 e x2>0 la precedente disuguaglianza equivale a
(1/2)2 [ x1+x2 ]2 ≥ x1 x2
cioè
(x1)2+(x2)2 + 2 x1 x2 ≥ 4 x1 x2
ossia
(x1)2+(x2)2 - 2 x1 x2 ≥ 0 che equivale a [ x1 - x2 ]2 ≥0 (QED)
Esercizi Dal foglio 9:
Esercizio D1 in questo caso la velocità media è la media armonica delle due velocità, infatti posto d=50km v1= e v2= si ha che la velocità media è il percorso totale diviso il tempo totale, ossia 2d/(t1+t2) dove t1=d/v1 e t2=d/v2
e quindi la velocità media è
2d/(t1+t2)=2d/[(d/v1)+(d/v2)]= 2/[(1/v1)+(1/v2)]
che è proprio la media armonica tra v1 e v2.
Esercizio D2: la media dei dati che sono (in ordine crescente, o meglio NON DESCRESCENTE)
0,3,3,3,5,5,5,8
ossia
x(1)=0,x(2)=3,x(2)=3,x(3)=3,x(4)=3,x(5)=5,x(6)=5,x(7)=5,x(8)=8,
vale M = 0(1/8)+3 (3/8) + 5(3/8)+8(1/8)= 4
la varianza vale
s2 = (0-4)2(1/8) + (3-4)2 (3/8) + (5-4)2(3/8)+(8-4)2(1/8) = 2 (16/8) + 2 (3/8)= 19/4
e quindi lo scarto quadratico medio (o deviazione standard vale
s= √(19)/2 = (circa) 4,35/2
e l'ampiezza dell'intervallo (M-s,M+s) vale 2s =(circa) 4,35
per calcolare la distanza interquartile, vanno calcolati il primo quartile q1 e il terzo quartile q3 e poi calcolata q3-q1
per ottenere q1 calcoliamo n/4= 8/4=2 e quindi q1= [x(2)+x(3)]/2= (3+3)/2=3
per ottenere q3 calcoliamo n(3/4)= 8(3/4)=6 e quindi q1= [x(6)+x(7)]/2= (5+5)/2=5
e quindi la distanza interquartile vale q3-q1=5-3=2
e la differenza tra l'ampiezza 2s e la distanza interquartile q3-q1 vale (circa) 4,35-2=2,35
Esericizio D5:
poste XA,YA,ZA,TA, le previsioni di Aldo, XB,YB,ZB,TB, le previsioni di Bruno, e XC,YC,ZC,TC, le previsioni di Carlo e X,Y,Z,T le percentuali ottenute dai candidati
dal problema sappiamo che
XA=X, YA=Y, ZA=Z e TA=T+2%=T+2/100
XB=X+0,5%, YB=Y+0,5%, ZB=Z-0,5% e TB=T-0,5%=T-0,5/100
XC=X, YC=Y, ZA=Z+1% e TA=T-1%=T-1/100
quindi gli errori sono
XA-X=0, YA-Y=0, ZA-Z=0 e TA-T=2%= 2/100
XB-X=0,5%, YB-Y=0,5%, ZB-Z=-0,5% e TB-T=-0,5%=-0,5/100
XC-X=0, YC-Y=0, ZA-Z=1% e TA-T=-1%=-1/100
L'errore commesso da Aldo è quindi la somma dei quadrati degli errori ossia
(XA-X)2 +(YA-Y)2+ (ZA-Z)2+(TA-T)2=0+0+0+(2%)2= 4/1002
(XB-X)2 +(YB-Y)2+ (ZB-Z)2+(TB-T)2=(0,5%)2+(0,5%)2+(-0,5%)2+ (-0,5%)2= 4 (1/2)2/1002 = 1/1002
(XC-X)2 +(YC-Y)2+ (ZC-Z)2+(TC-T)2=0+0+(1%)2+(-1%)2= 2/1002
e quindi, per il criterio usato nella scommessa il vincitore è Bruno
ESERCIZIO D10
se nella popolazione ci sono nD donne di età xD1,xD2,...,xDnD, ed nU uomini di età xU1,xU2,...,xUnU, allora posto n= nD + nU, e xD= 40 e xU= 40 le medie aritmetiche delle donne e degli uomini, rispettivamente, dal testo sappiamo che nD/n=6/11 e che nU/n=5/11 e quindi
l'età media della popolazione vale 40 (6/11) + 45 (5/11) =42,27
Questo deriva dalla formula generale per cui
x = xD (nD/n) + xU (nU/n)
INFATTI
la media aritmetica dell'età delle donne è
xD=[xD1+xD2+...+xDnD]/nD
la media aritmetica dell'età degli uomini è
xU=[xU1+xU2+...+xUnU]/nU
mentre l'età media della popolazione vale
x= ( [xD1+xD2+...+xDnD] + [xU1+xU2+...+xUnU] ) / n
dove n=nD + nU.
si vede quindi facilmente che
x = {[xD1+xD2+...+xDnD]/nD} (nD/n) + { [xU1+xU2+...+xUnU]/nU } (nU/ n)
= xD (nD/n) + xU (nU/n).
..mercoledì 14 gennaio 2015 Aula A del Plesso Tecce (ore 15-17)
Espressione alternativa della varianza:
s2= (1/n) ∑1≤i≤n (xi-x )2 = (1/n) ∑1≤i≤n (xi)2 - ( x )2 = x^2 -( x )2
ossia la varianza si può calcolare come la media dei quadrati (indicata con il simbolo x^2 ) meno il quadrato della media
Distribuzione Normale o gaussiana, definizione e uso delle tavole
Precisazioni sulla differenza tra varianza campionaria e varianza:
se i dati statistici COMPLETI sono N (ad esempio quando si fa un censimento si hanno tutti i dati completi) possiamo parlare di media e di varianza (ad esempio dell'età della popolazione di cui si sta facendo il censimento)e le formule di media e varianza vanno considerate con n=N
se invece facciamo un sondaggio e prendiamo in considerazione solo un campione di numerosità m la media campionaria va fatti sui dati del campione con n=m e la varianza campionaria va fatta sui dati dati del campione e quindi va divisa per m-1 (=n-1) invece che per m. TUTTAVIA, se m è molto grande, usare una o l'altra formula non fa grande differenza: Infatti il rapporto tra varianza campionaria ossia
(1/(m-1)) ∑1≤i≤m (xi-x )2
(dove x1,x2,...,xm rappresentano i valori del sondaggio/campione)
e il valore
(1/m) ∑1≤i≤m (xi-x )2
vale m/(m-1) come è banale verificare: [(1/(m-1)) ∑1≤i≤m (xi-x )2]/ [(1/(m )) ∑1≤i≤m (xi-x )2] = [1/(m-1)]/ [1/m ] =m/(m-1)
e quindi tale rapporto è molto vicino ad 1 (se m è grande) ed è per questo motivo che non fa molta differenza usare l'una o l'altra formula nel calcolare la varianza campionaria.
SPIEGAZIONE DEL SIGNIFICATO DEL TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE E USO PER OTTENERE GLI INTERVALLI DI CONFIDENZA
PER QUESTA PARTE RIMANDIAMO ALLE SLIDE DELLA PROFESSORESSA TORRE http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html (escluso il TEST DI IPOTESI)
Posizione del METODO dei minimi quadrati e retta di regressione (lineare):
DATI IN DUE DIMENSIONI:
a volte i dati forniscono per ogni osservazione due numeri: ad esempio su n individui possiamo avere sia il dato del peso che la sua altezza.
I dati sono quindi del tipo n punti del piano ( x1, y1), (x2, y2),...,(xn, yn).
A volte ci si può chiedere se esiste c'è una "specie di dipendenza lineare" tra i dati. In genere non c'è una precisa dipendenza lineare,
cioè in genere non esiste un a e un b tali che yi=a+bxi per ogni i=1,2,...,n.
TUTTAVIA ci si puo' chiedere se esiste una retta y*(x)=a*+b*x per la quale i dati yi differiscano di poco dal valore y*(xi)=a*+b*xi.
A questo scopo la "differenza/distanza" tra viene calcolata con la somma dei quadrati delle differenze y(xi)-yi
PRECISAMENTE
la "differenza/distanza" tra i dati e una retta generica y(x)=a+bx viene calcolata
come
∑1≤i≤n (a+bxi- yi)2
ci si chiede se esistono a* e b* tali che, per ogni a e b si abbia
∑1≤i≤n (a*+b*xi- yi)2 ≤ ∑1≤i≤n (a+bxi- yi)2
da cui il nome del METODO DEI MINIMI QUADRATI
Ora posto
H(a,b):= ∑1≤i≤n (a+bxi- yi)2 = (a+bx1- y1)2 +(a+bx2- y2)2 +...+(a+bxn- yn)2 ,
la precedente richiesta è equivalente a chiedere che
H(a*,b*) ≤ H(a,b) per ogni a e b
cioè che (a*,b*) sia il minimo globale /assoluto della funzione H(a,b).
Questa notazione ci aiuterà nella spiegazione di come ottenere la retta di regressione.
Si ottiene che tale retta è la retta chiamata RETTA DI REGRESSIONE (lineare)
y-y = CovXY /(s2X ) (x-x )
dove
s2X =(1/n) ∑1≤i≤n (xi-x )2 =(1/n) ∑1≤i≤n (xi)2 - ( x )2 = x^2 - ( x )2
e infine
CovXY= (1/n) ∑1≤i≤n (xi-x )(yi-y ) = (1/n) ∑1≤i≤n (xiyi) - ( x )( y ) = xy - ( x )( y )
NOTA BENE:
introducendo la notazione
s2Y =(1/n) ∑1≤i≤n (yi-y )2 =(1/n) ∑1≤i≤n (yi)2 - ( y )2 = y^2 - ( y )2
(e sY è la radice quadrata di s2Y , cioè la deviazione standard per le ordinate, e analogamente per sX )
e il coefficiente di correlazione
ρXY= CovXY /(sX sY) ( ρ è la lettera greca "rho")
la retta di regressione
y-y = [CovXY /(s2X )] (x-x )
NOTA BENE: si potrebbe anche scrivere come (dividendo per sY)
(y-y )/ sY = CovXY /(s2X ) (x-x )/ sY = CovXY /(sXsY) [(x-x ) / sX]
ovvero
(y-y )/ sY = ρXY [(x-x ) / sX]
SI OSSERVI CHE il coefficiente di correlazione ρXY varia in [-1,1] .
INOLTRE si potrebbe dimostrare che ρXY = ±1, allora i dati sono perfettamente allineati, cioè per ogni i yi = y(xi) = a*+b*xi ,
PROCEDIMENTO PER OTTENERE TALE RISULTATO
OVVIAMENTE, se conoscessimo b* potremmo affermare che
H(a*,b*) ≤ H(a,b*) per ogni a
ossia che la funzione a→ H(a,b*) ammette un minimo globale/assoluto in a*,
e quindi la sua derivata (rispetto ad a) deve essere nulla in a*.
E analogamente se conoscessimo a* potremmo affermare che
H(a*,b*) ≤ H(a*,b) per ogni b
ossia che la funzione b→ H(a*,b) ammette un minimo globale/assoluto in b*,
e quindi la sua derivata (rispetto ad b) deve essere nulla in b*.
Ora ricordando che
H(a,b):= ∑1≤i≤n (a+bxi- yi)2 = (a+bx1- y1)2 +(a+bx2- y2)2 +...+(a+bxn- yn)2 ,
e quindi
a→H(a,b*):= ∑1≤i≤n (a+b*xi- yi)2 = (a+b*x1- y1)2 +(a+b*x2- y2)2 +...+(a+b*xn- yn)2 ,
e
b→H(a*,b):= ∑1≤i≤n (a*+bxi- yi)2 = (a*+bx1- y1)2 +(a*+bx2- y2<)2 +...+(a*+bxn- yn)2 ,
e le derivate di queste due funzioni sono,
(∂/∂a)H(a,b*)=2 (a+b*x1- y1) + 2(a+b*x2- y2) +...+ 2(a+b*xn- yn) ,
e
(∂/∂b)H(a*,b)= 2 (a*+bx1- y1) x1 +2 (a*+bx2- y2)x2 +...+2(a*+bxn- yn)xn,
Le due condizioni di minimo diventano immediatamente le seguenti condizioni NECESSARIE
(∂/∂a)H(a*,b*)=0 e (∂/∂b)H(a*,b*)=0
o in altre parole a* e b* sono soluzioni del sistema (trascurando il fattore comune 2)
(a+bx1- y1) + (a+bx2- y2) +...+ (a+b xn- yn)=0 , (I)
e
(a+bx1- y1) x1 + (a+bx2- y2)x +...+(a+bxn- yn)xn=0 (II)
la prima equazione equivale a
na+b ∑1≤i≤n xi - ∑1≤i≤n yi = n (a+bx - y )=0 cioè a= y - b x ,
la seconda equazione equivale a
a∑1≤i≤n xi + b ∑1≤i≤n (xi)2 - ∑1≤i≤n (xi yi) = n ( a x + b x^2 - xy )= 0
N.B. Abbiamo usato la notazione x^2 = (1/n) ∑1≤i≤n (xi)2 e xy =(1/n) ∑1≤i≤n (xi yi)
Il sistema diviene quindi
a= y - b x , (I)
a x + b x^2 - xy = 0 (II)
e si risolve per sostituzione:
sostituendo nella seconda equazione la prima
si ottiene
(y - b x ) x + b x^2 - xy = 0
ossia
b ( x^2 - ( x )2 ) = xy - (x )(y ) che equivale a b s2X=CovXY
ossia b=CovXY /s2X, e di nuovo utilizzando la prima equazione
otteniamo
che NECESSARIAMENTE a* e b* individuano la retta di regressione
y(x)= a* + b* x = y - b* x + b* x = y + b*(x- x ) = y + CovXY /s2X (x- x )
ATTENZIONE in generale le condizioni che abbiamo richiesto sono solo condizioni necessarie: in genere bisognerebbe controllare se questa coppia di valori è effettivamente un minimo (potrebbe ad esempio essere un massimo, o neanche quello...) MA IN QUESTO CASO si potrebbe dimostrare che è effettivamente un minimo... ma non lo dimostreremo...
..
Giovedì 15 gennaio 2015 Aula E del Dipartimento di Matematica al piano terra (ore 11-13)
(lezione di recupero)Ripresa dell'argomento retta di regressione e spiegazione del coefficiente di correlazione. In realtà la retta
(y-y )/ sY = ρXY [(x-x ) / sX] o equivalentemente y-y = [CovXY /(s2X )] (x-x )
è (più precisamente) la retta di regressione di y rispetto ad x.
In modo analogo si può definire la retta di regressione di x rispetto ad y scambiando il ruolo di x e di y. Osservando che CovXY=CovYX e quindi anche ρXY=ρYX, si ottiene che la retta di regressione di x rispetto ad y è
(x-x )/ sX = ρXY [(y-y ) / sY]
ovvero
(y-y )/ sY = (1/ρXY) [(x-x ) / sX]
In altre parole le due rette di regressione NON sono uguali
OSSERVAZIONE 1: la retta di regressione passa sempre per il punto (x , y )
Questa osservazione, ad esempio, permette di semplificare i conti nell'esercizio D.22 del foglio 9: la retta di regressione dei tre punti A(0,0), B(1,1) e C(2,1) passa per il punto (x , y )=(1, 2/3) e si domanda quale è la distanza verticale tra B e il punto della retta di regressione di ascissa 1. Posto y(x) la retta di regressione la distanza del punto B(xB,yB) dal punto (xB,y(xB) ) vale, per definizione |y(xB) - yB|, ma in questo caso B(xB,yB) = B(1,1) e anche senza calcolare CovXY /(s2X ) sappiamo che la retta di regressione passa per il punto (x , y )=(1, 2/3) [ ossia y(1)=2/3 ]
Di conseguenza possiamo affermare subito che la risposta è |y(xB) - yB|=|y(1)-1|=|2/3 -1|=1/3
OSSERVAZIONE 2: SI PARLA DI REGRESSIONE LINEARE ANCHE QUANDO SI CERCA DI TROVARE UNA FUNZIONE DEL TIPO
y(x)=a*+b* x2 in modo che, qualunque siano a e b
∑1≤i≤n (a*+b*(xi)2 - yi)2 ≤ ∑1≤i≤n (a+b(xi)2- yi)2
La soluzione è la stessa pur di sostituire (xi)2 al posto di xi .
Il motivo per cui si parla di regressione LINEARE è che la funzione che cerchiamo è di tipo lineare in a e b (non in x)
Quindi ad esempio si ottiene che nella formula
y-y = CovXY /(s2X ) (x-x )
al posto di x va messo x^2 = (1/n) ∑1≤i≤n (xi)2
al posto di
s2X =(1/n) ∑1≤i≤n (xi-x )2 =(1/n) ∑1≤i≤n (xi)2 - ( x )2 = x^2 - ( x )2
va messo
s2X2 =(1/n) ∑1≤i≤n [(xi)2 - x^2 ]2 =(1/n) ∑1≤i≤n (xi)4 - ( x^2 )2 = x^4 - ( x^2 )2
e infine al posto di
CovXY= (1/n) ∑1≤i≤n (xi-x )(yi-y ) = (1/n) ∑1≤i≤n (xiyi) - ( x )( y ) = xy - ( x )( y )
va messo
CovX2Y= (1/n) ∑1≤i≤n [(xi)2 - x^2 ](yi-y ) = (1/n) ∑1≤i≤n [(xi)2 yi] - ( x^2 )( y ) = x^2y - (x^2 )( y )
e si ottiene che la funzione y(x)=a+bx2 che minimizza la somma dei quadrati delle distanze è
y-y = CovX2Y /(s2X2) (x2-x^2 )
IL DISCORSO SI GENERALIZZA AL CASO in cui si cerca ad esempio una funzione del tipo y(x)=a+bx+cx2. (CHE E' LINEARE NEI PARAMETRI a,b e c)
ANCHE SE ESULA DAL CORSO, dovete sapere che il procedimento adottato si potrebbe ripetere e porterebbe a un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite a,b e c.
A QUESTO PUNTO pero' ci si potrebbe chiedere: è meglio la retta di regressione o la parabola ottenuta (CI RIFERIAMO AL CASO DELLA PARABOLA DEL TIPO y(x)=a*+b*x2)
LA SCELTA VA FATTA confrontando i valori ottenuti: OVVERO ponendo per chiarezza,
la retta di regressione yr(x)= ar*+br*x
e la "parabola" di regressione yp(x)= ap*+bp* x2,
dobbiamo calcolare i due "errori quadratici"
∑1≤i≤n (ap*+bp*(xi)2 - yi)2 e ∑1≤i≤n (ar*+br*xi - yi)2
e decidere che la SCELTA MIGLIORE è quella che ha l'errore quadratico più piccolo.
IN QUESTO SENSO SI CONSIGLIA DI GUARDARE L'ESERCIZIO D.53 oppure D.54 del foglio 9.
ESERCIZIO D.21 del foglio 9:
ricordiamo che una funzione del tipo
y(x)= A e -B(x-C)2
è (una densità) gaussiana di parametri μ e σ2
SE SOLO SE è positiva e il suo integrale vale 1
ovvero SE E SOLO SE
A= 1/ (2π σ2)½ B= 1/(2σ2) e C=μ
la funzione y=[1/ (4π)½] e-¼x2 + ½x -½
è (una densità) gaussiana con μ= 1 e σ=√2 (o equivalentemente con σ2=2)
infatti
A=1/ (2π σ2)½ = 1/ (4π)½ SE E SOLO SE σ2=2
a questo punto B=1/4 e quindi si tratta di vedere se
-¼x2 + ½x -¼ = - ¼ (x - μ)2, per qualche valore di μ
cioè se
x2 - 2x +1=(x - μ)2
e ciò è ovviamente verificato per μ=1
COLLEGATI A QUESTI ESERCIZI CI SONO GLI ESERCIZI DEL TIPO dell'esercizio D31 del foglio 9:
si tratta di determinare quanto vale l'integrale tra -∞ e +∞ della funzione
y(x)=(1/3) e - (x+3)2 .
L'idea è la seguente: questa funzione è proporzionale a una (densità) gaussiana [cioè differisce solo per una costante moltiplicativa da una (densità) gaussiana] con (chiaramente μ=-3) e B = 1/(2σ2) =1, ovvero σ2 =1/2.
Posto A=1/ (2π σ2)½= 1/ (2π (1/2))½=1/ (π)½
possiamo riscrivere [ in qunato banalmente (1/A) A=1]
y(x)=(1/3) e - (x+3)2 =(1/3) (1/A) A e - (x+3)2 = (1/3) (π)½ [ (1/(π)½] e - (x+3)2 .
ORA SAPPIAMO CHE L'INTEGRALE tra -∞ e +∞ DI [ (1/(π)½] e - (x+3)2 VALE 1, IN QUANTO LA FUNZIONE [ (1/(π)½] e - (x+3)2 è UNA (DENSITA') GAUSSIANA, E QUINDI L'INTEGRALE tra -∞ e +∞ DI y(x) VALE (1/3) (π)½ .
Esercizi del tipo D.49 del foglio 9:
PREMESSA quando hanno n dati l'ERRORE STANDARD DELLA MEDIA (campionaria) (e.s.m.) è definito come
e.s.m.= s/√n
dove s è lo scarto quadratico medio (se si tratta di un campione sarebbe meglio usare lo scarto quadratico medio campionario, ma se n è grande mettere n-1 o n non cambia molto i valori che si ottengono)
ed entra nella definizione degli intervalli di confidenza: nel senso che grazie al teorema centrale del limite e le sue generalizzazioni, possiamo affermare che l'intervallo di confidenza al 95% per la media è
[x - 1,96 s/√n , x + 1,96 s/√n ],
e
l'intervallo di confidenza al 99% per la media è
[x - 2,58 s/√n , x + 2,58 s/√n ],
la cui interpretazione è del seguente tipo: quando prendo un campione di n individui da una popolazione molto grande (l'ideale sarebbe una popolazione infinita) posso affermare che nel 99% dei casi la media degli individui si trova nell'intervallo di confidenza [x - 2,58 s/√n , x + 2,58 s/√n ] (analoga considerazione per l'altro intervallo.
QUANDO si riassumono dei risultati di un campinamento i dati vengono presentati come x ± s/√n, chiarendo bene anche quanto vale n.
Nella pratica n deve essere abbastanza grande per poter applicare il teorema centrale del limite: in genere si dice che deve essere ≥ 30, ma è ragionevole anche prendere n circa 1000. QUINDI GLI ESERCIZI DEL TIPO DELL'ESERCIZIO D49-----D52, vanno presi come esercizi (con numeri comodi, ma non come metodi da applicare nella pratica)
TESTO dell'esercizio D.49 del foglio 9 si tratta di un campione di 25 individui di 35 anni la cui pressione arteriosa vale 130 con uno scarto quadratico medio s=4
I dati quindi vanno presentati come x ± s/√n, che in questo caso diviene
130 ± 4/√(25) = 130 ± 4/5 = 130 ± 0,8
..
Giovedì 15 gennaio 2015 Aula E del Dipartimento di Matematica al piano terra (ore 14-16) POI (14,20-16,50, con una pausa)
(lezione di recupero)RAPIDISSIMA INTRODUZIONE ALLA PROBABILITA':
Giustificazione breve del fatto che nella probabilità si usa il metodo assiomatico, identificando l'evento certo con un insieme Ω e gli "eventi" con sottoinsiemi E di Ω,le operazioni sugli eventi sono del tipo:
(i) il contrario di E (o la sua negazione) che diviene l'insieme complementare di E, denotato con Ec,
(ii) dati due eventi E ed F si può considerare l'evento: "si verifcano sia l'evento E che l'evento F"= "si verificano E ed F" che corrisponde all'insieme E ∩ F (l'insieme E intersezione F)
(iii) dati due eventi E ed F si può considerare l'evento: "si verifca almeno uno tra l'evento E e l'evento F"= "si verifica E o F" che corrisponde all'insieme E U F (l'insieme E unione F)
e che devono valere le seguenti regole
1) P(Ω)=1,
2) 0 ≤ P(E) ≤ 1
3) se E ∩ F=Ø (cioè se l'intersezione è l'insieme vuoto Ø, che corrisponde all'evento IMPOSSIBILE, ovvero "gli eventi E ed F sono INCOMPATIBILI") allora P(E U F)=P(E)+P(F)
La condizione 3 equivale alle seguenti condizioni
P(E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F) e alla condizione (abbastanza naturale) che P(Ø)=0
INOLTRE LA condizione 3) , insieme alla 1) implica che P(E)+P(Ec)=1 :
infatti E ∩ Ec =Ø e E U Ec = Ω (un evento e il suo contrario sono incompatibili ed è certo che si verifica almeno uno tra l'evento E e il suo contrario Ec (principio del tertium non datur) quindi per la 1) , essendo E U Ec = Ω si ha
1= P( Ω) = P(E U Ec )
inoltre, essendo E ∩ Ec =Ø, per la 3) coincide con
P(E U Ec ) = P(E)+P(Ec)
e riassumendo 1= P( Ω) = P(E U Ec ) = P(E)+P(Ec)
ALTRO INGREDIENTE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA' sono le probabilità condizionate:
la probabilità di un evento F condizionata a un altro evento E, con P(E)>0, denotata con P(F/E) vale
P(F/E) = P(F∩E)/P(E)
la cui interpretazione è la valutazione della probabilità di F SAPENDO CHE si è verificato l'evento E.
DALLA DEFINIZONE (moltiplicando ambo i membri della precedente uguaglianza per P(E)) SI OTTIENE IMMEDIATAMENTE che
P(F∩E) = P(F/E) P(E) (detta formula delle probabilità composte)
Osservazione: scambiando il ruolo di E e di F si ottiene anche (se P(F)>0)
P(E∩F)=P(E/F) P(F)
FORMULE IMPORTANTI che legano le probabilità e le probabilità condizionate
dato un evento E con P(E)>0 e P(Ec)>0 allora per ogni evento F vale
a) formula delle probabilità totali
P(F)= P(E∩F)+P(Ec∩F)=P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)
b) formula di Bayes
P(E/F) = [P(E) P(F/E)]/P(F) = [P(E) P(F/E)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
Prima di vedere come si ricavano queste due formule vediamo a cosa servono:
Un effetto F può derivate da due possibili cause denotate con E e con Ec,
(ad esempio si veda l'esempio dei test diagnostici)
se conosciamo P(E) e quindi P(Ec)=1-P(E) e conosciamo P(F/E) e P(F/Ec) allora con la formula delle probabilità totali possiamo calcolare
P(F) = P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)
Inoltre possiamo essere interessati a capire quale delle due cause è maggiore o comunque quanto valgono le probabilità delle due diverse cause dato che si è verificato l'effetto F
ossia calcolare
P(E/F) = [P(E) P(F/E)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
e
P(Ec/F) = [P(Ec) P(F/Ec)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
(ovviamente si ha P(Ec/F)=1-P(E/F) come è naturale, in quanto le probabilità condizionate a un evento F fissato sono probabilità e come si ricava immediatamente dalla formula
P(Ec/F) = [P(Ec) P(F/Ec)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
= {[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]-P(E) P(F/E) }//[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
= 1- [P(E) P(F/E)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
a) verifica della formula delle probabilità totali
P(F)= P(E∩F)+P(Ec∩F)=P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)
si osserva che F=(E∩F) U (Ec∩F) [ ad esempio con i diagrammi di Venn]
ossia F è l'unione di due insiemi INCOMPATIBILI (E∩F) e (Ec∩F)
(del resto F si verifica solo se si verificano entrambi E ed F oppure se si verificano entrambi Ec ed F ) e quindi per la condizione 3) si ha
P(F) = P( (E∩F) U (Ec∩F) ) = P(E∩F)+P(Ec∩F)
inoltre per la formula delle probabilità composte si ha
P(E∩F)=P(E)P(F/E) e P(Ec∩F) = P(Ec) P(F/Ec)
da cui
P(F) = P(E∩F)+P(Ec∩F) = P(E)P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)
b) Verifica della formula di Bayes
P(E/F) = [P(E) P(F/E)]/P(F) = [P(E) P(F/E)]/[P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec)]
infatti, per definizione si ha
P(E/F)=P(E∩F)/P(F)
e per la formula delle probabilità composte si ha P(E∩F)=P(E)P(F/E) e quindi
P(E/F)=P(E∩F)/P(F)=P(E)P(F/E)/P(F)
e infine si applica la formula delle probabilità totali P(F)= P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec) per ottenere
P(E/F)= P(E)P(F/E)/P(F)= [P(E)P(F/E)] / [ P(E) P(F/E) + P(Ec) P(F/Ec) ]
ESEMPIO DEI TEST DIAGNOSTICI:
si prende un campione " rappresentativo" di N persone appartenenti a una popolazione (ad esempio gli italiani tra 18 e 65 anni)
e li sottopone ad un test per diagnosticare una malattia.
Si indica
con M+ l'insieme delle persone del campione che hanno la malattia
e con M- l'insieme delle persone del campione che non hanno la malattia
con T+ l'insieme delle persone del campione che sono risultate positive al test
e con T- l'insieme delle persone del campione che sono risultate negative al test
(attenzione evidentemente c'è un modo per diagnosticare la malattia sicuro e forse "costoso" mentre il test non è sicuro ed "economico)
A questo punto la popolazione è divisa in 4 sottoinsiemi
T+∩ M+ l'insieme dei veri positivi
T-∩ M- l'insieme dei veri negativi
T+∩ M- l'insieme dei falsi positivi
T-∩ M+ l'insieme dei falsi negativi
Se prendiamo una persona a caso tra gli N sottoposti al test,
la probabilità di prendere una persona che ha malattia è
P(M+)=|M+|/N OSSIA, espressa in percentuale, è LA PREVALENZA della malattia nel campione (la prevalenza di una malattia è la percentuale della malattia all'interno di una determinata popolazione)
la probabilità di prendere una persona che non ha la malattia è
P(M-)=|M-|/N = (N-|M+|)/N=1-|M+|/N = 1-P(M+)
la probabilità che di prendere una persona che è risultata positiva al test è
P(T+)=|T+|/N
a probabilità che di prendere una persona che è risultata negativa al test è
P(T-)=|T-|/N = (N-|T+|)/N=1-|T+|/N = 1-P(T+)
ed analogamente per
P(T+∩ M+) = |T+∩ M+|/N la probabilità di prendere un vero positivo
P(T-∩ M-) = |T-∩ M-|/N la probabilità di prendere un vero negativo
P(T+∩ M-) = |T+∩ M-|/N la probabilità di prendere un falso positivo
P(T-∩ M+ ) = |T-∩ M+|/N la probabilità di prendere un falso negativo
P(T+| M+) = P(T+∩ M+)/P(M+)= [ |T+∩ M+|/N ] / (|M+|/N]=|T+∩ M+| / |M+|
la probabilità che la persona sia risultata positiva al test sapendo che la persona ha la malattia ed è detta LA SENSIBILITA' DEL TEST
P(T-| M-) = P(T-∩ M-)/P(M-)= [ |T-∩ M-|/N ] / (|M-|/N]=|T-∩ M-| / |M-|
la probabilità che la persona sia risultata negativa al test sapendo che la persona NON ha la malattia ed è detta LA SPECIFICITA' DEL TEST
Inoltre, di conseguenza,
P(T+| M-) = 1- P(T-| M-)
P(T-| M+ ) = 1 - P(T+| M+)
La probabilità che la persona sia risultata positiva al test (NON CONDIZIONATA) vale (per la probabilità totali)
P(T+) = P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) = P(M+)P(T+|M+) + [1- P(M+)] [1-P(T-|M-)]
quindi se sono noti la sensibilità P(T+|M+) e la specificità P(T-|M-) e P(T+) allora possiamo calcolare la prevalenza della malattia, che soddisfa una semplice equazione lineare
P(T+) = P(M+)P(T+|M+) + 1-P(T-|M-) - P(M+) [1-P(T-|M-)]
= P(M+) [ P(T+|M+) -1 + P(T-|M-) ] + 1-P(T-|M-)
da cui si può calcolare facilmente P(M+)
INOLTRE
P(M+|T+) = P(M+)P(T+|M+)/ [P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) ]
= P(M+)P(T+|M+) / [ P(M+)P(T+|M+) + [1-P(M+)][1-P(T-|M-)] ]
è la probabilità che una persona scelta a caso nel campione abbia la malattia sapendo che la persona scelta è risultato positivo al test.
IMPORTANTE se il campione è scelto in modo "rappresentativo" ed è abbastanza grande possiamo considerare che le probabiltà precedenti (che sono in realtà pensate come frequenze relative) si possano prendere come le probabilità degli eventi relativi agli eventi del tipo
P(M+)=|M+|/N la probabilità che una persona scelta a caso nella popolazione di cui il campione è stato scelto abbia la malattia
P(T+)=|T+|/N la probabilità che una persona scelta a caso nella popolazione di cui il campione è stato scelto risutli positivo alla malattia
(NOTA BENE: questo approccio corrisponde ad usare l'impostazione frequentista delle probabilità)
e così via, e IMPORTANTE
P(M+|T+) = P(M+)P(T+|M+)/ [P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) ]
= P(M+)P(T+|M+) / [ P(M+)P(T+|M+) + [1-P(M+)][1-P(T-|M-)] ]
si può considerare come la probabilità che una persona scelta a caso nella popolazione abbia effettivamente la malattia sapendo che la persona sia risultata positiva al test.
ESEMPIO ESERCIZIO D38 del foglio RA2 (in realtà questo esempio è stato trattato nel ricevimento del 21 gennaio, il 15 gennaio è stato svolto un altro esercizio simile)
DATI del PROBLEMA
P(T+|M+)=90% =90/100=9/10, P(T-|M-)=80%=80/100=8/10, N=10000,
|T-|=7500
da cui |T+|=2500
punto a)
possiamo affermare che
P(T+)=|T+|/N= 2500/10000=1/4
e d'altra parte
P(T+) = P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) = P(M+)P(T+|M+) + [1- P(M+)] [1-P(T-|M-)]
= P(M+) (9/10) + [1- P(M+)][1-(8/10)] = P(M+) (9/10) + [1- P(M+)](2/10)
e quindi
1/4=P(M+)[(9/10) - (2/10)] + (2/10)
da cui la prevalenza della malattia vale
P(M+)= [(1/4)-(2/10)]/(7/10)= ([25-20]/100)*(10/7)= 5/70=(circa) 0,71=7,1%
ATTENZIONE il libro di testo prevede anche un altro modo per risolvere questo tipo di esercizi, che è equivalente al precedente,(vi invito a pensare perché è equivalente) e che qui presento prendendo come incognita |M+| (invece il libreo prende come incognita x=|M-|):
Poiché la specificità Sp=P(T-/M-)=|T-∩M-|/|M-| e ovviamente |T+∩M-|=|M-| - |T-∩M-|, possiamo dire che
|T-∩M-| = Sp |M-| e che |T+∩M-|=|M-| -Sp |M-|=(1-Sp) |M-|
Analogamente, poiché la sensibilità Se=P(T+/M+)=|T+∩M+|/|M+| e ovviamente |T+∩M+|=|M+| - |T-∩M+| , possiamo dire che
Se |M+|= |T+∩M+| e che |T-∩M+|=|M+| -Se |M+|=(1-Se) |M+|
D'altra parte |T-|=|T-∩M-| + |T-∩M+| e |M-|=N-|M+| quindi
|T-|=Sp |M-| + (1-Se) |M+|= Sp (N- |M+|) + (1-Se) |M+|
da cui si può ricavare |M+| direttamente con una semplice equazione.
punto b)
Essendo P(T-∩ M-) = |T-∩ M-|/N e P(T-∩ M-)=P(M-)P(T-| M-) e P(M-)=1-P(M+) ovviamente si ha che il numero dei veri negativi è
|T-∩ M-|= P(T-∩ M-) N = P(M-)P(T-| M-) N = (65/70)*(8/10)*10000=7428,57 approssimato a 7429 (evidentemente la specificità e la sensibilà sono approssimate)
analogamente si potrebbe ottenere
che il numero dei falsi positivi è
|T+∩ M-|= P(T+∩ M-) N = P(M-)P(T+| M-) N = (65/70)*(2/10)*10000=1857,14 approssimato a 1857che il numero dei veri positivi è
|T+∩ M+|= P(T+∩ M+) N = P(M+)P(T+| M+) N = (5/70)*(9/10)*10000=642,857 approssimato a 643 (del resto 1857+643=2500, il numero delle persone risultate positive)e infine che il numero dei falsi negativi è
|T-∩ M+|= P(T-∩ M+) N = P(M+)P(T-| M+) N = (5/70)*(1/10)*10000=71,428 approssimato a 71 (del resto 7429 +71= 7500, il numero delle persone risultate negative)punto c)
scelta a caso una persona che è risultato positivo la probabilità che abbia la malattia, ossia
P(M+/T+)=P(T+∩ M+)/ P(T+) = P(M+)P(T+|M+)/ P(T+)
=P(M+)P(T+|M+)/ [P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) ]
= P(M+)P(T+|M+) / [ P(M+)P(T+|M+) + [1-P(M+)][1-P(T-|M-)] ]
= (7,1/100) (9/10) / [(7,1/100) (9/10) + (91,9/100)(2/100) ]
= 7,1*9/[7,1*9+92,9*2]= 0,2559= (circa) 26%
Ovviamente, se invece la persona è scelta a caso, avremmo potuto utilizzare anche P(T+)=|T+|/N= 2500/10000=1/4 a denominatore invece della formula per cui P(T+)=P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-). QUESTA FORMULA E' INVECE IMPORTANTE NEL CASO IN CUI LA PERSONA CHE HA EFFETTUATO IL TEST NON SIA SCELTA A CASO, MA SIA IN UN GRUPPO DI PERSONE A RISCHIO
IMPORTANTE non siate meravigliati del fatto che questa probabilità è piccola: il punto è che abbiamo preso una persona a caso e NON ABBIAMO MOTIVI DI PENSARE CHE abbia la malattia. In genere chi fa il test di solito ha dei motivi che per cui NON E' GIUSTO USARE P(M+)=7,1% come prevalenza della malattia, in quanto appartiene a una sottopopolazione in cui la prevalenza della malattia è più alta, ad esempio se fosse che tale probabilità nella classe delle persone fosse del 50%=1/2 si otterrebbe invece
P(M+/T+)= (1/2) (9/10) / [(1/2) (9/10) + (1/2)(2/100) ]= 9/(9+2)=9/11=(circa)0,818= 81,8%
..
Lunedì 26 gennaio 2015 Aula III del Dipartimento di Matematica al primo piano (ore 14-17)
(ESAME SCRITTO) ATTENZIONE QUESTE REGOLE RIMANGONO VALIDE PER TUTTI GLI APPELLI SUCCESSIVIL'esame scritto consiste in
8 domande a risposta multipla sui seguenti argomenti
1) Calcoli Numerici e/o Geometria Analitica
2) Sistemi di Equazioni e/o Disequazioni
3) Proprietà di Funzioni senza uso di derivate e/o Scala Logaritmica
4) Studio di funzioni con l'ausilio delle derivate
5) Integrali
6) Progressioni e/o Equazioni Differenziali
7) Statistica
8) Probabilità
+ Due domande a risposta apertaSE LO STUDENTE LO DESIDERA L'ESAME ORALE SI SVOLGERA' ENTRO LA SETTIMANA DELLO SCRITTO: IN TALE CASO LO STUDENTE DOVRA' SEGNALARLO SCRIVENDOLO SUL FOGLIO CON LE DOMANDE.
RICORDATE DI PORTARE UN DOCUMENTO DI IDENTITA'!!!
SI PUO' portare UN LIBRO DI TESTO, e una CALCOLATRICE SCIENTIFICA
ma
NON SI POSSONO USARE TELEFONI CELLULARI, TABLET, APPUNTI, FOTOCOPIE E FOGLI (ANCHE BIANCHI) DIVERSI DA QUELLI CHE VI DAREMO NOI.
-
Figura per capire come si scrivono le coordiante cartesiane in termini delle coordinate polari
-
Figura per capire come si scrivono le coordiante cartesiane in termini delle coordinate polari
-
-
Alcuni esercizi preparati dalla prof.ssa Menghini sono disponibili presso la copisteria Copy Net in via degli Irpini 10/12 (via degli Irpini è piccola traversa di via dei Marrucini a pochi metri da piazzale Aldo Moro, ed è parallela a via De Lollis)
NUOVO Si consiglia anche di vedere il seguente link
http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html
dove trovate i link a delle lezioni della Prof.ssa Anna Torre dell'Università di Pavia basate sul libro di testo Villani-Gentili.
I file degli esercizi sono disponibili anche al seguente link (in formato .zip)
oppure qui sotto file per file
-
si tratta di 10 file pdf divisi per argomento piu' 2 file di esercizi a Risposta Aperta (Attenzione: c'è qualche errore di stampa)
-
il file contiene gli stessi esercizi del file 1-Calcoli-rid, ma con alcune osservazioni, relative a qualche errore di stampa
-
Il file contiene degli esercizi su sistemi di equazioni e progressioni geometriche o aritmetiche
-
Il file contiene esercizi di Geometria analitica e di trigonometria
-
Esercizi su integrali, aree, valore medio (contiene anche due esercizi su funzioni di due variabili: D44 su integrale di superficie e D45 sul differenziale esatto)
-
Esercizi su equazioni differenziali, ed esercizi sul differenziale esatto (per funzioni di due variabili) ma anche su progressioni
(in particolare segnalo che gli esercizi D10, D12 e D14 sono risolti a tempo discreto e si tratta quindi di progressioni geometriche, e che gli esercizi dal D45 al D50 anche sono a tempo discreto e si tratta di una generalizzazione della progressione geometrica)ATTENZIONE IL FILE CONTIENE ALCUNI ERRORI DI STAMPA
- nell'esercizio D.2 c'è un errore di stampa (così come è la risposta esatta non è la 2B ma neanche nessuna delle altre) la risposta esatta è y(x)=(1/2) ln(x2+x+1)= ln( (x2+x+1)½), del resto si confronti questo esercizio con l'esercizio D17
- nell'esercizio D.5 c'è un errore di stampa (la risposta esatta non è la 5C)
- nell'esercizio D27 c'è un errore di stampa: per avere la soluzione y(9)=9/2 l'equazione dovrebbe essere √(2y) (dy/dx)=+1, invece l'equzione √(2y) (dy/dx) = - 1, con y(0)=0, non esiste per valori di x positivi
- negli esercizi D47 e D48 la frase
La funzione che descrive l’andamento della quantità di pesce nel
tempo La funzione che descrive lo smaltimento del farmaco ha un andamentova ovviamente sostituita con
La funzione che descrive l’andamento della quantità di pesce nel
tempo- le risposte degli esercizi D45, D46, D47 e D48 andrebbero cambiate: dove c'è scritto che si allontana dall'asintoto orizzontale y=1000 (o y=2,5 o y=3,3) sarebbe meglio scrivere che si allontana dalla retta orizzontale y=1000 (o y=2,5 o y=3,3)
(spiegazione: se y(t) si allontana allora la retta y=1000 non è un asintoto)
vedere il file 8.EQ-DIFF-correzioni.pdf qui sotto (punto 8.bis)
-
altri esercizi a risposta aperta
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file dello studio delle funzioni con una correzione esercizio D.2 ha un flesso orizzontale nell'origine
-
-
.
Le regole dell'esame e di valutazione sono state aggiornate le novità sono evidenziate in grassetto e CORSIVO.
L'esame di MATEMATICA (canale A-L) per il corso di LAUREA in CHIMCA E TECNOLOGIE FARMACEUTICHE consiste in
una prova scritta e una prova orale (obbligatoria)
L'esame scritto consiste in
8 domande a risposta multipla sui seguenti argomenti
1) Calcoli Numerici e/o Gemetria Analitica
2) Sistemi di Equazioni e/o Disequazioni
3) Proprietà di Funzioni senza uso di derivate e/o Scala Logaritmica
4) Studio di funzioni con l'ausilio delle derivate
5) Integrali
6) Progressioni e/o Equazioni Differenziali
7) Statistica
8) Probabilità
+ Due domande a risposta apertaLe domande sono del tipo degli esercizi proposti nell'Eserciziario in questa pagina web.
Le domande a risposta multipla vanno comunque motivate brevemente sui fogli che vi daremo (non basta mettere una croce sulla risposta), le domande a risposta aperta vanno motivate con attenzione.
PER QUESTO CANALE: SE LO STUDENTE LO DESIDERA L'ESAME ORALE SI SVOLGERA' ENTRO LA SETTIMANA DELLO SCRITTO: IN TALE CASO LO STUDENTE DOVRA' SEGNALARLO SCRIVENDOLO SUL FOGLIO CON LE DOMANDE, altrimenti l'esame orale si svolgerà nella settimana successiva
RICORDATE DI PORTARE UN DOCUMENTO DI IDENTITA'!!!
SI PUO' portare UN LIBRO DI TESTO, e una CALCOLATRICE SCIENTIFICA
NUOVO: ECCEZIONE (a) anche due libri di testo
MA ATTENZIONE
NON SI POSSONO USARE TELEFONI CELLULARI, TABLET, APPUNTI, FOTOCOPIE E FOGLI (ANCHE BIANCHI) DIVERSI DA QUELLI CHE VI DAREMO NOI.
NUOVO: ECCEZIONI (a) un foglio protocollo scritto a mano e (b) fotocopie di una tabella più completa di integrali
IL COLLOQUIO ORALE parte dagli esercizi non svolti e/o sbagliati: non è necessario sapere a memoria le dimostrazioni, ma almeno le idee alla base della soluzione degli esercizi: ad esempio qual è il significato della derivata nel grafico di una funzione. NON SOTTOVALUTATE PERO' LA TEORIA...
REGOLE DI VALUTAZIONE
1) il voto dello scritto vale un massimo di 30 punti cosi' divisi: 20 punti per le 8 domande a risposta multipla e 10 punti per le due domande a risposta aperta.
NUOVO: PRECISAZIONI
(a) 8 domande a risposta multipla valgono 2,5 voti ciascuna
(b) le due domande a risposta aperta valgono 5 punti ciascunaSI CONSIGLIA DI SVOLGERE ALMENO UNO TRA GLI ESERCIZI A RISPOSTA APERTA per ottenere la sufficienza
Per essere ammessi alla prova orale bisogna aver ottenuto almeno 15 punti sui 30 a disposizione
IMPORTANTE: SIETE TUTTI INVITATI A VEDERE IL COMPITO, anche se non siete tra gli ammessi:
(i) il voto potrebbe cambiare, e anche aumentare:
correggendo mi potrebbe essere sfuggito qualche punto (o interpretato male qualche frase)
(ii) VI POSSO SPIEGARE I VOSTRI ERRORI E, MOLTO PROBABILMENTE, AL PROSSIMO TENTATIVO, NON LI FARETE PIU' .2) il voto del colloquio orale: il colloquio orale può aumentare il voto dello scritto fino a un massimo di 3 punti MA ATTENZIONE: il voto può anche diminuire.
3) il voto ottenuto alla prova di autovalutazione (per chi la ha sostenuta)
INOLTRE
IL VOTO DELLA PROVA DI AUTO VALUTAZIONE vale per un anno (anche nel malaugurato caso si venisse bocciati)
-
ALCUNI STUDENTI MI HANNO FATTO DELLE DOMANDE su ALCUNI ESERCIZI
METTO A DISPOSIZIONE DI TUTTI LE RISPOSTE.
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Esercizi Svolti a lezione
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Ci sono due urne esternamente uguali: la prima contiene una pallina bianca e tre rosse, mentre la seconda urna contiene due palline bianche e due rosse. Si sceglie a caso una delle due urne e si estrae una pallina dall'urna scelta.
a) Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca
b) Sapendo che la pallina estratta è bianca, quanto vale la probabilità che sia stata scelta la prima urna?
c) Sapendo che la pallina estratta è bianca, è più probabile che l'urna scelta sia la prima o che sia la seconda?
RISPOSTA
Prima di tutto poniamo
U1="viene scelta l'urna 1" , U2="viene scelta l'urna 1" e B="viene estratta una pallina bianca"
INOLTRE scegliere a CASO le probabilità di ciascuna scelta sono uguali: in questo caso si tratta di scegliere tra due urne e quindi P(U1)=P(U2)=1/2
(più in generale se ci fossere n casi la probabilitàdi ciascun caso varrebbe 1/n)
Sappiamo inoltre che P(B/U1)=1/4 e che P(B/U2)=2/4 (=1/2)
a) formula delle probabilità totali:
P(B)=P(U1)P(B/U1)+P(U2)P(B/U2)=(1/2) (1/4)+(1/2)(2/4)=3/8
b) Formula di Bayes P(U1/B)=P(U1)P(B/U1)/P(B) = (1/2) (1/4)/ (3/8)=1/3
c) P(U2/B)>P(U1/B) infatti
1° modo, sempre per la Formula di Bayes P(U2/B)=P(U2)P(B/U2)/P(B) = (1/2) (2/4)/ (3/8)=2/3
2°modo P(U2/B)=1-P(U1/B)=1-(1/3)=2/3 in quanto U2 è il complementare di U1
ATTENZIONE ci si poteva aspettare il risutato c) in quanto nell'urna 2 ci sono più palline che nell'urna 1, e la probabilità di scegliere una delle due urne è la stessa. SE LA PROBABILITA' P(U2) fosse più piccola di P(U1) potrebbe anche accadere che P(U1|B) > P(U2/B) come mostra la seguente variazione dell'esercizio precedente
VARIAZIONE:
Ci sono due urne esternamente uguali: la prima contiene una pallina bianca e tre rosse, mentre la seconda urna contiene due palline bianche e due rosse. Si lancia un dado e se esce un numero da 1 a 5 si sceglie l'urna 1 se invece esce 6 si sceglie l'urna 2 e si estrae una pallina dall'urna scelta.
a) Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca
b) Sapendo che la pallina estratta è bianca, quanto vale la probabilità che sia stata scelta la prima urna?
c) Sapendo che la pallina estratta è bianca, è più probabile che l'urna scelta sia la prima o che sia la seconda?
Risposta: prima di tutto, con le stesse notazioni dell'esercizio precedente, l'unica differenza rispetto al problema di prima è che P(U1)=5/6 e P(U2)=1/6
a) formula delle probabilità totali:
P(B)=P(U1)P(B/U1)+P(U2)P(B/U2)=(5/6) (1/4)+(1/6)(2/4)=7/24
b) Formula di Bayes P(U1/B)=P(U1)P(B/U1)/P(B) = (5/6) (1/4)/ (7/24)=5/7
c) P(U1/B)>P(U2/B) infatti
1° modo, sempre per la Formula di Bayes P(U2/B)=P(U2)P(B/U2)/P(B) = (1/6) (2/4)/ (7/24)=2/7
2°modo P(U2/B)=1-P(U1/B)=1-(5/7)=2/7 in quanto U2 è il complementare di U1
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FOGLIO 8
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D1 FOGLIO 8
Una funzione y e’ tale che 1+y2 = −e−x · y' . Essa inoltre vale 1 quando x = 0.
Questa equazione è a variabili separabili:dividendo per (1+y2) e per - e−x cioè moltiplicando per 1/(1+y2) e per -ex, si ottiene
y'/(1+y2) = −ex
e la soluzione generale è data da
arcotan( y )= −ex +C
e quindi applicando la funzione tangente ad ambo i membri si ottiene la soluzione generale da cui poi si puo' ricavare facilemente la soluzione particolare con la condizione iniziale data.D12 FOGLIO 8
La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 2%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo t = 0. La funzione che descrive l’andamento della concentrazione e’
(varie risposte)
Dal testo sappiamo che C(t)=C(t-1)-2%C(t-1) ossia C(t)=C(t-1)0,98 e che C(0) vale 1
Basta quindi risolvere questa equazione a tempo discreto per ottenere che diviene una progressione geometrica
OPPURE E FORSE MEGLIO
si ipotizza posto k il tasso di smaltimento cioè C'(t)/C(t)= - k la soluzione
è del tipo C(t)=Ce-kt con C(0)=C=1 e C(1)=0,98=e-k da cui si ottiene lo stesso la soluzione C(t) = (0,98)t osservando che e-kt =(e-k)tPER ALTRI ESERCIZI DI TIPO SIMILE, MA CON TASSO DI CRESCITA e DIMINUZIONE COSTANTE (o di SMALTIMENTO e SOMMINISTRAZIONE) si veda più sotto l'esempio dell'esercizio D40 del foglio RA2
Inoltre, nel caso in cui il tasso di smaltimento del farmaco nel sangue sia del 30% (ossia k=0,3) e venga somministrato nell'unità di tempo 3 mg del farmaco, e con concentrazione iniziale C(0)=5, allora
l'equazione è del tipo C'(t)= - 0,3 C(t) + 3, C(0)=5
IN GENERALE la soluzione del problema di Cauchy
x'(t) = H x(t) + K, x(0) = x ,
è
x(t) = ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)
qui H= -k = -0,3 K=3mg x = 5
e quindi la soluzione è
C(t) = (5 - (3/0,3) ) e -0,3t + (3/0,3) = (5-10) e -0,3t + 10= 10 - 5 e -0,3t .
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FOGLIO 9
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D48 FOGLIO 9
Ad un concorso con 10000 concorrenti, i voti alla prova scritta sono risultati distribuiti
secondo una gaussiana con media aritmetica μ = 5,2 e scarto quadratico medio s = 1. Quante persone hanno, approssimativamente, ottenuto la sufficienza (cioe’ un voto >= 6?)
Prima di tutto deve tenere presente che se dei dati x_i si comportano come una gaussiana di media μ e scarto quadratico medio (o deviazione standard) s questo significa che le percentuali che questi siano in una certa regione possono essere calcolati usando le aree corrispondenti individuate dalla densità gauusiana corrispondente. Queste aree si possono calcolare attraverso delle tabelle (pagina 183 del libro) che permettono di calcolare la probabilita' che i dati siano
in intervali di tipo simmetrico rispetto alla media [μ-us, μ+us] al variare di u, fuori di tali intervalli o in intervalli del tipo [μ+us, +i∞)
quindi si tratta di trovare u tale che μ+us=6 tenendo presente che μ = 5,2 ed s=1 e poi utilizzare al tabella corrispondente.-----------------------------------------------------------------------------------
FOGLIO 10
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D3 FOGLIO 10
Un campo di 1000 mq e’ coltivato al 70% a fiori. Sul campo c’e’ un tendone di 600 mq che ne copre
una parte. Il 20% della parte coltivata a fiori non e’ coperta dal tendone. Dal vicino campo da
tennis, una palla finisce nel campo. Se essa non colpisce il tendone, con quale probabilita’ coglie la
parte coltivata a fiori?
Nel DISEGNO in allegato è schematicamente disegnata (ATTENZIONE, le proporzioni non sono rispettate) la parte con il tendone in grigio (T1 U T2), F1 rappresenta la parte coltivata a fiori non coperta dal tendone, mentre la parte coltivata a fiori sotto il tendone è la T1
Si assume, senza dirlo, che la probabilità che la pallina cada in una regione del campo sia proporzionale all'area
e si richiede P(F1/ F1UG )= Aera(F1)/[Area(F1)+Area(G)]
Con questo suggerimento, si dovrebbe essere in grado di proseguire.D14 FOGLIO 10
Sulla base di dati precedenti, si ipotizzi che nel 1994 in Italia ci siano stati 1,8 milioni di consumatori di droghe leggere, e 200.000 consumatori di droghe pesanti. Su un campione di 1000 consumatori di droghe pesanti, 750 hanno dichiarato di aver fatto prima uso di droghe leggere. Su tale base, quanto vale la probabilita’ di passare dal consumo di droghe leggere a quello di droghe pesanti?
Dal fatto che dal campione 750 su 1000 hanno usato anche droghe leggere, si può dedurre che circa i 3/4 dei consumatori di droghe pesanti sono anche consumatori di droghe leggere cioè 150.000 quindi la probabilita' di passare da droghe leggere a droghe pesanti è il rapporto tra questi 150.000 e il numero totale dei drogati ossia 1.800.000 e quindi la probabilita' che uno che ha usato droghe leggere abbia consumato anche droghe pesanti vale 15/180 = 5/60=1/12= 0,08333 e quindi circa l'8%D22 FOGLIO 10
Un tiratore centra il bersaglio 8 volte su 10. Quanto vale la probabilita’ che centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi?
Prima di tutto si deve pensare che, OGNI VOLTA CHE IL TIRATORE PROVA A CENTRARE IL BERSAGLIO, colpire il bersaglio è come scegliere una pallina bianca da un'urna che contiene 8 palline bianche e 2 rosse
Si tratta di calcolare al probabilità dell'evento E U F
dove E= "il tiratore centra il bersaglio al primo colpo"
ed F="il tiratore centra il bersaglio al secondo colpo"
e si può usare la formula P(EUF)=P(E)+P(F)-P(E∩F) ed ottenere
P(EUF)= (8/10) + (8/10) - 8*8/(10*10)
OPPURE
Si può procedere calcolando la probabilita' di NON CENTRARE il bersaglio in entrambe le prove (che è il complementare dell'evento di cui si chiede la probabilità) e poi usare la proprietà che la probabilità del complementare di A vale 1-P(A)
ossia calcolare P(Ec∩Fc)=2*2/(10*10) e poi ottenere che P(EUF)=1-P(Ec∩Fc)=96/100
D. 23 FOGLIO 10 Il 4% di una popolazione e’ affetto da una certa
malattia. L’accertamento della malattia e’ affidato ad un test di laboratorio che fornisce nel 90% dei casi la risposta corretta (sia in presenza che in assenza di malattia, ovvero specificita’ del test = sensibilita’ del test). Per un individuo il test ha dato esito positivo. Qual e’ la probabilita’ che egli abbia effettivamente la malattia?DATI DEL PROBLEMA: prevaleza P(M+)=4% , P(T+/M+)=P(T-/M-)=90%
la soluzione discende dalla formula di Bayes
P(M+|T+) = P(M+)P(T+|M+)/ [P(M+)P(T+|M+) + P(M-)P(T+|M-) ]
= P(M+)P(T+|M+) / [ P(M+)P(T+|M+) + [1-P(M+)][1-P(T-|M-)] ]
(si veda l'ESEMPIO DEI TEST DIAGNOSTICI in Diario delle lezioni del 15 gennaio 2015 ed in particolare lo svolgimento dell'ESERCIZIO D38 del foglio RA2 )
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FOGLIO RA2
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Riporto qui quanto scritto nel messaggio inviato al FORUM da cui si puo' ottenere come si ricavano gli esercizi simili a questo
D40 FOGLIO RA2.
In un lago di pesca sportiva i pesci si riproducono ad un tasso del 3% alla settimana. Ogni settimana vengono pescati 36 kg di pesce. Si supponga che al
tempo t=0 ci siano 200 kg di pesce nel lago. Si scriva l’equazione differenziale che descrive il problema.Qual e’ il valore di stabilita’?
Si descriva l’andamento delle funzione che risolve il problema.
La quantita’ di pesci nel lago aumenta o diminuisce?
Se aumenta, dopo quanto tempo raddoppia?Se diminuisce, dopo quanto tempo il lago e’ vuoto?
Come si ricava dal fatto che il tasso di crescita vale x'(t)/x(t) (se non ci fosse la diminuzione di 36 kg alla settimana)
ATTENZIONE il tempo è calcolato in settimane
l'equazione (anzi meglio il problema di Cauhcy) è
x'(t)=3/100 x(t)-36, x(0)=200
ossia del tipo
x'(t)=Hx(t)+K, x(0)=x
che, con il metodo di variazione delle costanti o di Lagrange, si ricava essere
x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)
con H=3% e K = -36
LA SOLUZIONE è quindi
x(t)=(200-36/(3/100)) e(3/100)t +36/(3/100)= -1000 e(3/100)t +1200
1) il punto di stabilità (o meglio di equilibrio), che è il valore per cui la soluzione è costante cioè per cui e quindi 0= x'(t) = H x +K=0, cioè x = - (K/H)
2) la soluzione è decrescente e tende a meno infinito per t che tende a + infinito
3) si deve trovare non il tempo di raddoppio ma il tempo di estinzione (lago vuoto)
ossia il t tale che -1000 e3/100t +1200=0 e quindi
e(3/100)t = 1200/1000=6/5 , cioè passando ai logaritmi
(3/100)t = ln(6/5)
t= (100/3) ln(6/5)=6,077 settimane cioè circa un mese e mezzo
OSSERVAZIONE: in realtà la soluzione dopo questo tempo diviene negativa e semplicemente non ha senso come modello per il peso del pesce nel lago...ossia il modello vale solo per un tempo ristretto o finché x(t) è abbastana grande...
IN GENERALE la soluzione del problema di Cauchy
x'(t) = H x(t) + K, x(0) = x ,
è
x(t) = ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)
e se tale soluzione è crescente, il tempo di raddoppio che si trova imponendo
x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)= 2 x
come quel valore t tale che
eHt = [(K/H) + 2 x ] / ( x + (K/H) ) o equivalentemente
eHt = [K + 2 H x ] / ( K+ H x )
ossia t = (1/H) ln( [K + 2 H x ] / ( K+ H x ) ]
ha senso solo se H>0 e x + (K/H) > 0 per essere sicuri che x(t) sia crescente e tenda all'infinito. (QUI SUPPONGO x >0)
-
come potete vedere dalla pagina web della programmazione didattica del corso di Chimica e tecnologie farmaceutiche
http://gomppublic.uniroma1.it/Programmazioni/render.aspx?CodiceInterno=25993&anno=2015
le date degli appelli d'esame di MATEMATICA sono le seguenti
ATTENZIONE L'APPELLO del 22 GENNAIO 2016 verrà considerato anche come appello dell'a.a. 2014-15 per gli studenti al secondo annoData Appello Data Inizio Prenotazione Data Fine Prenotazione Note 26/01/2015 17/11/2014 24/01/2015 - 13/02/2015 24/01/2015 11/02/2015 - 12/06/2015 04/05/2015 10/06/2015 - 10/07/2015 14/06/2015 08/07/2015 - 24/09/2015 15/07/2015 22/09/2015 spostato al 28.09.2015 per sovrapposizione con l'esame di Chimica -
ATTENZIONE L'APPELLO del 22 GENNAIO 2016 verrà considerato anche come appello dell'a.a. 2014-15 per gli studenti al secondo anno
Data Appello Data Inizio Prenotazione Data Fine Prenotazione Note 22/01/2016 15/10/2015 19/01/2016 - 12/02/2016 22/01/2016 10/02/2016 - 13/06/2016 22/04/2016 10/06/2016 - 08/07/2016 14/06/2016 06/07/2016 - 26/09/2016 31/07/2016 24/09/2016 - -
lunedì 5 ottobre ore 15-17
Presentazione del corso. Errori di misurazione, grandezze fisiche, passaggio da radianti a gradi. Errore di approssimazione e percentuale: prime definizioni e primi esempi (errore relativo ed errore della somma e della differenza)
Si consiglia di vedere
(anche se contiene qualche errore) e il file
(anche se a volte i testi e le risposte degli esercizi sono incomprensibili)mercoledì 7 ottobre ore 15-17
Troncamento e arrotondamento. Richiami sui numeri reali e loro proprietà. Errore di approssimazione: errore assoluto e relativo del prodotto, del reciproco e del quozionte. Percentuale: studio di due esempi/esercizi (vedere i file allegati qui sotto)
Errori di Approssimazione Percentuale
Consigliato il sito della professoressa Anna Torre (http://www-dimat.unipv.it/atorre/ link http://www-dimat.unipv.it/atorre/) dell'Università di Pavia ed in particolare i siti dei corsi di Matematica da lei tenuti
a Chimica e Tecnologie Farmaceutiche: MatematicaCTF-2011-12 (http://www-dimat.unipv.it/atorre/corsoCTF20112012.html) link http://www-dimat.unipv.it/atorre/corsoCTF20112012.html
e a Farmacia: Matematica-2013-14 (http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014.html) link http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html
giovedì 8 ottobre ore 13-15
Richiami sugli insiemi e le operazioni che si posso compiere (intersezione,unione, complementare). Complementare dell'unione=intersezione dei complementari. Connessione tra le operazioni logiche di "implicazione" ed insiemi uno contenuto in un altro. Cardinalità di un insieme=numero degli elementi dell'insieme, la cardinalità dell'unione di due insiemi A e B (con un numero finito di elementi)
|AυB|= |A|+|B|-|A∩B|
Esercizi. Vedere gli esercizi al seguente link Esercizi-8-10-2015 (in fondo alla pagina del corso)
lunedì 12 ottobre ore 15-17
Equazioni delle rette e loro rappresentazione nel piano cartesiano; vari modi di scrivere l'equazione: retta che passa per due punti, forma parametrica; coefficiente angolare. Cenni alle funzioni e ai grafici di una funzione. Sistemi monometrici e dimetrici. Disequazioni lineari, e sistemi di disequazioni lineari: interpretazione geometrica nel piano cartesiano. Equazioni e disequazioni di secondo grado. ATTENZIONE IL FILE Equazioni e disequazioni CONTENEVA QUALCHE ERRORE, ora c'è una versione corretta (spero) Equazioni e disequazioni-corretto.
mercoledì 14 ottobre ore 15-17
Disequazioni irrazionali e fratte. Funzioni iniettive, Funzioni suriettive, Funzioni biunivoche, interpretazione attraverso i grafici. Grafici delle funzioni f(x)=x^n (per ogni x) (a seconda se n è pari o dispari), della funzione f(x)=1/x (per x≠0) e della funzione valore assoluto (o modulo) f(x)=|x|.
Osservazione sull'uguaglianza tra la radice quadrata di x2 e il modulo di x.
giovedì 15 ottobre ore 13-15 sospensione dell'attività didattica per MAKER FAIRE
lunedì 19 ottobre ore 15-17
Operazioni sulle funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente. Discussione sull'insieme di definzione di queste funzioni. Funzioni crescenti (strettamente e in senso lato) e Funzioni decrescenti (strettamente e in senso lato): studio di f(x)=x^2, con dominio D=[0,+infinito) e di g(x)=x^3, senza l'aiuto dei grafici. Definzione di massimo assoluto (o globale) e di massimo relatiivo(o locale) e di minimo assoluto (o globale) e di minimo relatiivo (o locale): differenza tra punto di minimo e valore minimo. Dipendenza del valore minimo/massimo dall'insieme preso in considerazione:
f(x)=-(x-1)^2+4, con dominio tutti i reali ha un massimo assoluto in x_0=1 ed il valore massimo vale 4 (ossia x_0=1 è punto di massimo assoluto della funzione f nei reali)
la funzione g(x)=-(x-1)^2+4, con dominio [2,4] ha un massimo assoluto in x_0=2 e valore massimo uguale a g(2)= -(2-1)^2+4=3 (ossia x_0=2 è punto di massimo assoluto della funzione g, che ha come dominio [2,4])
la funzione h(x)=-(x-1)^2+4, con dominio (2,4] NON ha un massimo assoluto.
Discussione dei problemi 1 e 2 del foglio 2 dell'Eserciziaro.mercoledì 21 ottobre ore 15-17
soluzione del Problema 2 del foglio 2 dell'Eserciziario, con paga= G+np dove n= numero di pezzi prodotti. Studio del numero migliore di ore che conviene diminuire (o equivalentemente di quanto conviene aumentare la produzione per ora). Analogia con il problema: trovare quale rettangolo ha area massima, tra tutti i rettangoli con perimetro fissato=2K: ossia posto a=altezza e base=b, si ha 2a+2b=2K, a>=0, b>=0, trovare a e b tali che l'area abdel rettangolo sia massima. Posto a=x si trova che b=K-x e che si deve massimizzare la funzione f(x)=x(K-x) al variare di x in[0,K].
Richiamo sulle potenze e definizione della funzione esponenziale che ad ogni x reale associa ax (con a>0) , definizione della funzione logaritmo: studio di alcune proprietà degli esponenziali e dei logaritmi: svolti alcuni esercizi, presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 1-esercizi-su-equazioni-e-disequazionigiovedì 22 ottobre ore 13-15
Composizione di funzioni fοg (x)=f(g(x)), funzione inversa, grafico della funzione inversa. Esempi, ed alcuni esempi importanti:
1) f(x)=xm e f(-1)( y)=y1/m; 2) f(x)=ax , f(-1)( y)=loga( y) e connessione con i grafici di queste funzioni. Altre proprietà dei logartimi (tra cui il cambio di base)
Esercizi D1,D2,D3,D4 del foglio 5 dell'Eserciziario
lunedì 26 ottobre ore 15-17
Scale logartimiche e rappresentazione grafica delle funzioni potenze e delle funzioni esponenziali come rette nelle scale logaritmiche e semilogaritmiche. funzioni trigonometriche, traslazioni, riflessioni, dilatazioni di grafici
mercoledì 28 ottobre ore 15-17
Esercizi dal foglio 5 dell'Eserciziario su: funzioni inverse e disegno di grafici di traformazioni di funzioni, insiemi di definizione, funzioni periodiche e periodo.
Funzioni sinusoidali y=f(x)=A sin (ω x+φ) dove A= ampiezza, ω= frequenza (ω>0) e φ=la fase iniziale. Relazione con il periodo. Dimostrazione del motivo per cui il periodo vale T=2π/ω
Infatti dobbiamo trovare il più piccolo valore T>0 per il quale vale f(x)=f(x+T) per ogni x
ossia che
A sin (ω x+φ)= A sin (ω (x+T)+φ) per ogni x
ovvero, essendo A ≠0,
sin (ω x+φ) = sin (ω x+ωT +φ) per ogni x
ovvero sin (ω x+φ) = sin (ω x +φ+ωT) per ogni x
poiché sappiamo che sin(t)=sin(t+2kπ) per ogni t e per ogni k intero, deve essere ωT= k 2π, ma poiché cerchiamo il valore più piccolo (e strettamente positivo) dobbiamo prendere k=1,
ossia deve valere ωT= 2π.
giovedì 29 ottobre ore 13-15
Interpretazione del coefficiente angolare m di una retta y=mx+q come
m=tan(θ) =sin(θ)/cos(θ) (o anche con la notazione tg(θ)=sin(θ)/cos(θ) )
dove θ (theta) è l'angolo che la retta y=mx+q forma con l'asse delle ascisse.βα
Formula della tangente della somma e tangente della differenza di due angoli, ossiatan(α + β) e di tan(α -β)
e utilizzo per calcolare la retta che forma un angolo con un'altra retta e per capire come mai
data una retta r di equazione y=mx+q
le rette perpendicolari alla retta r hanno equazione del tipo
y=m'x+q' con mm'+1=0 ovvero m'= -1/m.Studio dei sistemi in due equazioni in due incognite,
ax+by=e
cx+dy=f
Interpretazione geometrica come punto di intersezione fra due rette nel piano
Introduzione delle matrici due per due e del loro determinante e del metodo generale per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite, quando il determinante è diverso da zero (caso generale di rette NON parallele).
studio del caso in cui il determinante è nullo (sempre nel caso due per due) ed interpretazione geometrica come il caso di rette parallele (se non c'è soluzione) o rette coincidenti (e allora infinite soluzioni)parte della lezione si trova nel file SISTEMI-LINEARI-due-per-due
lunedì 2 novembre ore 15-17
Trasformazioni lineari del piano cartesiano in se stesso
Consideriamo la trasformazioni che porta ogni generico punto di coordinate cartesiane (x,y) del piano cartesiano nel punto (x',y') di coordinate
x'=ax+by
y'=cx+dy
ESEMPIO
il punto (1;0) va nel punto A di coordinate (a1+b0,c1+d0)=(a,c)
il punto (0;1) va nel punto B di coordinate (a0+b1,c0+d1)=(b,d)
il punto (1,1) ca nel punto Qdi coordinate (a1+b1,c1+d1)=(a+b,c+d)
PROPRIETA'
i punti di una retta r si trasformano in punti di un'altra retta r' (con un esempio)
ROTAZIONI come trasformazioni lineari, con l'ausilio delle coordinate polari.
Interpretazione dei sistemi di equazioni come problema inverso:
risolvere il sistema
ax+by=e
cx+dy=f
significa trovare (se esiste) il punto (x,y) il cui trasformato (x',y') è il punto (e,f).
fino a qui vedere il file SISTEMI-LINEARI-due-per-due
il resto è nel file Relazione tra determinate e area del parallelogramma,
ma qui sotto c'è un breve promemoria provvisorio
CONNESSIONE DEL DETERMINANTE CON IL SEGUENTE PROBLEMA:
trovare l'area del parallelogramma di vertici O(0,0), A(a,c), Q(a+b, c+d) e B(b,d)
dati due punti A(a,c)=(3,3/2) e B(b,d)=(1,2)PRIMO METODO:
I.1) trovare al distanza tra l'origine O(0,0) e A(3,3/2) (ossia la base del parallelogramma)
I.2) scrivere l'equazione della retta r che passa per i punti O(0,0) e A(3,3/2)
I.3) scrivere l'equazione della retta r' perpendicolare alla retta r e passante per il punto B(1,2)
I.4) trovare le coordinate del punto H intersezione tra le rette r ed r' (OSSIA risolvere un sistema di equazioni lineari)
I.5) trovare la distanza tra i punti B ed H (ossia trovare l'altezza del parallelogramma)
I.6) l'area del parallelogramma è il prodotto base per altezzaSECONDO METODO
II.1) considerare che l'area del parallelogramma si ottiene come la'rea del rettangolo di vertici opposti l'origine O(0,0) e Q(a+b, c+d) = (3+1, 3/2+2)=(4,7/2) meno l'area di alcuni rettangoli e triangoli le cui aree si calcolano facilmente (vedere la figura determinante-come-area File, in formato jpg, e come sopra, scaricabile in fondo a questa pagina in formato pdf determinante-come-area-file-provvisorio )
II.2) calcolare l'area del rettangolo di vertici opposti l'origine O(0,0) e Q(a+b, c+d) = (3+1, 3/2+2)=(4,7/2) (gli altri vertici sono Q'(a+b,0)= 4,0) e Q''(0,7/2)
II.3) calcolare le aree dei triangoli e dei rettangoli rimanenti (vedere la figura determinante-come-area File, in formato jpg, e come sopra, scaricabile in fondo a questa pagina in formato pdf determinante-come-area-file-provvisorio )
II.4) utilizzare i conti fatti nei punti II.2 e II.3 per calcolare l'area del parallelogramma con il metodo del punto II.1
TERZO METODO
Calcolare il determinate della matrice con prima riga (a,b) e seconda riga (c,d)
ossia ad-bc= 3*2 - 1*(3/2) =(12-3)/2=9/2SPIEGAZIONE GENERALE
Trovate le spiegazioni un po' più dettagliate nel file Relazione tra determinate e area del parallelogramma.
COME ABBIAMO VISTO PRIMA, utilizzando la trasformazione
x'=ax+by
y'=cx+dy
(0,0), va in se stesso, il punto di coordinate (1,0) va nel punto A(a,c), il punto di coordinate (1,1) va in Q(a+b, c+d), il punto di coordiante (0,1) va nel punto B(b,d) e analogamente tutti i punti del quadrato di vertici (0,0), 1,0), (1,1) e (0,1) vanno nel parallelogramma di vertici O(0,0), A(a,c), Q(a+b, c+d) e B(b,d). Il fatto che l'area del parallelogramma sia diversa da zero, corrisponmde al fatto che la retta che passa per l'origine e il punto A(a,c) e quella che passa per l'origine e il punto B(b,d) sono sghembe.
Invece le due rette sono parallele se e solo se l'area del parallelogramma si riduce a zero ossia se A e B sono sulla stessa retta. In tale caso il sistema
ax+by=e
cx+dy=f
ha soluzione solo se (e,f) si trova sulla stessa retta alla quale appartengono sia A che B, (e in tale caso ci sono infinite soluzioni) e altrimenti non ci sono soluzioni.
mercoledì 4 novembre ore 15-17
Esercizi vari sui sistemi di equazioni lineari (dal foglio 2 dell'Eserciziario, con variazioni).
Esempi di sistemi in due incognite e tre equazioni, esempio di sistema di due equazioni e 4 incognite.
Esempio di calcolo del minimo della funzione
y=Log(1+ (x-3)2)
come caso di funzione composta f(g(x)):
con f crescente ossia se v1 < v2 implica che f(v1) <= f(v2)
e
con g tale che x0 è punto di minimo per g con valore minimo g(x0):
ossia qualunque sia x allora g(x0) ≤ g(x)
DI CONSEGUENZA
qualunque sia x allora, essendo g(x_0)<= g(x) ed f crescente
f(g(x0)) ≤ f(g(x))
ossia x0 è punto di minimo per f(g(x)) con valore minimo f(g(x0))Rapida discussione del motivo per cui non vale per la funzione composta y=Log( (x-3)2 )
giovedì 5 novembre ore 13,15-14,15
ATTENZIONE AL CAMBIO DI ORARIO
Esercizi su monotonia di funzioni composte f(g(x)) di funzioni monotone:
se f e g sono entrambe monotone crescenti o entrambe monotone descrescenti, allora f(g(x)) è monotona crescente,
se f e g sono entrambe monotone una crescente e l'altra decrescente allora f(g(x)) è monotona decrescente,
studio del segno delle funzioni e individuazione di quali sono i quadranti in cui si trova il grafico di una funzione
(in particolare sono stati illustrati gli esercizi D28-29-30-31 del folgio 5 dell'Eserciziario e varianti)
nel caso di f(x) monotona, studio della monotonia di f(-x), di -f(x), di 1/f(x): se f è monotona crescente, allora f(-x), -f(x), e 1/f(x) sono monotone descrescenti
(ovviamente per 1/f(x) è necessario che f(x)≠0)
lunedì 9 novembre ore 15-17
Studio qualitativo del grafico di una funzione: comportamento ai bordi degli intervalli di cui è composto l'insieme di definizione (o campo di esistenza) di una funzione f(x)
Definizione di limite finito di f(x) per x che tende ad a da destra, per x che tende a b da sinistra, per x che tende ad x0, per x che tende a + ∞ e per x che tende a -∞.
Definizione di limite ±infinito di f(x) per x che tende ad a da destra, per x che tende a b da sinistra, per x che tende ad x0, per x che tende a + ∞ e per x che tende a -∞.
Esempi (presi dalle slide della prof.ssa Torre, lezione 7, CTF 2011-12, in particolare si veda Limiti, forme indeterminate (slide8) nel sito "http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/lezioni.html )
proprietà dei limiti: il limite della somma è la somma dei limiti, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, etc.
Illustrazione del problema delle forme indeterminate.
studio del limite del rapporto di due polinomi, per x che tende a +∞.
mercoledì 11 novembre ore 15-17
Limite di funzioni composte: limiti con sostituzione, con esempi di applicazione.
Alcuni limiti notevoli lim(x→0) (ex-1)/x=1, limiti di esponenziali per x che tende a +∞ (e per x che tende a -∞)
limiti di rapporti di funzioni potenza e di esponenziali,
limiti di rapporti fra logaritmi e funzioni potenza,
Continuità di una funzione in un punto x0: lim(x→x0) f(x)=f(x0),
Continuità in un intervallo aperto (a,b), cioè continuità in ogni punto di (a,b)
Continuità in un intervallo chiuso [a,b], cioè continuità in ogni punto di (a,b) e
lim(x→a+) f(x)=f(a)
lim(x→b-) f(x)=f(b)Uso della continuità per il calcolo dei limiti di funzioni continui composte
Proprietà delle funzioni continue
la somma di due funzioni continue è una funzione continua,
il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua,
il rapporto di due funzioni continue è una funzione continua, (se il denominatore non si annulla)
se una funzione è invertibile e continua, allora la sua funzione inversa è continua (inoltre se una funzione è invertibile e crescente anche la sua funzione inversa è crescente)
ESEMPI: i polinomi, i rapporti di polinomi (dove il denominatore non si annulla),
le funzioni esponenziali, i logaritmi (in quanto funzioni inverse degli esponenziali)
le funzioni trigonometriche e le loro inverse:
l'inversa di sin (x), detta arcsin(x) [arcoseno di x, ovvero arco il cui seno è x]
si restringe sin(x) a [-π/2, +π/2], dove la funzione sin(x) risulta crescente e continua
e si ottiene la funzione arcsin : [-1,+1] → [-π/2, +π/2] continua e crescente
l'inversa di cos (x), detta arccos(x) [arcocoseno di x, ovvero arco il cui coseno è x]
si restringe cos(x) a [0, +π], dove la funzione cos(x) risulta decrescente e continua
e si ottiene la funzione arccos : [-1,+1]→ [0, π] continua e decrescente
l'inversa di tan (x), detta arctan(x) (o arctg(x) ) [arcotangente di x, ovvero arco la cui tangente è x]
si restringe tan(x) a (-π/2, +π/2), estremi esclusi, in quanto tan(x) non è definita per x=π/2+kπ, ossia dove cos(x)=0
Nell'intervallo (-π/2, +π/2) la funzione tan(x) risulta crescente e continua ed è tale che
lim(x→ π/2 - ) tan(x)=+∞, mentre lim(x→-π/2+) arctan(x)=-∞,
OSSIA tan(x) ha due asintoti verticali
e si ottiene la funzione arctan : (-∞,+∞) → (-π/2, +π/2) continua e crescente
e con lim(x→+∞) arctan(x)=π/2, mentre lim(x→-∞) arctan(x)=-π/2OSSIA ha due asintoti orizzontali.
(si consiglia di vedere le slide della prof.ssa Torre, lezione 7, CTF 2011-12, in particolare si veda Limiti, forme indeterminate (slide8) nel sito "http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/lezioni.html )
svolti alcuni esercizi, presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 6-esercizi-sui-limiti e dall'Eserciziario, foglio 5
giovedì 13 novembre ore 13-15
Esercizi sui limiti, in casi di forme indeterminate riconducibili a casi "semplici"
limiti notevoli (senza dimostrazione, ma si consiglia di controllare sulla calcolatrice scientifica)
sin(x)/x tende a 1 per x che tende a 0,
(1+b/x)x tende a eb per x che tende a + ∞ (qualunque sia b reale)
Relazione (per il caso b=1) con il limite lim(y→0)lln(1+y)/y =1 :
OVVERO
lim(x→+∞)(1+1/x)x =e se e solo se lim(x→+∞)ln [(1+1/x)x ]= ln(e)
se e solo se lim(x→+∞) x ln(1+1/x) =1
e posto y=1/x che tende a 0 quando x tende a + ∞ , e tenuto conto che x=1/y
1= lim(x→+∞) x ln(1+1/x) = lim(y→0) (1/y) ln(1+y)
Esericizi 32-37, 41-43, 49-50, 58, 61, 63 ,e altri...
Esercizi sulla continuit`a e sui limiti: Esercizi 1 e 2 pag 7
Studio parziale del grafico di una funzione y=f(x) per le funzioni f(x)=x/(x2-4) e f(x)=(x2-4x)(1-x) [Esercizio 1 pag.7 ed Esercizio 2 pag. 8]
(gli esercizi sono stati presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 6-esercizi-sui-limiti )
Cenno al problema dell'asintoto obliquo:
la retta y=mx+q è un asintoto obliquo per la funzione f(x) (per x che tende a + ∞) se
lim(x→+∞)[ f(x)-(mx+q)]=0 o equivalentemente lim(x→+∞)[f(x)-mx ]=q
necessariamente, se si divide per x,
lim(x→+∞)[ f(x)-(mx+q)]/x=0, ma ciò equivale a chiedere che lim(x→+∞) f(x)/x = m,
in quanto lim(x→+∞) (mx+q)/x= lim(x→+∞)m +(q/x)=m
TUTTAVIA ciò non basta, bisogna poi controllare se esiste un valore q per cui lim(x→+∞)[f(x)-mx ]=q
Nel caso di f(x)=(x2-4x)/(1-x)
accade che lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) (x2-4x)/(x-x2) = -1, e quindi m=-1
e inoltre
lim(x→+∞)[f(x)-mx ] = lim(x→+∞)[(x2-4x)/(1-x) - (-1)x ] = lim(x→+∞)[(x2-4x)(1-x) + x ]
= lim(x→+∞)[(x2-4x +x(1-x))/(1-x) ] = lim(x→+∞)[(x2-4x +x-x2)/(1-x) ] = lim(x→+∞)[-3x /(1-x)] =3
e quindi la funzione ammette un asintoto obliquo (per x che tende a + ∞) dato dalla retta di equazione y=-x+3
Si può ripetere il ragionamento anche per x che tende a - ∞, ed otttenere che la retta di equazione y=-x+3 è un asintoto obliquo anche per x che tende a - ∞
OSSERVAZIONE IMPORTANTE: la condizione lim(x→+∞) f(x)/x = m, NON E' SUFFICIENTE, infatti se prendessimo ad esempio
la funzione g(x)=f(x)+|x|1/2, con y=f(x) che ammette la retta y=mx+q come asintotno obliquo
allora si avrebbe lo stesso
lim(x→+∞) g(x)/x = lim(x→+∞) [f(x)/x + |x|1/2/x ] = m + lim(x→+∞) |x|1/2/x= m+0 =m
ma poi ovviamente, se vale lim(x→+∞)[f(x)-mx ]=q, ossia se la retta y=mx+q è un asintoto per y=f(x),
allora y=g(x) non ammette asintoto obliquo, in quanto
lim(x→+∞)[g(x)-mx ]=lim(x→+∞)[f(x)+ |x|1/2-mx ] =lim(x→+∞)[f(x)-mx + |x|1/2] ="q+ ∞"=+ ∞
lunedì 16 novembre ore 15-17
equazione di una retta secante alla curva data dai punti (x,f(x)) nei punti P0=(x0, f(x0)) e P1=(x1, f(x1)): y=f(x0)+ { [f(x1)-f(x0)]/(x1-x0) } (x-x0)
ed equazione della retta tangente alla curva data dai punti (x,f(x)) nel punto (x0, f(x0)) come limite della retta secante quando P1 tende a P0 :
y= f(x0)+ lim(x1→x0){ [f(x1)-f(x0)]/(x1-x0) } (x-x0) , ossia y= f(x0)+ f '(x0) (x-x0)
OSSIA la derivata f ' (x0) = lim(x1→x0){ [f(x1)-f(x0)]/(x1-x0) } come coeficiente angolare della retta tangente alla curva y=f(x) nel punto P0=(x0, f(x0))
funzioni derivabili in un intervallo (a,b): se essie la derivata in ogni punto dell'intervalllo (a,b)
Calcolo delle derivate di f(x)=c, f(x)=x, f(x)= x2, f(x)=x3. Uso della formula (a+b)3, (a+b)4, etc., con l'ausilio del triangolo di Tartaglia [noto anche come triangolo di Pascal]
estensione al caso di f(x)=xn, per n intero naturale e di f(x)=xa, per a reale (ed x >0)
Calcolo delle derivate di f(x)=ex e di f(x)=ax , per a >0
(usando il limite notevole lim(h→+0) (eh-1)/h=1)
proprietà delle derivate: derivata di a(fx), derivata della somma, derivata del prodotto, derivata del rapporto di funzioni derivabili
Derivata della funzione composta, (idea attraverso il rapporto incrementale)
Derivata della funzione inversa (motivazione geometrica e
calcolo delle derivate di f(x)= ln (x) e di f(x)= loga(x)
(si veda anche il file REGOLE DI DERIVAZIONE)
mercoledì 18 novembre ore 15-17
Relazioni tra continuità e derivabilità. Derivata destra e derivata sinistra. Relazioni tra crescenza di una funzione derivabile e positività della derivata. Punti critici.
Funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato [a,b]: enunciato del teorema di Weierstrass se f è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora ammette massimo e minimo.
Ricerca degli estremi per funzioni continue definite in un intervallo chiuso e limitato [a,b] :
i punti di massimo e minimo vanno cercati tra gli estremi a e b, tra i punti critici, ossia quelli in cui la funzione è derivabile e la derivata si annulla, ed eventualmente quelli in cui non esiste la derivata.Per questa parte vedere le slide della prof.ssa Anna Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Lezione10.pdf
Discussione degli esercizi C4.3 e C4.4 del libro Gentili-Villani, e di alcuni esercizi proposti dagli studenti: in particolare gli esercizi D6 e D40 del foglio 2 dell'Eserciziario, D 24 del foglio 3 dell'Eserciziario
giovedì 19 novembre ore 13-15
Esercizio D4 del foglio 5 dell'Eserciziario con e senza derivate, idea con le derivate: basta osservare che
f(x)=ax3 +b x2 +cx +d
e che
f'(x)=3 ax2 +2 b x +c
e impostare il sistema
f(0)=0,
f(1)=1,
f'(1)=0, (in quanto il punto 1 è un punto estremale e quindi la derivata prima in 1 si annulla)
f(3)=0
ossia, traducendo le condizioni
d=0,
a+b+c+d=1,
3a+2b+c=0,
27a+9b+3c+d=0
e risolvere il sistema ottenuto (di 4 equazioni nelle 4 incognite a , b c, d)
ma essendo d=0, in realtà si riduce immediatamente a un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b, c.(si veda anche il file REGOLE DI DERIVAZIONE)
Esercizio D21 sempre del foglio 5 (con e senza derivate):
IDEA
si tratta di una funzione crescente f (la radice di x) calcolata in una funzione g(x) (un polinomio di secondo grado con coefficiente di grado 2 negativo) il punto x0 di massimo di f(g(x)) coincide con il punto di massimo della funzione g(x):infatti se x0 è punto di massimo per g,
ossia se g(x) è minore o uguale a g(x0) per ogni x
allora, essendo f una funzione crescente si ha che f(g(x)) è minore o uguale di f(g(x0)) per ogni x nell'insieme di definizione di f(g(x))
ossia x0 è punto di massimo per f(g(x))
VARIANTE: potete ripetere lo stesso ragionamento per un'altra funzione f crescente, ad esempio f(x)=ex
Esercizio (dal libro del prof. Foschi): trovare i punti di intersezione tra una retta r di equazione ax+by+1=0 e la retta perpendicolare alla retta r e passante per l'origine.
Svolti altri esercizi su richiesta degli studenti.lunedì 23 novembre ore 15-17: DATA PER LA PROVA DI AUTOVALUTAZIONE ore 17-18: correzione/spiegazione alla lavagna degli esercizi
Il compito potrà vertere su tutti gli argomenti svolti finora: calcoli numerici, percentuali, disuguaglianze, sistemi di disuguaglianze, sistemi di equazioni lineari, passaggi da e a scale logaritmiche o doppiamente logaritmiche, semplici esercizi di geometria analitica, e trigonometria, grafici di trasformazioni di funzioni e/o di funzioni inverse, limiti di funzioni, grafico qualitativo di una funzione.
In pratica gli argomenti dei fogli1-5 dell'eserciziario, escluse le progressioni (che abbiamo MOMENTANEAMENTE SALTATO)
Le derivate compariranno solo come argomento facoltativo.
Ci saranno 3 domande a risposta multipla e un esercizio a risposta aperta. Le domande a risposta multipla dovranno essere giustificate (brevemente).
La prova di autovalutazione verrà inoltre giudicata con un voto da 0 a due punti, valido per un anno accademico: il punteggio ottenuto verrà aggiunto al voto dell'esame.
Ore 17-17,30 Correzione delle domande a risposta multipla D1, D1', D2, D2', D3 e D3'.
mercoledì 25 novembre ore 15-17
Discussione di alcuni errori nella soluzione della prova di autovalutazione:
in particolare sul seguente errore: nel caso di un sistema di n equazioni lineari in n incognite,
il fatto che sia nullo il determinante della matrice associata al sistema di equazioni lineari,
NON GARANTISCE che ci siano infinite soluzioni,
inoltre è vero che, sempre se il determinante è nullo, se si usa la regola di Cramer, necessariamente deve accadere che i determinanti dei numeratori ottenuti dal sostituire le colonne con la colonna dei termini noti deve essere nulla,
ovvero E' VERO CHE se uno di questi determinanti NON E' NULLO allora sicuramente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONI,
MA IL VICEVERSA NON E' VERO.
ESEMPIO: il sistema
x+y-z=a
2x+2y-2z=b
3x+3y-3z=c
e la matrice associata
1 1 -1
2 2 -2
3 3 -3
ha determinante nullo,
ed è immediato vedere che l'unica possibilità affinché ci siano soluzioni è che b=2a e c=3a ed in tale caso tutte le soluzioni sono (x,y, x+y-a).
Invece il sistema
x + y - z=1
2x+2y-2z=0
3x+3y-3z=0
non ammette soluzioni, ed è immediato vedere che sono nulli tutti i determinati delle tre matrici1 1 -1 1 1 -1 1 1 1
0 2 -2 2 0 -2 2 2 0
0 3 -3 3 0 -3 3 3 0
Discussione delle domande D4 e D4'
derivate delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse.
Questa parte si può trovare nel file allegato in fondo REGOLE DI DERIVAZIONE, insieme alle derivate delle funzioni esponenziali e delle funzioni logaritmiche e alla discussione dell'esercizio D4 del foglio 5 dell'Eserciziario
giovedì 26 novembre ore 13-15
Convessità di una funzione (o concavità rivolta verso l'alto del grafico della funzione) in un intervallo (a,b) finito o infinito
e concavità di una funzione (o concavità rivolta verso il basso del grafico della funzione) in un intervallo (a,b) finito o infinito
Interpretazione grafica, PROTOTIPO di funzione convessa: f(x)=x2
OSSERVAZIONE se f(x) è convessa allora -f(x) è concava (e viceversa)
caratterizzazione
1) attraverso la derivata prima:
se la funzione f(x) è derivabile in (a,b) e la derivata prima è crescente nell'intervallo (a,b) allora f(x) è convessa
2) attraverso la derivata seconda
se la funzione f(x) è derivabile due volte in (a,b) e la derivata seconda è maggiore o uguale a zero nell'intervallo (a,b)
allora f(x) è convessa
Flessi orizzontali e flessi obliqui (esempi)
Regola di De L'Hopital (esempi)
Teorema del confronto dei limit (anche noto come teorema dei carabinieri)
(per la teoria, in forma sintetica, si possono guardare le slide della Prof.sa Anna Torre; slide10 )
Esempi tratti dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 8: Esercizi sullo studio di funzione
lunedì 30 novembre ore 15-17
Approssimazione di funzioni derivabili con polinomi
Formula di Taylor (in particolare per n=0,1,2 e maggiorazioni del resto (ovvero dell'errore commesso)
ESEMPI svolti
Calcolo approssimato di e(1/100) (e di e-(1/100)) con un polinomio di grado 0,1,2, e maggiorazioni dell'errore commesso
Calcolo approssimato di cos(pigreco/100) con un polinomio di grado 2, e maggiorazioni dell'errore commesso
Calcolo approssimato di radice di (1+x) nelle vicinanze di 0, con un polinomio di grado 1 (e quindi con 1+x/2) e maggiorazioni dell'errore commesso
(per la teoria, in forma sintetica, le ultime due pagine di slide11 della Prof.ssa Anna Torre)Cenno all'idea di differenziale (questo argomento verrà ripreso)
Se f è derivabile con derivata continua, allora
f(x+dx)-f(x)=: Delta f(x)
è l'incremento di f nell'intervallo di estremi x e x+dx, invece
df(x)=f'(x) dx
è l'incremento della tangente ad f (tangente al grafico di f nel punto (x,f(x)) nell'intervallo di estremi x e x+dx.
Esercizio su massimo e/o minimo:
in un corridoio a forma di L di cui una prima parte ha larghezza 1 metro e una seconda parte ha larghezza due metri, e altro 3,20 metri dobbiamo far passare una lastra di larghezza 4 m e altezza 3,18 metri (quindi deve passare in verticale)
E' possibile?
(per una soluzione si veda il 21 novembre nel Diario delle Lezioni del 2014-15)
mercoledì 2 dicembre ore 15-17
Problema del calcolo delle aree. Metodo di approssimazione per ottenere l'area del cerchio.
Introduzione agli integrali definti.
Problema del calcolo dell'area della regione compresa tra l'asse x (per x compreso tra a e b) e il grafico di una funzione f(x) continua in [a,b] e con f(x)≥0:
approssimazioni dell'integrale definito.
Calcolo dell'integrale fra a e b della funzione x, sia geometricamente che con la definzione formale
[ a questo scopo abbiamo utilizzato e verificato la formula 1+2+...+(n-1)+n = n(n+1)/2 :
INFATTI
due volte la somma 1+2+...+(n-1)+n vale n volte (n-1), come mostra la somma qui sotto
1 + 2 + ... + (n-1) + n
+ n + (n-1) + ... + 2 + 1
-----------------------------------------------
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) = n (n-1)
FINE DELLA VERIFICA DELLA FORMULA ]
Illustrazione delle proprietà dell'integrale definito.
Per questa parte, oltre al libro, si vedano le slide della prof. Torre Integrali (slide12) (attenzione è in power point)
e il diario delle lezioni 2014-15: mercoledì 2 dicembre
Esercizio: studio e grafico della funzione f(x)= x^2/(x^2+3), inclusi i flessi.
(per quanto riguarda i flessi si veda il diario delle lezioni 2014-15: mercoledì 26 novembre )
giovedì 3 dicembre ore 13-15
Primitive e Integrali indefiniti: relazione con gli integrali definiti.
Calcolo degli integrli indefiniti (ossia di tutte le primitive) per le principali funzioni.
1) Si tratta di "invertire" la tabella delle derivate.
Sul libro si trova una tabella completa, ma suggerisco anche la tabella da youmath all'indirizzo
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/596-integrali-notevoli.htmlEsempi di applicazione.
(non affrontato, in questa lezione, sarà fatto nella lezione di luned' 7 dicembre)
2) Oppure si tratta di usare le formule di calcolo per sostituzione, o quelle di integrazione per parti
Esempi di applicazione
IMPORTANTE ci sono casi in cui non è nota l'espressione esplicita dell'integrale indefinito, in tali casi però si può ricorrere a tabelle o ad approssimazioni.
ESEMPIO f(x)= (densità gaussiana)
venerdì 4 dicembre ore 11-13 NON C'E' L'aula
lunedì 7 dicembre ore 15-17
Formule di calcolo per sostituzione, e quelle di integrazione per parti
Derivano rispettivamente dalle formule della derivazione per le funzioni composte e dalla formula di derivazione del prodotto di due funzioni:
FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE:
sia F una primitiva di f, ossia F'(t)=f(t), e sia g(x) una funzione derivabile, con g'(x) continua, allora
F(g(x)) è una primitiva di f(g(x))g'(x), OSSIA
se ∫ f(x) dx =F(x)+C allora ∫ f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C
IMPORTANTE ricordando che g'(x)dx= dg(x) è il DIFFERENZIALE DI g(x) SI USA SCRIVERE
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x) = F(g(x)) +C
INFATTI BASTA VERIFICARE CHE F(g(x)) sia una primitiva di f(g(x))g'(x),
ossia
la derivata di F(g(x)) +C sia uguale a f(g(x)) g'(x)
e ciò segue immediatamente dalla formula di derivazione della funzione composta:
(d/dx){F(g(x))+C} = F'(g(x)) g'(x) +0 = f(g(x)) g'(x)
ESEMPIO DI APPLICAZIONE
∫ sin(x) (cos(x))2 dx = ∫ (-cos(x))' cos2(x) dx = -∫ cos2(x) dcos(x)
Poiché ∫ t2 dt= t3/3 + C con la formula di integrazione per sostituzione possiamo affermare che
∫ sin(x) cos2(x) dx = ∫ (-cos(x))' cos2(x) dx = -∫ cos2(x) dcos(x) = - cos3(x)/3 + C
e quindi, ad esempio
∫0π sin(x) cos2(x) dx = - cos3(x)/3 |0π =
=- cos3(π)/3 - ( - cos3(0)/3 ) = -(-1)3/3 + 13/3=2/3
OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Se aveste dimenticato il segno - nella primitiva, vi sarebbe venuto -2/3
Ma un integrale negativo sarebbe stato un risultato impossibile, in quanto la funzione f(x)=sin(x) cos2(x) ≥ 0 per x nell'intervallo di integrazione [0,π] e, quindi, ANCHE PRIMA DI ESEGUIRE I CALCOLI, SAPPIAMO CHE l'integrale deve essere un numero ≥ 0.
Esercizi dal Foglio 7 dell'Eserciziario in particolare l'Esercizio D14
mercoledì 9 dicembre ore 15-17
Ancora sulle regole di integrazione per parti e per sostituzione.
Per l'integrazione per parti si veda la prima versione delle REGOLE DI INTEGRAZIONE
Esempio del calcolo dell'area della regione contenuta in un'ellisse di equazione (x/a)2+(y/b)2=1 (con a e b >0)
utilizzando l'espressione dell'integrale della radice di 1-x2, ossia
∫ (1-x2)1/2 dx = (1/2) x (1-x2)1/2 + (1/2) arcsin(x)+C
e si trova che l'area è uguale ad π ab.
OSSERVAZIONE, nel caso in cui a=b=r si ritrova la formula dell'area del cerchio .
Esempi vari ed esercizi tratti dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 11: Esercizi sul calcolo integrale (esclusi gli integrali per le funzioni razionali fratte)
Per risolvere questi esercizi suggerisco di guardare la tabella deli integrali da youmath all'indirizzo
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/596-integrali-notevoli.htmlSul web si trovano numerose tabelle, ma ATTENZIONE, possono contenere errori.
(come ad esempio nella tabella http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/Fisica1/Materiale_didattico/tabint.pdf )
Inoltre vi rendo noto che esiste un sito https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html
in cui potete trovare molti esempi di calcolo di integrali, ma non solo.
Il suo utilizzo deve essere il seguente: provate a svolgere un esercizio e poi controllate sul sito di wolfram-alphaINFINE IMPORTANTE: esistono funzioni di cui non si sa scrivere nessuna primitiva, come ad esempio la funzione
φ(x)= (1/(2π)1/2) e -x2/2
si sa che esiste una funzione primitiva Φ (x) ossia tale che la sua derivata coincide con
φ(x)= (1/(2π)1/2) e -x2/2
ma non la si può scrivere tramite le funzioni "elementari" ossia le potenze, le funzioni esponenziali, i logaritmi le funzioni trigonometriche, ma esistono delle tavole che permettono di calcolarla per moltissimi valori di x.
Quindi, tramite le tabelle della funzione Φ (x) si può calcolare l'integrale di φ(x) in un intervallo (a.b) come Φ (b)-Φ (a).
QUESTO ESEMPIO VERRA' RIPRESO quando ci occuperemo di statistica: è un esempio molto importante negli studi sperimentali, ed è legato agli errori di misurazione.
giovedì 10 dicembre ore 13-15
Calcolo del volume di un cilindro di base un cerchio di raggio R e altezza h : il volume è semplicemente l'area della base per l'altezza, quindi
VOLUME DEL CILINDRO= π R2 h
Calcolo del volume di un cono di base un cerchio di raggio R e altezza h :
il volume si può calcolare come limite della somma di tanti cilindri di raggio e altezza variabili
(una specie di "torta nunziale" a "strati sempre più numerosi e sottili" ossia con
∫0h π r2( y) dydove y= altezza dal basso e r( y) è il raggio corrispondente:
si ottiene che r( y):R= h-y=h da cui r( y)= (R/h) (h-y)
[ infatti si tratta di considerare un triangolo simile al triangolo rettangolo di base R ed altezza h, ma di base r( y) e altezza h-y, ossia quanto rimane da y fino ad h]
∫0h π r2( y) dy= ∫0h π (R/h)2 (h-y)2 dy
da cui, svolgendo i calcoli viene VOLUME DEL CONO= π R2 h/3
Calcolo del volume di una sfera di raggio R: conviene calcolare prima il volume della semisfera con un metodo simile a quello per calcolare il volume del cono.
Inoltre ci si riduce al caso R=1, per semplicità.
il volume della semisfera di raggio 1 è quindi data da ∫01 π r2( y) dy
dove y= altezza dal basso ma questa volta, per il teorema di Pitagora vale y2+r2( y)=1, da cui r2( y)=1-y2, e quindi
∫01 π r2( y) dy = ∫01π (1-y2) dy= π [ y- y3/3 ]01 = π [ 1- 1/3]= π 2/3
da cui VOLUME DELLA SFERA DI RAGGIO R = 4π R3/3 [= VOLUME DELLA SFERA DI RAGGIO 1 x R3]
Estensione dell'integrale al caso in cui uno degli estremi dell'integrale vale +∞
∫a+∞ f(x) dx = lim (b→ +∞) ∫ab f(x) dx (SE TALE LIMITE ESISTE)
o uno degli estremi dell'integrale vale -∞
∫-∞b f(x) dx = lim (a→ -∞) ∫ab f(x) dx (SE TALE LIMITE ESISTE)
ESEMPI:
∫1+∞ (1/x2) dx = lim (b→ +∞) ∫1b(1/x2) dx
= lim (b→ +∞) (-1/x) |1b = lim (b→ +∞) [(-1/b) -(-1)]
= lim (b→ +∞) [1- (1/b)] =1
------------------------------------
∫-∞0 ex dx = lim (a→ -∞) ∫a0ex dx =lim (a→ -∞) ex |a0
=lim (a→ -∞) [e0 - ea ]= 1
INVECE
la funzione cos(x) non è integrabile in (0, +∞) in quanto l'integrale indefintio di cos(x) è sin(x)+C e quindi l'integrale di cos(x) tra 0 e b vale sin(b) che continua ad oscillare tra +1 e -1 e il limite non esiste.
Esercizio 8.19 del libro di Villani-Gentili:
calcolo approssimato di ∫-0.4 0.4 exp{-x 2 /2} dx
usando la formula di Taylor.
IL PROBLEMA E' CHE NON E' POSSIBILE SCRIVERE UNA PRIMITIVA di exp{-x 2 /2} in termini delle funzioni elementari, quindi l'unica cosa da fare è fare un calcolo approssimato
IDEA APPROSSIMARE ∫ab f(x) dx con ∫ab Tnf(x) dx
dove Tnf(x) è il polinomio di Taylor di grado n di f(x)
Al contrario di ∫ab f(x) dx , che non sappiamo calcolare quando f(x)= exp{-x 2 /2} , sicuramente sappiamo calcolare ∫ab Tnf(x) dx perché sappiamo integrare tutti i polinomi.
VEDREMO CHE possiamo prendere come polinomio di Taylor 1-x 2 /2 e che quindi possiamo approssimare
∫-0.4 0.4 exp{-x 2 /2} dx con
∫-0.4 0.4 (1-x2/2) dx = 2 ∫0 0.4 (1-x2/2) dx = 2 (x-x3/6)|0 0.4 =
= 2 (4* 10-1-(4* 10-1)3/6) = 8* 10-1- 64* 10-3/3 = 0,8 - 21,333333 * 10-3=
= 0,77866666666666666666666666666667
vedremo che l'errore commesso è minore in valore assoluto di 5,12 * 10-4
Ed infatti utilizzando il sito di Wolfram Alpha https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html
(ed in particolare cliccando
e scrivendo l'istruzione integrate exp{- x^2/2} dx from x=-0.4 to 0.4
si ottiene ∫-0.4 0.4 exp{-x 2 /2} dx = 0,779169
e l'errore commesso è |0,77866666666666666666666666666667- 0,779169|= 0,000502333333333333333333333333330
CALCOLO DELL'ERRORE
∫ab f(x) dx - ∫ab Tnf(x) dx = ∫ab [f(x) -Tnf(x) ] dx
ed è facile convincersi che (stiamo assumendo a<b)
| ∫ab f(x) dx - ∫ab Tnf(x) dx | ≤ ∫ab |f(x) -Tnf(x)| dx
e che se 0 ≤ h(x) ≤ g(x) allora ∫ab h(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx,
da cui
prendendo h(x)=|f(x) -Tnf(x)| e g(x) = sup ξ in [a,b] |f(n+1)(ξ)| |x-x0|n+1/(n+1)! (con x0 fissato)
per cui 0 ≤h(x)=|f(x) -Tnf(x)| ≤ sup ξ in [a,b] |f(n+1)(ξ)| |x-x0|n+1/(n+1)! = g(x)
si ha
| ∫ab f(x) dx - ∫ab Tnf(x) dx | ≤ ∫ab |f(x) -Tnf(x)| dx
≤ ∫ab sup ξ in [a,b] |f(n+1)(ξ)| |x-x0|n+1/(n+1)! dx
Per trovare un polinomio che approssimi f(x)= exp{-x 2 /2} possiamo procedere come segue:
sappiamo che il polinomio di Taylor di f(t)= e-t di grado 1, per t0=0, è
T_1f(t)=1-t (in quanto f(0)= e-0=1 e f'(t)=-e-t e quindi f'(0)=-e-0=-1)
sappiamo che per t≥0 si ha,
|e-t -(1-t)| ≤ sup ξ in [0,t] |f''(ξ)| |t|1+1/(1+1)! = sup ξ in [0,t] |e-ξ| |t|2/2 = |t|2/2
Preso t=x2/2 possiamo affermare che
|e-x2/2 -(1-x2/2)| ≤ (x2/2)2/2 = x4/8
e quindi
| ∫-0.4 0.4 exp{-x 2 /2} dx -∫-0.4 0.4 (1-x2/2) dx|
= | 2 ∫0 0.4 exp{-x 2 /2} dx - 2 ∫0 0.4 (1-x2/2) dx |
= 2 | ∫0 0.4 exp{-x 2 /2} dx - ∫0 0.4 (1-x2/2) dx |
≤ 2 ∫0 0.4 |exp{-x 2 /2} dx - (1-x2/2)| dx
≤ 2 ∫0 0.4 x4/8 dx = (1/4) x5/5 |0 0.4
= (1/4) (4 * 10-1)5 /5 = 44 * 10-5 /5 = 256/5 * 10-5
= 51,2* 10-5= 5,12 * 10-4= 0,000512
e quindi possiamo affermare che
∫-0.4 0.4 exp{-x 2 /2} dx = ∫-0.4 0.4 (1-x2/2) dx ±5,12 * 10-4 =
=0,77866666666666666666666666666667 ±5,12 * 10-4 =
in quanto, abbiamo visto, possiamo calcolare l'integrale del polinomio approssimante.
ATTENZIONE per il diario delle lezioni dal 14 dicembre 2015 in poi vedere il prossimo argomento
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Si tratta del troncamento e dell'arrotondamento, dell'errore della somma, della differenza e del prodotto, manca il reciproco e il quoziente, argomenti relativi alle lezioni del 5 e 7 ottobre.
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Il file contiene alcuni appunti ed esempi sulle equazioni di secondo grado, sulle disequazioni di secondo grado e sulle disequazioni irrazionali
ATTENZIONE SI TRATTA DELLA CORREZIONE (spero definitiva) DEL FILE PRECEDENTE!!
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in questo file ci sono la discussione dei sistemi lineare di due equazioni in due incognite.
le matrici di due righe e due colonne e il loro determinante.
le coordinate polari
le trasformazioni lineari del piano in sé (associate a una matrice)
le due interpretazioni geometriche delle soluzioni dei sistemi in due equazioni e due incognite
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In questo file trovate la spiegazione della relazione tra determinate e area del parallelogramma e la soluzione del problema anche con i metodi classici.
ossia con il calolco della base e dell'altezza del parallelogramma (nel caso dell'esericizio proposto)
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Questo file contiene la discussione delle regole di derivazione, e delle derivate dellefunzioni esponenziali e delle funzioni logaritmiche, e delle funzioni trigonometriche cos(x), sin(x) e tan(x) e delle loro inverse arccos(x), arcsin(x) e tan(x).
Il file conitne anche una discussione della domanda D4 del foglio 5 dell'Eserciziario insieme a un'interessante variante la cui soluzione usa le derivate.
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Il file è una prima versione sulle regole di integrazione per parti e per sostituzione. Al momento c'è solo l'integrazione per parti, con esempi.
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lunedì 14 dicembre ore 15-17
Esempi di equazioni differenziali di primo e di secondo ordine.
ESEMPIO 0
Quando si calcola UNA PRIMITIVA (o l'integrale indefinito) di una funzione f(x) si cerca UNA FUNZIONE F(x) TALE CHE (o tutte le funzioni tali che) la sua derivata F'(x) sia uguale ad f(x): ossia F'(x)= f(x)
scrivendo y(x) invece di F(x) abbiamo quindi il primissimo esempio di equazione differenziale:
y'(x)=f(x)
di cui una primitiva F(x) è una soluzione e invece F(x)+C, al variare della costante C nei reali rappresenta l'insieme di tutte le soluzioni .
ESEMPIO 1
y'(x)=-2xy(x)
è un'equazione differenziale perché è un'equazione che coinvolge una funzione e le sue derivate
si dice del primo ordine, perché compare solo la derivata prima
A DIFFERENZA delle equazioni lineari (ad esempio) le soluzioni non sono numeri MA FUNZIONI!!
possiamo verificare che la funzione y(x)= e-x2
è soluzione dell'equazione y'(x)=-2xy(x),
infatti y(x)= e-x2 e quindi y'(x)= e-x2 (-2x) = y(x) (-2x) =-2x y(x)
SIMILMENTE anche tutte le funzioni
y(x)= C e-x2 , al variare di C nei numeri reali
sono soluzioni dell'equazione y'(x)=-2xy(x),
infatti y(x)= C e-x2 e quindi y'(x)= C e-x2 (-2x) = y(x) (-2x) =-2x y(x)
AFFERMAZIONE (senza dimostrazione):
Le funzioni y(x)= C e-x2 sono tutte e sole
le soluzioni dell'equazione differenziale y'(x)=-2xy(x),
La famiglia delle funzioni y(x)= C e-x2 , al variare di C nei reali, è detta soluzione generale dell'equazione y'(x)=-2xy(x),
ESEMPIO 2
y''(x) =-y(x)
Anche questa è un'equazione differenziale, ma del secondo ordine, perché vi compare la derivata seconda
anche
y''(x)+hy(x)+ky(x) =0 (con h e k NUMERI REALI)
è un'equazione differenziale del secondo ordine, perché vi compaiono le derivate fino all'ordine due.
Tornando all'esempio si verifica facilmente che y(x)= sin(x) è soluzione di y''(x)=-y(x),
INFATTI se y(x)= sin(x), allora y'(x)=cos(x) e quindi y''(x)= -sin(x) = - y(x)
ma anche y(x)=A sin(x) è soluzione, per ogni scelta di A nei numeri reali
ANALOGAMENTE
si verifica facilmente che y(x)= cos(x) è soluzione di y''(x)=-y(x),
INFATTI se y(x)= cos(x), allora y'(x)=-sin(x) e quindi y''(x)= -cos(x) = - y(x)
ma anche y(x)=B cos(x) è soluzione, per ogni scelta di B nei numeri reali
ED INFINE è facile verificare che y(x)=Asin(x)+Bcos(x) è soluzione, per ogni scelta di A e di B nei numeri reali
AFFERMAZIONE (senza dimostrazione)
tutte e sole le soluzioni dell'equazione y''(x)=-y(x),
sono del tipo y(x)=A sin(x)+Bcos(x), con A e B reali
La famiglia delle funzioni y(x)=A sin(x)+Bcos(x), al variare di A e B nei reali è detta soluzione generale dell'equazione y''(x)=-y(x).
Soluzione generale di un'equazione differenziale: è la famiglia di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale.
Come negli esempi precedenti dipende da una sola costante nel caso delle equazioni differenziali di primo grado
e dipende invece da due costanti nel caso delle equazioni differenziali di secondo grado.
ESEMPIO 3
Nell'ESEMPIO 0 abbiamo visto che le equazioni differenziali del in cui compare solo la derivata prima ma non la funzione stessa
ossia del tipo
y'(x) = f(x)
sono sostanzialmente lo stesso problema della ricerca delle funzioni primitive
Vediamo il caso in cui f(x)=3, e poi il caso in cui f(x)=K costante:
y'(x)= 3 ha come soluzioni y(x)=3x+C, C reale
più in generale
y'(x)= K ha come soluzione generale y(x)=Kx+C, con C reale
Analogamente
y'(x)= e3x, ha come soluzione generale y(x)= e3x/3 +C, con C reale
------------------
ESEMPIO 3 bis
anche le equazioni differenziali di secondo grado del tipo
y''(x)= f(x)
si risolvono con lo stesso metodo, ma ci vogliono DUE passaggi,
ad esempio, per ogni valore K fissato
y''(x)=K
possiamo affermare (integrando) che
y'(x) = K x + A, con A reale
e quindi (integrando una seconda volta)
y(x) = Kx2/2 + A x + B, con A e B reali
che rappresenta la soluzione generale dell'equazione differenziale di secondo grado y''(x)=K
IMPORTANZA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Le equazioni differenziali servono a descrivere l'evoluzione nel tempo di fenomeni naturali: ad esempio la caduta di un oggetto:
supponiamo di lasciar cadere in nell'istante 0 un oggetto di massa 1kg da un'altezza di 10 metri.
(trascurando la resistenza dell'aria) l'unica forza alla quale è sottoposto è la forza di gravità, quindi, per la legge di Newton,
posto y(t) il livello (rispetto al terreno) raggiunto dall'oggetto al tempo t si avrà che la sua accelerazione è pari alla costante g, ossia
y''(t)= - g, dove g=9,8m/s2
(la forza è diretta nel verso opposto dell'asse delle y)
quindi
y'(t)= -g t +C1, per qualche costante C1
e quindi
y(t)= - gt2/2 + C1 t+ C2, per qualche costante C1, e per qualche costante C2.
[SI NOTI che le dimensioni sono state omesse, ma dimensionalmente tutto funziona:
y(t) è misurata in metri, g in metri diviso secondi al quadrato, ma è motliplicata per t2, che si suppone misurato in secondi, e quindi si ottengono metri ]
Per determinare le due costanti C1 e C2 possiamo/dobbiamo imporre le condizioni
y(0)=10 e y'(0)=0 (abbiamo semplicemente lasciato cadere l'oggetto)
e quindi
10 = y(0)= - g02/2 + C1 0+ C2 =C2
da cui C2 =10
e
0=y'(0)= -g 0 +C1,= C1,
da cui C1=0
e la SOLUZIONE è QUINDI y(t)= - gt2/2+10
e in tal caso l'oggetto tocca terra nell'istante in cui y(t)=0 ossia per t tale che
0=y(0)=- gt2/2+10 cioè 10= g t2/2 ossia t2= 20/g = quindi t=(20/9,8)1/2 =1,43 secondi CIRCA
SE INVECE AVESSIMO LANCIATO (verso l'alto) L'OGGETTO IN VERTICALE CON UNA VELOCITA' di 3m/s allora avremmo dovuto imporre le condizioni
y(0)=10 e y'(0)=3
da cui avremmo ottenuto di nuovo
10 = y(0)= - g02/2 + C1 0+ C2 =C2 , da cui C2 =10
e
3=y'(0)= -g 0 +C1,= C1, da cui C1=3,
e quindi la SOLUZIONE sarebbe stata
y(t)= - gt2/2 + 3 t+ 10e in tal caso l'oggetto tocca terra nell'istante in cui y(t)=0 ossia per t tale che
0=y(0)=- gt2/2+3t+10 cioè g t2 -6t-20=0 ossia t1,t2 = [3± (9+20*9,8)1/2]/9,8 quindi
(ovviamente scegliamo la soluzione positiva)
t= [3+ (9+20*9,8)1/2]/9,8 =1,77 secondi CIRCA
(e quindi, come c'era da aspettarsi, ci mette più tempo rispetto al caso precedente)
Successioni numeriche: progressioni aritmetiche e progressioni geometriche.
Facciamo un passo indietro e vediamo come le successioni aritmentiche e quelle geometriche
possono essere pensare come MODELLI DI EVOLUZIONE, MA A TEMPO DISCRETO, ovvero
forma ricorsiva e interpretazione come equazioni alle differenze: analogia con il caso continuo
Richiamo:
una successione è una funzione dall'insieme dei numeri naturali a valore nell'insieme dei numeri reali
NOTAZIONE x( n) oppure xn
PROGRESSIONI ARITMETICHE
S( n) = S + n d, n = 0, 1, 2, ..., n, ....
PROGRESSIONI GEOMETRICHE
C( n) = C qn, n = 0, 1, 2, ..., n, .... (q diverso da 1)
STUDIO DELLE PROGRESSIONI ARITMETICHE
S( n) = S + n d, n = 0, 1, 2, ..., n, ....
ovvero
S(0)=S (primo termine della progressione aritmetica)
S(1)= S+d (secondo termine della progressione aritmetica)
S(2)= S+2d (terzo termine della progressione aritmetica)
S(3)= S+3d (quarto termine della progressione aritmetica)
e così via
S è detto primo termine della progressione aritmetica
d è detto RAGIONE o DIFFERENZA della progressione aritmetica
il motivo del nome differenza è facilmente spiegabile, infatti
d=S(1)-S(0)= S(2)-S(1)= S(3)-S(2)=.....= S( n)-S(n-1)
ANZI in effetti possiamo affermare che
S( n) =S + n d
è una soluzione dell'equazione alle differenze
x( n)-x(n-1)= d OVVERO EQUIVALENTEMENTE x( n)= x(n-1)+d
e che la soluzione generale della precedente equazione è
x( n) = n d +C
Infatti, posto C=x(0) si ha
x(0) = C,
x(1) = x(0) + d = C + d
x(2) = x(1) + d = [ x(0) + d ] + d = x(0) + 2 d = C + 2 d
x(3) = x(2) + d = [ x(0) + 2 d ] + d = x(0) + 3 d = C + 3 d
e così via
SI NOTI l'analogia della equazione alle differenze
x( n)-x(n-1)= d con soluzione generale x( n) = C + n d
con l'equazione differenziale y'(t) = K con soluzione generale y(t) = C + K t
UN ALTRO PROBLEMA interessante è trovare la formula della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
ossia della somma
S(0) + S(1) + S(2) + ...+ S(n-1) =
= S + (S + d) + (S + 2 d) + (S + 3d) + ... + (S + (n-1) d)
= S + S+ S + S+... + S + ( n addendi)
+ 0 +1 d + 2 d+ 3 d+ ... + (n-1) d = ( n addendi incluso lo zero)
= n S + d [1 + 2 + 3 + ... + (n-1) ] =
= n S + d (n-1) n/2
dove nell'ultima uguaglianza abbiamo usato la formula
1+2+...+m = m(m+1)/2
SI NOTI l'analogia con la formula:
∫0t( H+ K x) dx = H t + K t2/2
STUDIO DELLE PROGRESSIONI GEOMETRICHE
C( n) = C qn, n = 0, 1, 2, ..., n, .... (q diverso da 1)
si vede facilmente che C( n) è soluzione dell'equazione alle differenze
x ( n) - x( n-1) = (q -1) x( n-1)
OVVERO, EQUIVALENTEMENTE
x( n) = q x( n-1)
INFATTI
C( n) = C qn = C qn-1 q = C(n-1) q = q C( n-1)
D'altra parte si vede facilmente che, posto C=x(0), le soluzioni di
x( n) = q x( n-1)
è data da x(0) qn = C qn , infatti
x(0)= C
x(1)= q x(0) = q C = C q1 ,
x(2)= q x(1) = q C q1 = C q2 ,
x(3)= q x(2) = q C q2 = C q3 ,
e così via
SI NOTI l'analogia con l'equazione differenziale
y'(t)= a y(t) la cui soluzione generale è y(t)= C eat,
[come si verifica facilmente: (d/dt) y(t)= C a eat= a C eat= a y(t) ]
ALTRO PROBLEMA INTERESSANTE: calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica, ossia calcolare
C(0) + C(1) + C(2) + ... + C(n-1) =
= C + C q1 + C q2 + ...+ C qn-1 =
= C [ 1+ q1 + q2 + ...+ qn-1] =
= C [1- qn ]/(1-q) = C [qn -1]/(q-1) ATTENZIONE C'ERA UN ERRORE DI STAMPA!!!
(ovviamente la prima forma si usa per q<1 e la seconda per q >1,
di modo che il denominatore è sempre positivo)
dove l'ultima uguaglianza è dovuto al fatto che
1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 = [1- qn-1 ]/(1-q)
INFATTI
da una parte
1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 +qn = [1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] + qn
dall'altra parte1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 +qn = 1+ [q1 + q2 + ...+ qn-1 + qn ]=
= 1+ q [1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ]
QUINDI
[1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] + qn=1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 +qn =
= 1+ q [1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ]
OVVERO
[1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] + qn = 1+ q [1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ]
DA CUI,[1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] - q [1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] = 1 - qn
OVVERO
[1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 ] (1- q) = 1 - qn
e quindi, SE q è diverso da 1,
1+ q1 + q2 + ...+ qn-1 = [1 - qn]/(1-q)
mercoledì 16 dicembre ore 15-17
Dopo aver rivisto quanto fatto nella lezione di lunedì, abbiamo notato l'analogia della somma delle progressioni geometriche con l'integrale tra 0 e t della funzione
y(t)=C eat , soluzione dell'equazione y'(t)= a y(t)
infatti
una progressione geometrica x(n)=Cqn
è soluzione dell'equazione alle differenze
x( n)-x(n-1)= (q-1) x(n-1)
e
∑k=0n-1 C qk = C [ qn-1]/(q-1)
e
∫0t Ceaxdx= C eax|0t/a = C [eat-1]/a
L'analogia diviene più evidente quando si osserva che, per q>0,
posto q=ea, ossia a = ln(q)
si ha Cqk = C eak,
e quindi una progressione geometrica cresce esponenzialmente per q>1 e descresce esponenzialmente per 0<q<1
(quando q è negativa invece Cqk cambia segno a seconda se k è pari o dispari)
COMMENTO SUGLI ESERCIZI D13 e D14 del FOGLIO 8 dell'Eserciziario
D13 La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 6%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo
t = 0. La funzione che descrive l’andamento della concentrazione e’
13A C(t) = e−0,06t Risposta esatta.
13B C(t) = (1,06)t
13C C(t) = e−0,94t
13D C(t) = e−1,06t
13E C(t) = (−0,06)tD. 14 La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 6%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo
t = 0. La funzione che descrive l’andamento della concentrazione e’14A C(t) = (0,94)t Risposta esatta.
14B C(t) = (1,06)t
14C C(t) = e−0,94t
14D C(t) = e−1,06t
14E C(t) = (−0,06)t.A PRIMA VISTA SI RIMANE SCONCERTATI, ma c'è una spiegazione:
in realtà nell'equazione y'(t)=a y(t) il coefficiente a rappresenta il tasso di variazione a tempo continuo o anche tasso istantaneo di variazione
mentre nell'equazione x( n) - x(n-1)= (q-1) x(n-1) il coefficiente r = q-1 rappresenta il tasso di variazione a tempo discreto
si parla poi di tasso (istantaneo) di crescita se a >0 nel caso a tempo continuo
e di tasso di crescita a tempo discreto q-1>0 (ovvero se q>1) (ovviamente nel caso a tempo discreto)
e di tasso (istantaneo) di decrescita b, con b>0, se a=-b<0 , nel caso a tempo continuo
e di tasso di decrescita a tempo discreto p, con p>0 se -1<q-1<0 (ovvero se 0<q<1) , (ovviamente nel caso a tempo discreto)
Quindi D13 si riferisce al caso a tempo continuo, mentre D14 si riferisce al caso a tempo continuo.
TUTTAVIA ANCHE SE I TESTI DEGLI ESERCIZI NON SPECIFICANO se siamo a tempo continuo o a tempo discreto, va sottolineato che dalle risposte si capisce che l'unica risposta possibile è quella vicino alal quale c'è scritto risposta esatta:
esaminiamo l'esercizio D 13:
13A C(t) = e−0,06t PLAUSIBILE se si interpreta la frase diminuisce nell’unita’ di tempo del 6% come il tasso istantaneo di decrescita vale 0,06=6%
13B C(t) = (1,06)t va scartata perché (a tempo discreto) è una funzione crescente
13C C(t) = e−0,94t va scartata perché (a tempo continuo) è una funzione con tasso (istantaneo) di decrescita 0,94 e NON 0,06(=6%)
13D C(t) = e−1,06t va scartata perché (a tempo continuo) è una funzione con tasso (istantaneo) di decrescita 1,06 e NON 0,06(=6%)
13E C(t) = (−0,06)t va scartata perché (a tempo discreto) è una funzione che cambia segno e non avrebbe significato in questo contesto
esaminiamo l'esercizio D 14:
14A C(t) = (0,94)t PLAUSIBILE se si interpreta la frase diminuisce nell’unita’ di tempo del 6% come il tasso discreto di decrescita vale 0,06=6%
e quindi q-1=- 0,06 da cui q=1-0,06= 0,94
14B C(t) = (1,06)t va scartata perché (a tempo discreto) è una funzione crescente
14C C(t) = e−0,94t va scartata perché (a tempo continuo) è una funzione con tasso (istantaneo) di decrescita 0,94 e NON 0,06(=6%)
14D C(t) = e−1,06t va scartata perché (a tempo continuo) è una funzione con tasso (istantaneo) di decrescita 1,06 e NON 0,06(=6%)
14E C(t) = (−0,06)t. va scartata perché (a tempo discreto) è una funzione che cambia segno e non avrebbe significato in questo contesto
----------------------------------------------sono stati svolti diversi esercizi ed esempi: tra i quali DA FOGLIO 2 dell'Eserciziario
D7, D11, D27
in particolare per il D27: I primi tre termini di una progressione geometrica sono, nell’ordine, k-3, 2k-4, 4k-3.
La ragione della successione e’:
va usato il fatto che essendo C(0)=C, C(1)=C q, e C(2)= C q2,
il valore cercato q, ossia il valore della ragione della progressione geometrica, è uguale a
q= C(1)/C(0) , ma anche C(1)/C(0)
Dal testo sappiamo che C(0)=k-3, C(1)=2k-4, C(2)=4k-3 .
uguagliando C(1)/C(0) = C(2)/C(1) ossia (2k-4)/(k-3)= (4k-3)/(2k-4) si ottiene k=7 e quindi q= C(1)/C(0)=(2k-4)/(k-3) = 5/2
[SI CONSIGLIA DI CONTROLLARE SE LO STESSO RISULTATO VIENE PONENDO q=C(2)/C(1)= (4k-3)/(2k-4): se non venisse vorrebbe dire che abbiamo comemsso un qualche errore... ]
si consiglia di svolgere gli esercizi D12, D13, D17, D18, D19, D 20, D25, D31, D 32, D35, D 36, D37
giovedì 17 dicembre ore 13-15
ATTENZIONE QUESTA PARTE COMPRENDE ANCHE ARGOMENTI NON ANCORA SVOLTI
ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
1) Equazione differenziale del tipo dy/dx= k y/x
con soluzione generale y(x)=Cxk: soluzione per verifica
INFATTI y'(x)=C k xk-1 = k C xk/x = k y(x)/x.
2) Equazione differenziale del tipo dy/dx= a y(1-y) , con a>0 e con la richiesta che 0<y<1,
con soluzione generale y(x)=1/(1+Ce-ax): soluzione per verifica, solo per C>0
(così la funzione y(x) è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 )
INFATTI, ricordando che (d/dx)[1/f(x)]= - f'(x)/f2(x)y'(x)= - [ C e-ax (-a) ]/ [ 1+ C e-ax ]2= ( 1/[ 1+ C e-ax ] ) ([ a C e-ax ] /[ 1+ C e-ax ] )
= y(x) a (1-y(x) ) = a y(x) (1-y(x) )
in quanto a(1-y(x))= a (1- 1 /[1+ C e-ax ] ) = a ( [1+ C e-ax -1] /[1+ C e-ax ] )= a C e-ax /[1+ C e-ax ]
Studio delle soluzioni y(x)=1/(1+Ce-ax) al variare di C>0, ossia
a) la funzione è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 per ogni x
b) la funzione è crescente su tutto R, infatti
y'(x)= a y(x) (1-y(x) ) >0 [in quanto a>0, y(x)>0 e 1-y(x)>0]
c) COMPORTAMENTO AI BORDI
limx→+∞ y(x)= limx→+∞ 1/[1+ C e-ax ] =1/[1+0]=1
limx→-∞y(x)= limx→-∞ 1/[1+ C e-ax ] (=1/[1+∞] )=0
d) PUNTI DI FLESSO, CONCAVITA' e CONVESSITA'
per trovare i punti di flesso e studiare la concavità e la convessità di y(x) bisogna calcolare la derivata seconda e studiarne il segno,
ma invece di calcolarla esplicitamente utilizziamo l'equazione differenziale che la funzione y(x) soddisfa, come illustrato qui sotto:
y''(x)= (d/dx) y'(x) = (d/dx) a y(x) (1-y(x) ) = a(d/dx)[ y(x) - y2(x) ]= a [y'(x)-2y(x)y'(x) ]= a y'(x) [1-2y(x)]
ora si vede immediatamente che essendo a> e y'(x)>0 [come visto nel punto b)]
y''(x) >0 se e solo se 1-2y(x) >0 ossia la funzione è convessa se e solo se y(x)<1/2, è concava se e solo se y(x) >1/2 ed ha un flesso se e solo se y(x)=1/2
INFINE a soluzione di y(x)=1/2 equivale a trovare x tale che
1/[1+ C e-ax ] =1/2 cioè 1+ C e-ax = 2 cioè C e-ax = 1
cioè (moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per eax )
C = eax, ed infine si ottiene che l'unico punto di flesso è
x=ln(C)/2
ATTENZIONE y(x)=1/(1+Ceax) è soluzione dell'equazione dy/dx= - a y(1-y)
Enunciato (parziale) del Teorema di Cauchy sull'esistenza e unicità delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale y'(x) = Φ(x,y(x)) con condizione iniziale y(x0)=y0.
SOTTO OPPORTUNE CONDIZIONI sulla funzione Φ(x,y), esiste ed è unica la soluzione di y'=Φ(x,y) con condizione iniziale y(x0)=y0.
METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 1:
data una soluzione generale, che dipende da una costante C (o meglio da un parametro C) ,
si deve imporre la condizione che y(x0)=y0, e trovare il valore C:
il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola soluzione.
ESEMPIO la soluzione di y'(x)= 3 y(x) (1-y(x) ) con y(1)=3/4 è quella funzioney(x)= 1/[1+ C e-3x ] tale che y(1)= 1/[1+ C e-3 ] =3/4 ossia 1+ C e-3= 4/3, ossia C=e3/3, e la soluzione cercata è
y(x)= 1/[1+ (e3/3) e-3x ]= 3/[3+ e-3(x-1) ]
METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 2:
ossia del problema del tipo y''(x)=Φ(x,y(x), y'(x)) con condizioni iniziali y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0.
Data una soluzione generale, che dipende da due costanti A e B, imporre le condizioni che y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0, e trovare i valori A e B:
il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola coppia (A,B) che individua la soluzione cercata.
Nel libro si accenna al caso in cui invece delle condizioni del tipo y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0, si richiedono condizioni del tipo y(x0)=y0 e y(x1)=y1.
In questo caso PUO' SUCCEDERE che ci sia una sola soluzione, oppure nessuna o infinite.
Come esempio abbiamo visto il caso dell'equazione del tipo
y''(x)=- k y(x) con k>0
la cui soluzione generale è
y(x)= A sin (√k x) + B cos (√k x).
Considerando che
y'(x)= A cos (√k x) √k - B sin (√k x) √k .
e che quindi
y(x0)= A sin (√k x0) + B cos (√k x0),
e
y'(x0)= A cos (√k x0) √k - B sin (√k x0) √k,
imporre la condizione y(x0)=y0 e y'(x0)=y'0,
significa risolvere il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite A e B
A sin (√k x0) + B cos (√k x0)=y0,
A cos (√k x0) √k - B sin (√k x0) √k= y'0,
la cui matrice è
sin (√k x0) cos (√k x0)
cos (√k x0) √k - sin (√k x0) √k
con determinante
- sin2(√k x0) √k - cos2(√k x0) √k= - √k ( sin2(√k x0) + cos2(√k x0) ) = - √k ≠ 0
e quindi esiste sempre una e una sola soluzione (come del resto ci garantisce il teorema di Cauchy)
INVECE se proviamo ad imporre le condizioni "al bordo" del tipo y(x0)=y0 e y(x1)=y1, otteniamo il sistema
A sin (√k x0) + B cos (√k x0) = y0,
A sin (√k x1) + B cos (√k x1) = y1,
la cui matrice è
sin (√k x0) cos (√k x0)
sin (√k x1) cos (√k x1)
con determinante
sin(√k x0) cos (√k x1) - cos(√k x0) sin (√k x1) = sin(√k x0- √k x1)
che può essere nullo o non a seconda dei valori di √k, x0 e x1
e quindi NON E' DETTO CHE abbia una e una sola soluzione, ossia ce ne è una e una sola se sin(√k x0- √k x1) ≠ 0,
mentre se sin(√k x0- √k x1) = 0 potrebbe non avere soluzione o invece potrebbe accadere che ne abbia infinite (dipende dai valori di y0 e y1)
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l'equazione y'(t)=ay(t) ha soluzione generale y(t)=C eat, se si impone la condizione iniziale y(t0)=y0, si ottiene che
y(t0)=C eat0, da cui y0 =C eat0,
ovvero
C= y0 e-at0,
ed in definitva
y(t)=y0 e-at0 eat = y0 ea(t-t0),
ESERCIZIO D. 34 del FOGLIO 2 ricordando che l'equazione del decadimento radiottivo
è del tipo y'(t)=-λy(t) (con λ>0) per cui la soluzione è
y(t)=C e-λt, (dove C= y(0)) e quindi il tempo di dimezzamento si può trovare come il tempo T tale che
y(T)=y(0)/2 cioè tale che
C e-λT = C/2 OVVERO e-λT = 1/2 OVVERO eλT = 2 da cui λT=log(2) e quindi
se λ è noto possiamo trovare T [= log(2)/λ] e viceversa se T è noto possiamo trovare λ [= log(2)/T]
OSSERVAZIONE/ suggerimento: per risolvere l'esercizio può essere anche utile osservare che
il tempo S in cui la sostanza diventa un quarto rispetto al valore iniziale è invece tale che
C e-λS = C/4 OVVERO e-λS = 1/4 OVVERO eλS = 4 da cui λS=log(4)= 2 log(2) e quindi S=2T
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METODI DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
1) Equazioni differenziali a variabili separabili OSSIA del tipo
y'(x)= g(x) h( y)
Per la spiegazione di questo metodo bisogna ricordare la nozione di differenziale di una funzione f(x) e riscritto il metodo di integrazione per sostituzione con l'uso dei differenziali.
(TRA L'ALTRO QUESTO FATTO SPIEGA IL NOME DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI)
DEFINIZIONE Data una funzione derivabile f(x), con derivata continua, si chiama differenziale di f(x) l'espressione df(x)= f'(x)dx
SIGNIFICATO GEOMETRICO del differenziale: fissato x0, l'equazione della retta tangente in x0, è y(x)-f(x0)=f'(x0) (x-x0), ovvero
y(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0)
ed in particolare y(x0)=f(x0). Se consideriamo la differenza della retta tangente nei punti x0+Δx e x0, ossia y(x0+Δx) -y(x0), si ha che
y(x0+Δx) -y(x0) = f(x0) + f'(x0) (x0+Δx-x0) - f(x0) = f'(x0) Δx
Prendendo un x generico al posto di x0 e dx al posto di Δx otteniamo che
y(x +dx) -y(x) = f'(x) dx = df(x)
e QUINDI il significato geometrico del differenziale come incremento della retta tangente nell'intervallo di estremi x e x+dx
Questa notazione permette di riscrivere la regola di integrazione per sostituzione in modo più " accattivante"
Supponiamo che ∫ φ(x) dx = Φ(x) +C
(ma possiamo anche scrivere ∫ φ(t) dx = Φ(t) +C )
e che f(x) sia una funzione derivabile, con derivata continua, allora sappiamo che
∫ φ(f(x)) f'(x)dx = Φ(f(x)) +C = Φ(t)| t=f(x) +C
ora, usando il differenziale possiamo riscrivere questa formula come
∫ φ(f(x)) f'(x)dx = ∫ φ(f(x)) df(x) = ∫ φ(f) df | f=f(x) .
QUESTO MODO DI SCRIVERE CI SARA' UTILE PER SCRIVERE PIU' SEMPICEMENTE il METODO DI SOLUZIONE PER LE EQUAZIONE A VARIABILI SEPARABILI.
INFATTI un'equazione del tipo
y'(x)= g(x) h( y(x) )
equivale a y'(x) dx = g(x) h( y(x)) dx ovvero a [y'(x) dx]/ h( y(x)) = g(x) dx
e quindi i due integrali indefiniti sono uguali ossia
∫ [1/ h( y(x))] y'(x) dx = ∫ g(x) dx che possiamo esprimere anche come
∫ [1/ h( y(x))] dy(x) = ∫ g(x) dx
o brevemente come
∫ [1/ h( y)] dy | y=y(x)= ∫ g(x) dx
di conseguenza, posto H(t) una primitiva di 1/h(t) e G(x) una primitiva di g(x) si ottiene
H(y(x))= G(x) + C
e SE LA FUNZIONE H è INVERTIBILE
per ottenere la funzione y(x) basta applicare a entrambi i membri della precedente uguaglianza la funzione H-1
ottenendo così la soluzione generale dell'equazione differenziale
y(x)= H-1 ( H(y(x)) ) = H-1( G(x) + C )
ESEMPIO
1) calcolo della soluzione dell'equazione dy/dx= k y/x (per x>0) che è a variabili separabili:
dy/y=kdx/x da cui ∫ [1/ y(x)] dy(x) = ∫ k [1/x] dx ovvero log(|y(x)|) = k log(x)+c ovvero |y(x)|=xk ec
a questo punto possiamo osservale che |y(x)| è sempre diverso da zero e quindi la soluzione non può cambiare segno
e quindi la solzuione generale è y(x)=C xk , (per x>0) dove C= + ec , oppure C= -ec , a seconda del segno di y.
Per calcolare la soluzione del problema di Cauchy si può procedere come al solito: data la soluzione generale del problema si impone la condizione iniziale
2) Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti non costanti ossia del tipo
a(x)y'(x) + b(x) y(x) + c(x) = 0
con a(x)≠0 (ALTRIMENTI NON è un'equazione differenziale)
e quindi equivalente a
y'(x) + [b(x)/a(x)] y(x) + [c(x)/a(x)] = 0
cioè, posto B(x)=b(x)/a(x) e C(x)=c(x)/a(x), equivalente a
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0
(a) CASO OMOGENEO (cioè C(x)=0) e quindi a variabili separabili
(b) CASO GENERALE (cioè C(x) non necessariamente nullo) con il metodo della variazione delle costanti (ideato da Lagrange)
Il metodo è spiegato sul libro
(a) CASO OMOGENEO (cioè C(x)=0) e quindi a variabili separabili
l'equazione omogenea è y'(x) + B(x) y(x) = 0
che è a variabili separabili ossia y'(x)/y(x)=-B(x) che equivale a
dy/y=-B(x)dx cioè ∫dy/y = - ∫B(x)dx
e quindi, se FB(x) è una primitiva di B(x), cioè (d/dx)FB(x)=B(x),
ln|y(x)| = - FB(x) +c
(equivalentemente, come sul libro, si scrive anche ln|y(x)| = - ∫B(x)dx +c )
da cui, posto C=ec, (e quindi C>0)
|y(x)| = eln|y(x)| = e- FB(x) +c= C e- FB(x)
(o anche, come sul libro, |y(x)| = C e- ∫B(x)dx )
ora ci accorgiamo che si può tolgiere il valore assoluto e si ottiene che la soluzione generale è
y(x) = C e- FB(x) (o anche y(x)= C e- ∫B(x)dx ),
con C che può assumere un qualunque valore reale (senza la restrizione che C>0)
venerdì 18 dicembre ore 11-13 NON C'E' L'AULA
lunedì 21 dicembre ore 15-17
Equazione lineare del primo ordine non omogenea
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0
dopo aver ricordato come si trova la soluzione nel caso C(x)=0, abbiamo visto
(b) CASO GENERALE (cioè C(x) non necessariamente nullo) con il metodo della variazione delle costanti (ideato da Lagrange)
Ora si cerca la soluzione dell'equazione differenziale non omogenea
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0 o equivalentemente y'(x) = - B(x) y(x) - C(x)
del tipo y(x)=u(x) e- FB(x)cioè:
al posto della costante C si mette una funzione u(x) che "varia al variare di x"
da questa osservazione il nome di metodo della variazione delle costanti (o della costante)
y'(x) = (d/dx)[u(x) e- FB(x) ] = u'(x) e- FB(x) + u(x) e- FB(x) (-B(x))
= u'(x) e- FB(x) -B(x) u(x) e- FB(x) = u'(x) e- FB(x) -B(x) y(x)
e quindi la funzione y(x)=u(x) e- FB(x) è soluzione dell'equazione y'(x) = - B(x) y(x) - C(x) se e solo se
u'(x) e- FB(x) - B(x) y(x) = - B(x) y(x) - C(x)
ossia se e solo se
u'(x) e- FB(x) = - C(x) cioè u'(x) = - C(x) e FB(x)
che equivale a chiedere che
u(x)= - ∫ C(x) e FB(x) dx = L(x)+C dove L(x) è una primitiva di C(x) e FB(x) .
In definitiva la soluzione dell'equazione lineare non omogenea
y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0
è data da
y(x) = - (∫ C(x) e FB(x) dx ) e- FB(x) = (-L(x) +C) e- FB(x)
ovvero, come sul libro,
>y(x) = - e- ∫B(x) dx (∫ C(x) e ∫B(x) dx + K)
ESEMPIO equazione differenziale y'=A(M-y)
OMOGENEA y' = -Ay la cui soluzione è yo(x) = C e-Ax
(il sottoindice ci ricorda che è la soluzione dell'equazione differenziale omogenea)
cerchiamo la soluzione di y'=AM-Ay del tipo
y(x) = u(x) e-Ax
da cui
y'(x) = (d/dx)[ u(x) e-Ax ] =
= u'(x) e-Ax + u(x) e-Ax (-A) =
= u'(x) e-Ax -A u(x) e-Ax
= u'(x) e-Ax - Ay(x)
= MA - Ay(x)
se e solo se
u'(x) e-Ax = MA
cioè (moltiplicando per eAx ambo i membri dell'uguaglianza)
u'(x) e-Ax eAx = MA eAx , ossia u'(x) = MA eAx = M (d/dx)[eAx]
da cui u(x)= M eAx+ C
e quindi la soluzione dell'equazione non omogenea
y'=AM-Ay è y(x)= u(x)e-Ax = (M eAx+ C)e-Ax = M + Ce-Ax
Esempio di come ricavare un'equazione differenziale:
La legge del raffreddamento di NEWTON afferma che la velocità di raffreddamento di un corpo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l'ambiente.
Se la temperatura dell'ambiente è costante e vale M e β è la costante di proporzionalità,
posto y(t) la temperatura del corpo al tempo t
scrivere l'equazione differenziale che soddisfa la funzione temperatura del corpo.
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La velocità di raffreddamento è la derivata di y(t): il rapporto [y(t+Δ)-y(t)]/Δ rappresenta la velocità media di raffreddamento nell'intervallo [t, t+Δ] e quindi, mandando Δ a zero si ottiene la derivata y'(t).La differenza tra temperatura del corpo e temperatura dell'ambiente è y(t)-M
e quindi la legge di Newton ci assicura che,
y'(t) = β (y(t)-M) che è del tipo y'=A(M-y) con A=-β.
La soluzione generale è quindi y(t)= M + Ce-At = M + Ceβt
Supponiamo ora che la temperatura iniziale sia y(0)=M+2 (>M) e troviamo la soluzione particolare:
basta imporre y(0)=M+Ceβ0 = M+C = M+2, cioè C=2
da cui la soluzione particolare è
y(t)=M +2 eβt
OSSERVANDO che a seconda del segno di β si ha un comportamento diverso per t che tende all'infinito, ossia
SE β>0 ALLORA lim t→+∞ y(t)=lim t→+∞M +2 eβt = +∞
SE β=0 ALLORA y(t)= M +2 e0t = M+2
SE β<0 ALLORA lim t→+∞ y(t)=lim t→+∞M +2 eβt = M
capiamo che il valore di β deve essere negativo: ci aspettiamo che se mettiamo un corpo in un ambiente a temperatura costante M, dopo un certo tempo anche la temperatura del corpo sarà M (ovvero talemente vicina a M da essere indistinguibile da M)
ALTRO ESERCIZIO SVOLTO vedere
D40 FOGLIO RA2. in
RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI
QUI RIPORTO SOLO IL TESTO
In un lago di pesca sportiva i pesci si riproducono ad un tasso del 3% alla settimana. Ogni settimana vengono pescati 36 kg di pesce. Si supponga che al
tempo t=0 ci siano 200 kg di pesce nel lago. Si scriva l’equazione differenziale che descrive il problema.Qual e’ il valore di stabilita’? (sarebbe MEGLIO dire di EQUILIBRIO)
Si descriva l’andamento delle funzione che risolve il problema.
La quantita’ di pesci nel lago aumenta o diminuisce?
Se aumenta, dopo quanto tempo raddoppia?Se diminuisce, dopo quanto tempo il lago e’ vuoto?
(vedere RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI , dove si trova che la soluzione generale è x(t)= C eHt - (K/H)
ma se si richiede che x(0)=x allora la soluzione del problema di Cauchy è x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)
si tratta della soluzione dell'equazione generale di un'equazione differenziale lineare del primo orfdine nel caso in cui B(x)=-H e C(x)=-K
IMPORTANTE: LA SPIEGAZIONE di cosa significa valore di equilibrio nel caso di un'equazione del tipo x'(t)=Hx(t)+K ( con H diverso da 0).
Sia α tale che H α +K = 0 ossia α = -K/H
allora la funzione costante x(t) = α = -K/H è soluzione dell'equazione x'(t)=Hx(t)+K
infatti chiaramente si ha
da una parte che x'(t)=0 in quanto x(t) è costante
e dall'altra H x(t)+K = H α + K= 0
e quindi banalmente vale x'(t)=Hx(t)+K ( entrambi i membri sono nulli)
QUESTO SIGNIFICA CHE L'UNICA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE x'(t)=Hx(t)+K con dato iniziale x(0) = α è la soluzione costante x(t)=α
(l'unicità è data dal teorema di Cauchy)
in altre parole, (pensando a x(t) come al moto di un punto) se inizialmente il punto è nella posizione α di equilibrio, allroa il punto non si sposta.
Per parlare di stabilità bisognerebbe controllare SE x(t) tende al valore α per t che tende ad infinito.
QUESTO E' IL CASO DELL'ESERCIZIO D. 45 del Foglio 8:
Ad un paziente vengono somministrati 4 mg di un certo farmaco. Il tasso di smaltimento del farmaco
e’ dell’ 80% al giorno. Dopo il primo giorno, viene giornalmente somministrata una nuova dose Q = 2 mg.La funzione che descrive lo smaltimento del farmaco nel tempo ha un andamento
decrescente e tendente all’asintoto orizzontale y = 2,5
Infatti, nell'ipotesi che
(i) il farmaco venga somministrato per via endovenosa tramite una flebo, durante tutto la giornata,
e
(ii) che il tempo sia misurato in giorni, e la quantità di farmaco in mg
1) l'equazione differenziale è
y'(t)= -80/100 y(t)+ 2, y(0)= 4
2) ricordando che la soluzione di x'(t)=H x(t)+K, x(0)=x è data da x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H),
la soluzione particolare cercata vale
y(t)= [4 + 2/(-8/10)] e-0.8 t - 2/(-8/10) = [4 - 20/8] e-0.8 t + 20/8 = [4 - 2,5] e-0.8 t + 2,5 = 1,5 e-0.8 t + 2,5
e quindi
la soluzione è una funzione decrescente e tende a 2,5 per t che tende a + infinito.
OSSERVAZIONE:
se invece il farmaco fosse iniettato tutto insieme ogni mattina alla stessa ora (ad esempio con un'inezione endovenosa) allora
l'andamento sarebbe invece del tipo
y'(t) = -80/100 y(t), per t in [0,1) con y(0)= 4 per cui per t in [0,1) si avrebbe y(t)= 4 e-0.8 t
ed in particolare si avrebbe che poco prima della successiva iniezione il valore sarebbe lim t→1- 4e-0.8 t = 4 e-0.8
nell'istante 1 (subito dopo l'iniezione di 2 mg del farmaco) si avrebbe invece una situazione più complessa
PER DARE UN'IDEA
y(1)= 4 e-0.8 +2 , y'(t) = -80/100 y(t), per t in [1,2) e quindi la soluzione sarebbe invece
y(t)= y(1) e-0.8 (t-1) ,
e quindi lim t→2- y(t)= lim t→1- y(1)e-0.8 (t-1) =(4 e-0.8 +2) e-0.8 (2-1) = 4 e-(0.8) 2 + 2e-0.8
e quindi
al tempo t=2 (subito dopo l'iniezione di 2 mg del farmaco)
y(2) = 4 e-(0.8) 2 + 2e-0.8 +2, y'(t) = -80/100 y(t), per t in [2,3)
e così via
è chiaro che il caso del farmaco somministrato con la flebo è più semplice da analizzare.
-------------------------
LE EQUAZIONI DI BERNOULLI (non sono state analizzate)
--------------------EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI E OMOGENEE
sono equazioni del tipo
y''(x)+b y'(x) + cy(x)=0
Abbiamo controllato alcuni casi particolari in una lezione precedente:
per risolovere questa equazione si procede come segue
si considera il polinomio caratteristico associato, ossia il polinomio λ2+bλ+c
e si studia l'equazione di secondo grado
λ2+bλ+c=0
(detta equazione caratteristica)
Ci possono essere tre casi
1) esistono DUE SOLUZIONI di λ2+bλ+c=0, m1 ed m2 DISTINTE (o equivalentemente il discriminante Δ=b2-4c>0 ed m1, m2= -(b/2)± (√Δ)/2
e allora la soluzione generale è
y(x) = A em1x+B em2x.
2) le due soluzioni di λ2+bλ+c=0 COINCIDONO ossia m1 = m2 = m (= - b/2) (o equivalentemente il discriminante Δ=b2-4c=0)
allora la soluzione generale è
y(x)= A em x+B x em x.
3) il discriminante Δ=b2-4c<0
(o equivalentemente, MA SOLO PER COLORO CHE CONOSCONO I NUMERI COMPLESSI, le soluzioni di λ2+bλ+c=0 sono complesse e coniugate e valgono -(b/2)± i (√|Δ|)/2, dove i è l'unità immaginaria)
allora la soluzione generale è
y(x)= ep x [A sin(q x) +B cos(q x) ],
dove p=-b/2 e q=(√|Δ|)/2.
ESEMPI
1) y''(x)-y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2-1=0, cioè m1 =-1 ed m2=+1
e quindi la soluzione generale è
y(x)= A e-x+B e+ x.
2) y''(x)-2y'(x)+y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2-2 λ +1=0, cioè (λ-1)2=0 e quindi m1 =m2=+1
e quindi la soluzione generale è
y(x)= A e x+B x e x.
3) y''(x)+y(x)=0
qui il polinomio caratteristico è λ2+1=0, cioè il discriminante è negativo e vale
Δ=b2-4c= 0-4 allora p=-(b/2)=0 e q=(√|Δ|)/2= (√4)/2)=1,
e quindi (poiché e0x=1) la soluzione generale è
y(x) = A sin(x) +B cos(x)
-------------------OSSERVAZIONE: per verificare che le funzioni trovate sono soluzioni, basta verificare che, ad esempio, nel caso 1),
SEPARATEMENTE che em1x è soluzione dell'equazione y''+by'+cy=0 e che em2x è soluzione dell'equazione y''+by'+cy=0
LA VERIFICA E' LASCIATA PER ESERCIZIO, ma ne riportiamo una qui alcune verifiche (NON SVOLTE A LEZIONE): supponiamo che
1) ci siano DUE SOLUZIONI di λ2+bλ+c=0, m1 ed m2 DISTINTE, ossia λ2+bλ+c=(λ-m1)(λ-m2)
allora
posto y1(x)=em1x si ha (y1)'(x)=m1em1x = m1 y1(x) e (y1)''(x)=(m1)2em1x =(m1)2 y1(x)
e quindi
y1''(x)+by1'(x)+cy1(x) = (m1)2 y1(x) + bm1 y1(x) + c y1(x)= y1(x) [ (m1)2 + bm1 + c ]=0
Lo stesso vale per m2.
Se invece
le due soluzioni di λ2+bλ+c=0 COINCIDONO ossia m1 = m2 = m (= - b/2) ovvero λ2+bλ+c=(λ-m)2=λ2-2mλ+m2
ovvero c= b2/4allora controlliamo che y(x)=x emx è soluzione (CHE LO SIA y(x)=emx è la stessa verifica del punto precedente)
e infatti
y'(x)= emx + xmemx = (1 +m x) emx
y''(x)= memx + memx + xm2emx = 2 memx + xm2emx = (2 m + xm2)emx
da cui
y''(x)-2m y'(x)+m2y(x)= (2 m + xm2)emx -2m (1 +m x) emx +m2 x emx
= emx [2 m + xm2 - 2m (1 +m x) + m2 x ] = emx [2 m + xm2 - 2m - 2m2 x + m2 x ] = emx 0=0
MOTIVO PER CUI BASTA FARE LA VERIFICA UNA SOLUZIONE PER VOLTA
INFATTI se y1(x) è soluzione ossia se (y1)''(x)+b(y1)'(x)+cy1(x)=0 allora banalmente anche Ay1(x) è soluzione
in quanto (Ay1)'=A (y1)', e (Ay1)''=A (y1)'' e quindi (Ay1)''(x)+b(Ay1)'(x)+cAy1(x)=A[(y1)''(x)+b(y1)'(x)+cy1(x)]=0
e se y2(x) è soluzione ossia se (y2)''(x)+b(y2)'(x)+cy2(x)=0
allora anche y1(x)+y2(x) è soluzione
in quanto (y1+y2)'= (y1)'+(y2)' e (y1+y2)''= (y1)''+(y2)''
e quindi
(y1+y2)''(x)+b(y1+y2)'(x)+c(y1+y2)(x)= (y1)''(x)+b(y1)'(x)+cy1(x)+ (y2)''(x)+b(y2)'(x)+cy2(x)=0+0=0
mercoledì 23 dicembre ore 15-17 vacanza
(le lezioni riprendono giovedì 7 gennaio 2016 BUON NATALE (vedete l'ESERCIZIO di BUON NATALE matematico) e BUON ANNO!)
giovedì 7 gennaio 2016 ore 15-17Funzioni di due variabili U(x,y), derivate parziali, differenziale di una funzione di due variabili, integrale di linea di una forma differenziale,
forme differenziali esatte, integrale di linea di una forma differenziale esatta, collegamento con alcuni tipi di equazioni differenziali.
Per questa parte si veda il diario delle lezioni dello scorso anno (è stato aggiornato e corretto di piccole sviste)
alla data
venerdì 9 gennaio 2015 Cenno alle funzioni di due variabili, e ai differenziali
Uniche differenze:
Abbiamo risolto i problemi
D45 del Foglio 7
e
D7 del Foglio 8
Inoltre, come giustificazione della CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHE' UNA FORMA DIFFERENZIALE SIA ESATTA:
SE ESISTONO LA DERIVATA PARZIALE di F1(x,y) rispetto ad y e LA DERIVATA PARZIALE di F2(x,y) rispetto ad x e sono uguali e continue, cioè
(∂/∂y)F1(x,y)=(∂/∂x)F2(x,y)
allora la forma differenziale F1(x,y) dx + F2(x,y) dy è esatta,
ossia
allora ESISTE UNA FUNZIONE U(x,y) tale che
F1(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F2(x,y)=(∂/∂y)U(x,y).
abbiamo visto in un esempio che, tale condizione è ALMENO necessaria, (almeno nel caso in cui U(x,y) sia di tipo polinomiale):
(NON ABBIAMO DIMOSTRATO CHE E' SUFFICIENTE, però)
data la funzione
U(x,y)=3x2+5x2y+2y2,
abbiamo calcolato le derivate parziali
(∂/∂x)U(x,y) = 6x+10xy ,
(∂/∂y)U(x,y) = 5x2 + 4y,
e le derivate parziali di secondo ordine
ossia
derivata seconda parziale rispetto ad x
(∂2/∂2x)U(x,y) = (∂/∂x)[(∂/∂x)U(x,y) ] = (∂/∂x)[6x+10xy ] = 6 + 10y,
derivata seconda parziale rispetto ad y
(∂2/∂2y)U(x,y) = (∂/∂y)[(∂/∂y)U(x,y) ] = (∂/∂y)[5x2 + 4y]=4
derivata seconda parziale mista rispetto prima ad x e poi rispetto ad y
(∂2/∂y∂x)U(x,y) =(∂/∂y) [(∂/∂x)U(x,y)]=(∂/∂y)[6x+10xy ] = 10 x
derivata seconda parziale mista rispetto prima ad y e poi rispetto ad y
(∂2/∂x∂y)U(x,y) =(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]=(∂/∂x)[ 5x2 + 4y] = 10 x
e abbiamo notato che le derivate parziali miste coincidono:
quindi se
ESISTE UNA FUNZIONE U(x,y) tale che
F1(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F2(x,y)=(∂/∂y)U(x,y).
allora(∂/∂y) F1(x,y)=(∂/∂y)[(∂/∂x)U(x,y)] e (∂/∂x) F2(x,y)=(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]
e quindi
(∂/∂y) F1(x,y)=(∂/∂y)[(∂/∂x)U(x,y)]=(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]=(∂/∂x) F2(x,y)
venerdì 8 gennaio ore 11-13 ??? NON C'E' L'AULAlunedì 11 gennaio 2016 ore 15-17
Distinzione tra Statistica descrittiva, Statistica inferenziale e Probabilità
Esempio del lancio dei dadi (vedere il file lancio di dadi (serie da 36 ciascuno) )
sono stati esaminati gli esempi e le definzioni di Statistica descrittiva contenute in
http://www-dimat.unipv.it/
atorre/CTF2011-12/ Statistica01.pdf
ed in particolare gli istogrammi, i grafici a torta, le frequenze assolute, le frequenze relative,
le frequenze assolute cumulate e le frequenze relative cumulate.
Nel caso di DATI QUANTITATIVI sonos tati introdotti alcuni indici:
valore centrato, media aritmetica, mediana,
e un cenno alla media geometrica, il cui logaritmo è la media aritmetica dei logaritmi dei dati osservati
UNICA OSSERVAZIONE (nel caso di dati quantitativi):
A DIFFERENZA DELLE SLIDE della Prof. Anna Torre
gli n dati osservati sono stati denotati con
ξ1,ξ2,ξ3,..., ξn-1,ξn ,
gli n dati osservati messi in ordine crescente sono stati denotati con
ξ(1),ξ(2),ξ(3),..., ξ(n-1),ξ( n),
l'insieme degli m valori assunti è stato denotato con
{x1, x2,x3,..., xm-1,xm,}
f1, f2, f3,..., fm-1, fm, sono le frequenze assolute di x1, x2,x3,..., xm-1,xm, ossia fi = #{j ≤ n, tali che ξj=xi}
ESEMPIO osservo i pesi di 11 persone:
ξ1,ξ2,ξ3,..., ξ10,ξ11, è 59, 73, 63,71, 59, 65, 63, 59, 73, 65, 59
ξ(1),ξ(2),ξ(3),..., ξ(10),ξ(11), è invece 59, 59, 59, 59, 63,63,65,65, 71, 73, 73
{x1, x2,x3,..., xm-1,xm,} è invece {x1, x2,x3, x4,x5,}= {59, 63,65, 71, 73}
f1, f2, f3,..., fm-1, fm, è f1=4, f2=2, f3=2, f3=1, f5=2
il valore centrale è quindi (xmin+xmax)/2 = (59+73)//2=66
la mediana è ξ(n+1/2), e quindi nell'esempio ξ(6), ossia 63
la media aritmetica è
x =(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξn-1+ξn)/n e quindi nell'esempio(59 + 73 + 63 + 71 + 59 + 65 + 63 + 59 + 73 + 65+ 59)/11
la media aritmetica è x=(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξn-1+ξn)/n ma coincide con la media pesata
x=(x1f1+x2f2+x3f3+...+xm-1fm-1+xmfm)/n =x1(f1/n)+x2(f2/n)+x3(f3/n)+...+xm-1(fm-1/n)+xm(fm/n)
e quindi nell'esempio coincide con
(59*4+63*3+65*2+71*1+73*2)/11= 59*(4/11) + 63 *(2/11) + 65*(2/11) + 71*(1/11)+ 73*(2/11)=64,45
ANALOGIA TRA MEDIA ARITMETICA pesata E BARICENTRO O CENTRO DI MASSA
(a lezione abbiamo visto questa analogia con la leva: ma la semplice derivazione di questo fatto non è in programma)
ATTENZIONE LA MEDIA ARITMETICA NON VA UTLIZZATA SEMPRE (COME AD ESEMPIO nel seguente esercizio)
Esericizo D1 del Foglio 9 dell'Eserciziario:
Un veicolo marcia per 50 km alla velocita’ v1, e per altri 50 km alla velocita’ v2. La sua velocita’
sull’intero percorso di 100 km e’ data da
1A La media aritmetica di v1 e v2
1B La media geometrica di v1 e v2
1C La differenza tra v1 e v2
1D La somma di v1 e v2
1E Nessuna delle precedenti Risposta esatta.SOLUZIONE: si tratta infatti di osservare che la velocità media è data dallo spazio percorso diviso il tempo impiegato per percorrerlo
ossia vmedia=100km/(t1 + t2)
ora v1=50km/t1, e analogamente v2=50km/t2, e quindi t1=50km/v1, e t2=50km/v2,
e quindi
vmedia=100km/(t1 + t2) = 100km/[ (50km/v1) +(50km/v2)]
= 1/[(50km/v1)(1/100km) +(50km/v2)(1/100km)]
=1/[(1/v1)(1/2) +(1/v2)(1/2)]
[per conoscenza: tale valore è detto media armonica di v1 e v2]
Si è accennato al fatto che a volte i dati sono raggruppati in classi (con una conseguente perdita di dati)
tuttavia in questi casi si può ottenere lo stesso una media artimetica
utilizzando il valore centrato di ciascuna classe
si veda la slide http://www-dimat.unipv.it/
atorre/CTF2011-12/ Statistica02.pdf anche per come si può trovare graifcamente la mediana.
Sono stati discussi gli esercizi 1 e 2 di queste slide .
martedì 12 gennaio 2016 ore 16-18 AULA A del PLESSO TECCE
Abbiamo svolto l'esercizio 3 del file
http://www-dimat.unipv.it/
atorre/CTF2011-12/ Statistica02.pdf
In termini generali:
se la media aritmetica dell'età di una popolazione 1 (ad esempio del NORD) con N1 abitanti è x1,
e la media aritmetica dell'età di una popolazione 2 (ad esempio del SUD) con N2 abitanti è x2,
ALLORA è possibile calcolare la media aritmetica x dell'età della popolazione totale
(ossia unendo la popolazione 1 con la popolazione 2: NORD e SUD insieme)
INFATTI POSTO
ξ1,ξ2,ξ3,..., ξN1-1,ξN1 , le età degli abitanti della popolazione 1
e ξ'1,ξ'2,ξ'3,..., ξ'N2-1,ξ'N2 , le età degli abitanti della popolazione 2
sia ha che
x1=(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξN1-1+ξN1)/N1, e x 2=(ξ'1+ξ'2+ξ'3+...+ξ'N2-1+ξ'N2)/N2,
mentre la media artimetica su tutta la popolazione è data dalla media pesata
x = x1[N1/(N1+N2)] + x2[N2/(N1+N2)]
INFATTI
x=(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξN1-1+ξN1+ξ'1+ξ'2 +ξ'3+...+ξ'N2-1+ξ'N2)/(N1+N2)
=(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξN1-1+ξN1)/(N1+N2) + (ξ'1+ξ'2+ξ'3+...+ξ'N2-1+ξ'N2)/(N1+N2)
=[(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξN1-1+ξN1)/(N1+N2)] (N1/N1) + [(ξ'1+ξ'2+ξ'3+...+ξ'N2-1+ξ'N2)/(N1+N2)](N2/N2)
=[(ξ1+ξ2+ξ3+...+ξN1-1+ξN1)/N1] [N1/(N1+N2)] + [(ξ'1+ξ'2+ξ'3+...+ξ'N2-1+ξ'N2)/N2][N2/(N1+N2)]
=x1[N1/(N1+N2)] + x2[N2/(N1+N2)]
Abbiamo poi visto gli indici di dispersione in PARTICOLARE VARIANZA e SCARTO QUADRATICO MEDIO
(IMPORTANTI)
E VARIANZA CAMPIONARIA (stimata) e SCARTO QUADRATICO MEDIO CAMPIONARIO (stimato)
(si suggerisce di vedere le slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/ )Statistica03.pdf OSSERVAZIONE dalle definizioni si vede che
VARIANZA= [(n-1)/n]VARIANZA CAMPIONARIA
e quindi per n grande si vede facilemente che [(n-1)/n] è vicino ad 1 e quindi differiscono poco.
Cenno ai quartili
ABBIAMO POI INIZIATO A INTRODURRE LA PROBABILITA'
(a partire dalle slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/ )Probabilita1.pdf
breve discussione sulle varie impostazioni (classica, frequentista, soggettivista)
e ASSIOMATICA.
DISCUSSIONE SUL RUOLO DELL'INFORMAZIONE: le probabilità cambiano A SECONDA dell'informazione che abbiamo:
(si vedano di ESEMPI 1 2 e 3 delle slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/ )Probabilita1.pdf
questo punto verrà ripreso domani .mercoledì 13 gennaio 2016 ore 15-17
Discussione su Probabilità, Assiomi, e conseguenze: FORMULA DELLE PROBABILITA' TOTALI E FORMULA DI BAYES
(vedere le lezioni di Giovedì 15 gennaio 2015 (dello scorso a.a. 2014-15)
(INIZIO AGGIUNTO il 14 gennaio)
In particolare abbiamo visto un esempio di estrazione SENZA RIMBUSSOLAMENTO da un'urna contentene 2 palline bianche e 3 azzurre
POSTO A1 l'evento la prima pallina estratta è azzurra e A2 l'evento la seconda pallina estratta è azzurra
POSTO B1 l'evento la prima pallina estratta è bianca e B2 l'evento la seconda pallina estratta è bianca
abbiamo osservato che P(B2)=P(B1)=2/5 in diversi modi,
ANCHE SE P(B2|B1)=1/4 e P(B2|A1)=2/4=1/2
AD ESEMPIO, CON LA FORMULA DELLE PROBABILITA' TOTALI e considerando che B1 è il complementare di A1
P(B2)= P(B1) P(B2|B1) +P(A1)P(B2|A1)= (2/5) (1/4) + (3/5)(2/4) =(1/10)+(3/10)=4/10=2/5
(FINE AGGIUNTO il 14 gennaio)
abbiamo poi svolto esercizi dal file
esercizi-di statistica-PROVVISORIO
edFileed in particolare abbiamo discusso della regressione e del metodo dei minimi quadrati
(invece il problema dei TEST DIAGNOSTICI verrà discusso domani)
giovedì 14 gennaio 2016 ore 13-15 Abbiamo ripreso l'esempio (esercizi-di statistica-PROVVISORIO) sulla retta di regressione finendo i calcoli dell'esempio e mostrando che la retta di regressione dei dati di tipo y rispetto ai dati di tipo x è diversa dallla retta di regressione dei dati di tipo x rispetto ai dati di tipo y (anche se per quei dati le due rette sono molto vicine)
Abbiamo visto alcuni esempi di applicazione della formula delle probabilità totali e della formula di Bayes:
in particolare
(dalle slide della professoressa A. Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Probabilita2.pdf
http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/ )Probabilita2.pdf Esempio 2 Suppongo di giocare testa o croce con una persona sconosciuta. Vinco se esce testa, perdo se esce croce. A priori mi fido abbastanza della persona con cui sto giocando ed attribuisco al fatto, che possa aver truccato la moneta a suo favore, probabilità pari a 1/100.
Se perdo per 10 lanci consecutivi, il mio grado di fiducia nell’altro giocatore resta sempre lo stesso ?
Abbiamo visto come possono essere utili i grafi (ad albero) per questo tipo di problemi.
Si consiglia di vedere anche l'Esempio1 (tecnico) dell'estrazione da un'urna scelta a caso, anche se non svolto a lezione:
può essere utile per capire l'utilità della formula di Bayes)Come altra applicazione IMPORTANTE abbiamo visto i Test Diagnostici
(si consiglia di vedere sia le slide della prof. Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/testdia.pdf
sia il file esercizi-di statistica-PROVVISORIOInfine abbiamo visto come usare la distribuzione normale (anche detta gaussiana standard) e le tavole relative.
DIRE CHE LA DISTRIBUZIONE DI UNA VARIABILE STATISTICA (o di una variabile aleatoria) E' BEN APPROSSIMATA DA (o segue)
una distribuzione gaussiana di media μ e varianza σ2, (o equivalentemente di deviazione standard σ)
significa che LA PERCENTUALE DI VALORI CHE SI TROVANO in un intervallo (a,b] è BEN APPROSSIMATA dall'area della regione compresa tra l'asse x e la funzione
nell'intervallo (a, b]Purtroppo non c'è una formula esplicita (in termini delle funzione usuali, espenonziali, logaritmi, potenze, funzioni trigonometriche,) per calcolare tale integrale, ma ci sono delle tavole che permettono di calcolare queste aree. Nella tavola del libro vengono dati gli integrali sugli intervalli del tipo
[ μ - u σ, μ +u σ], fuori di tali intervalli, ossin in [ μ - u σ, μ +u σ]c= (- ∞,μ -u σ] U [ μ +u σ, ∞), e in intevalli del tipo [ μ +u σ, ∞),
per u=0; u=0,2; u=0,4; etc... fino ad u=3,2
Guardando la tabella si nota facilmente che nelle righe relative allo stesso u,
la prima colonna, relativa all'integrale su [ μ - u σ, μ +u σ], e la seconda, relativa ll'integrale su [ μ - u σ, μ +u σ]c, somamno ad uno,
e che la colonna realtiva allintegrale su [ μ +u σ, ∞), è la metà di quella realtiva all'integrale su [ μ - u σ, μ +u σ]c= (- ∞,μ -u σ] U [ μ +u σ, ∞),
In particolare abbiamo visto i seguenti problemi, tratti dalle slide della prof. A. Torre http://www-dimat.unipv.it/
atorre/CTF2011-12/ Statistica04.pdf
Problema - Supponendo che la distribuzione dei pesi degli individui di una popolazione sia gaussiana con media μ = 61 kg e deviazione standard (scarto quadratico medio) σ = 5 kg
1. scrivere l’equazione della gaussiana relativa ai pesi di tale popolazione
2. calcolare la percentuale di individui il cui peso è compreso tra 59 kg e 63 kg
sul PUNTO 2: (trascurando di riportare i kg) si tratta di trovare u e v tali che
59 = μ - u σ = 61 - u 5, ossia u=(61-59)/5=2/5=4/10=0,4
e
63 = μ - v σ = 61 + v 5, ossia v=(63-61)/5=2/5=4/10=0,4
in questo esempio u=v in quanto l'intervallo [59,63] ha come punto medio proprio μ = 61
di conseguenza: [59,63] = [61- 0,4 *5, 61+ 0,4*5] e quindi bisogna utilizzare la tavola della distribuzione normale (o gaussiana)relativa alla colonna [ μ - u σ, μ +u σ], per u=0,4. il numero nella tavola è 0,3108, e quindi la percentuale cercata è circa 31%.
DOMANDE COLLEGATE :
(i) qual è la percentuale delle persone che pesano più di 63 chili?
si tratta della percentuale delle persone che sono nell'intervallo [63, ∞) = [61+ 0,4*5, ∞)
e quindi bisogna utilizzare la colonna realtiva agli intervalli del tipo [ μ +u σ, ∞) per u = 0,4, in questo caso la tabella fornisce il numero 0, 3446, ossia la percentuale di persone che pesano più di 63 chili è circa il 34%
(ii) qual è la percentuale delle persone che pesano meno di 59 chili?
si tratta della percentuale delle persone che sono nell'intervallo (- ∞, 59] , che è l'intervallo simmetrico (rispetto a μ=61) all'intervallo [63, ∞) =[61+ 0,4*5, ∞) e quindi per la simmetria rispetto a μ=61 della distribuzione gaussiana, percentuale delle persone che pesano meno di 59 chili ha lo stesso valore della percentuale di persone che pesano più di 63 chili, ossia circa il 34%,
Problema - Le altezze h di un gruppo di reclute sono distribuite con buona approssimazione secondo una curva gaussiana
con media μ = 170 cm e deviazione standard (scarto quadratico) σ = 5 cm. Le divise sono disponibili in 5 taglie:
1. per individui di altezza 161 cm
2. per individui di altezza compresa tra 161 e 167 cm
3. per individui di altezza compresa tra 167 e 173 cm
4. per individui di altezza compresa tra 173 e 179 cm
5. per individui di altezza > 179 cm.
Stimare il numero delle divise delle varie taglie sapendo che le reclute sono 750 .
Soluzione - Si tratta di stimare la percentuale di reclute che cade in ciascuna delle quattro differenti classi di altezza:
(h= altezza)
1. per h ≤ 161 = 170 − 1.8 σ quindi 3.6% delle reclute (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa 27 reclute)
2. per 161 < h ≤ 167 ), ossia h in ( 170 − 1.8σ , 170 − 0.6σ ] quindi 24% delle reclute (circa 750 * 24/100 reclute, ossia circa 180 reclute)
3. per 167 < h ≤ 173 ), ossia h in ( 170−0.6 σ , 170+0.6 σ ] quindi 45% delle reclute (circa 750 * 45/100 reclute, ossia circa 338 reclute)
4. per 173 < h ≤ 179 ), ossia h in (170+0.6 σ , 170+1.8σ ] quindi 24% delle reclute (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa 180 reclute)
5. per h > 179 = 170+1.8 σ ) quindi 3.6% delle reclute (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa 27 reclute)
per ottenere le percentuali bisogna procedere come segue:
AD ESEMPIO la percentuale di individui con altezza h in ( 170 − 1.8σ , 170 − 0.6σ ]
è circa uguale alla percentuale di individui con altezza in ( 170 +0,6 σ , 170 + 1,8 σ ]
in quanto va approssimata con l'area realtiva alla funzione,
che è simmetrica rispetto a μ.
e che, per ottenere tale percentuale basta considerare che l'integrale su ( 170 − 1.8σ , 170 − 0.6σ ] U ( 170 +0,6 σ , 170 + 1,8 σ ]
è uguale alla diferenza tra l'integrale su ( 170 − 1.8σ ; 170 + 1,8 σ ]
(che vale 0,9282, come si ricava dalla tabella nella colonna relativa a [ μ - u σ, μ +u σ], per u=1,8)
e l'integrale su ( 170 − 0.6σ ; 170 +0,6 σ ]
(che vale 0,4514 , come si ricava dalla tabella nella colonna relativa a [ μ - u σ, μ +u σ], per u=0,6)
In conclusione l'integrale su ( 170 − 1.8σ , 170 − 0.6σ ] è la metà di questa differenza
ossia vale
(0,9282 - 0,4514)/2=0,4768/2=0,2384
da cui la percentuale viene il 24%.
FINE DELLE LEZIONI, ci vediamo la settimana prossima per i ricevimenti collettivi del 19 e 20 gennaio (vedere sotto)venerdì 15 gennaio ore 11-13 NON C'E' L'AULA
DOPO LA FINE DELLE LEZIONI
martedì 19 gennaio 2016 ore 14-16, aula A del plesso TECCE
PER VEDERE ALCUNI DEGLI ESERCIZI DISCUSSI SU RICHIESTA DEGLI STUDENTI PRESENTI
ricevimento collettivo in vista dell'esame del 22 gennaio
vedere l'argomento DOMANDE DEGLI STUDENTI 2016,
DOMANDE degli STUDENTI 2016
qui sotto
SI SUGGERISCE DI VEDERE ANCHE RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI
dello scorso anno accademicomercoledì 20 gennaio 2016 ore 14-16, aula A del plesso TECCE
vale quanto scritto per martedì 19 gennaio 2016
ricevimento collettivo in vista dell'esame del 22 gennaio
-
è solo un biglietto di auguri di BUON NATALE matematico
e che usa le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi
-
il file contiene un sunto dei dati osservati, con istrogrammi e grafici a torta e alcuni calcoli di medie aritmetiche.
I dati sono stati ottenuti lanciando 36 dadi per 19 volte.
-
Questo file contiene esercizi dal FOGLIO 9 dell'eserciziario insieme a discussioni teoriche
il file contiene anche una discussione sulla retta di regressione e sui test DIAGNOSTICI
QUESTA VERSIONE è provvisoria. SE TROVATE ERRORI O SVISTE o sde il file richiede altre spiegazioni,
mettetevi in contatto con la docente, GRAZIE
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DI SEGUITO LE RISPOSTE A DOMANDE SUGLI ESERCIZI, di ALCUNI STUDENTI
ALCUNE SONO RISPOSTE A QUESITI POSTI PER POSTA ELETTRONICA, ALTRI SONO STATI DISCUSSI IN CLASSE.
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FOGLIO 9 (STATISTICA) D. 22 Si consideri la retta di regressione che meglio approssima i tre punti A(0,0), B(1,1), C(2,1).
La distanza verticale tra B e il punto di ascissa 1 della retta di regressione e’
22A 1/3 Risposta esatta.
22B 1
22C 2
22D 1/2
22E 0
ATTENZIONE: il termine distanza verticale non sarebbe necessario, ma viene usato per CHIARIRE che NON si tratta delle DISTANZA tra il punto B e la retta di regressione, ma tra il punto B e il punto appartenente alla retta di regressione, che ha la stessa ascissa del punto B (cioè di ascissa 1)
La retta di regressione dei punti (x_i, y_i) passa sempre dal punto la cui ascissa è x = la media aritmetica dei punto xi , quindi in questo caso(0+1+2)/3= 1, e la cui ordinata è y la media dei punti yi quindi in questo caso, (0+1+1)/3=2/3
quindi in questo caso la distanza tra il punto (1,1) e il punto di ascissa 1 della retta è semplicemente
|1-(2/3)|=1/3
IN ALTERNATIVA (e poi sarebbe chiesto comunque all'orale)
si può CALCOLARE la retta di regressione, che è la retta y-y = m (x-x ) con m=COVXY/(σX)2
dove COVXY = xy - x y , con xy = media aritmetica dei prodotti xi yi,
ossia in questo caso xy =(0*0 + 1*1 + 2*1)/3= 1 e quindi
COVXY = xy - x y = 1 - 1*2/3=1/3
OVVERO COVXY è la media artimentica dei prodotti (xi -x) (yi-y)
ossia
[(0-1)(0-2/3) + (1-1)(1-2/3) +(2-1)(1-2/3) ]/3 = [2/3 +0 +1/3]/3= 1/3
e
(σX)2 = xx - x x , con xx = media aritmetica dei prodotti xi xi,=(xi)2.
ossia in questo caso xx = [02+12+22]/3=5/3
e quindi
(σX)2 = xx - (x)2 = 5/3 - 12= 2/3
OVVERO
(σX)2 = media artimentica di (xi -x)2 , ossia in questo caso
[(0-1)2 + (1-1)2 +(2-1)2 ]/3 = [1 +0 +1 ]/3= 2/3
e quindi m= COVXY/(σX)2 = (1/3)/(2/3)=1/2
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RA2 D. 24 Lanciando due volte un dado:
a) qual è la probabilità che escano due numeri pari?
b) qual è la probabilità che la somma delle facce sia 4?
c) qual è la probabilità che la somma delle facce sia 4, sapendo che al primo lancio non e’ uscito ne’ il numero 5 ne’ il numero 6?
svolto in classe
SOLUZIONE Per risolvere questo esercizio vanno elencati i 36=62 casi possibili
(coppie (i,j) con i, j che variano tra 1 e 6, VEDERE IL NUOVO FILE LANCIO DI DUE DADI)
e contare i casi favorevoli, e dividere per i casi possibili.
a) per due numeri pari è facile vedere che i casi favorevoli sono 9=32
e che quindi P(due numeri pari)=32/62=(3/6)2=1/4
b) i casi favorevoli sono (1,3) (2,2) e (3,1) e quindi , posto X1 il valore del primo dado e X2 il valore del secondo dado
P(X1 +X2 =4)= 3/36=1/12
c) si tratta di calcolare P(B|A)
dove A={X1 pari e X2 pari} e B={X1 +X2 =4} .
Essendo P(B|A) =P(B"intersezione"A)/P(A)
e B"intersezione"A= {(2,2)} e quindi
P(B|A) =P(B"intersezione"A)/P(A)= (1/36)/(3/36)=1/3
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FOGLIO 10- D5 Lanciando 4 volte una moneta, qual è la probabilità che esca un numero pari (0, 2 o 4) di teste?
VARIE SOLUZIONI POSSIBILI
1) una soluzione si può ottenere elencando tutti i casi (sono sedici) e contare i casi favorevoli
(T,T,T,T) *
(T,T,T,C)
(T,T,C,T)
(T,T,C,C) *
(T,C,T,T)
(T,C,T,C) *
(T,C,C,T) *
(T,C,C,C)
(C,T,T,T)
(C,T,T,C) *
(C,T,C,T) *
(C,T,C,C)
(C,C,T,T) *
(C,C,T,C)
(C,C,C,T)
(C,C,C,C) *
2) una generale è la seguente, che non ho avuto modo di illustrarvia lezione, però, ma spero di avere modo di dirvela martedì e/o mercoledì, in modo che la conosciate:
la probabilità di avere esattamente k teste in n lanci è semplicemente numero di combinazioni di k elementi di classe k,
e che si può calcolare come n!/[k! (n-k)!] e quindi la probabilità di k teste in n lanci è {n!/[k! (n-k)!]} / 2^n
a questo punto, per risolvere l'esercizio, basta prendere n=4 e sommare la probabilità
{4!/[k! (4-k)!]}/2^4 per k=0,2,4 ossia
4!/[0! (4-0)!]/16 +{ 4!/[2! (4-2)!]}/16+ {4!/[4! (4-4)!]}/16=
= {4)!/[0! 4!]}(1/16 + {4!/[2! 2!]}/16 + {4!/[4! 0!]}/16 =
= 1/16 + {(4*3*2*1)/(2*2)}/16+ 1/16 =[1+6+1]/16=1/2
INOLTRE
3) UNA SOLUZIONE SINTETICA ed elegante,
ma che non mi aspetto che troviate da soli...
e che per di più vale solo per un numero n di lanci, con n DISPARI
è la seguente
posto X il numero di teste ed Y il numero di croci ottenute su n lanci,
possiamo considerare gli eventi
A={X è pari} e B={Y è pari},
allora A e B sono l'uno il complementare dell'altro,
perché se X è pari allora Y è dispari,
QUINDI P(A)=1-P(B)
MA D'ALTRA PARTE, se la moneta non è truccata,
ALLORA
P(A)=P(B) (si ottiene scambiando testa con croce)
e quindi, risolvendo il sistema x=1-y, x=y , dove x=P(A) e y=P(B) si ottiene subito P(A)=P(B)=1/2
INFINE,
4) questa soluzione vale ANCHE PER n pari vorrei farle notare che già dall'elenco nel caso n=4 si capisce che se si considerano i casi favorevoli all'evento A si dividono in quelli in cui il primo lancio è TESTA e quelli in cui il primo lancio è CROCE e che i casi in cui si "SCAMBIANO" T e C nell'ESITO INIZIALE sono nello stesso numero (T,T,T,T) * (C,T,T,T)
(T,T,T,C) (C,T,T,C) *
(T,T,C,T) (C,T,C,T) *
(T,T,C,C) * (C,T,C,C)
(T,C,T,T) (C,C,T,T) *
(T,C,T,C) * (C,C,T,C)
(T,C,C,T) * (C,C,C,T)
(T,C,C,C) (C,C,C,C) *
infatti ad esempio in (T,T,T,C) c'è un numero dispari di teste, ma in (C,T,T,C) c'è un numero pari di teste, e viceversa in (T,T,C,C) c'è un numero pari di teste, ma in (C,T,C,C) c'è un numero dispari di teste.
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FOGLIO10 D. 2 Qual è la probabilità di ottenere almeno 1 Testa e 1 Croce lanciando 4 volte una moneta ?
2A 2/4
2B 1/8
2C 1
2D 14/16
2E 6/16
PRIMA SOLUZIONE, poco efficiente
I casi possibili sono 16=24, e sono i seguenti, e quelli segnati con l'asterisco sono i casi favorevoli
e sono 14
quindi la soluzione è 14/16=7/8
(T,T,T,T)
(T,T,T,C) *
(T,T,C,T) *
(T,T,C,C) *
(T,C,T,T) *
(T,C,T,C) *
(T,C,C,T) *
(T,C,C,C) *
(C,T,T,T) *
(C,T,T,C) *
(C,T,C,T) *
(C,T,C,C) *
(C,C,T,T) *
(C,C,T,C) *
(C,C,C,T) *
(C,C,C,C)
TUTTAVIA sarebbe più semplice dire:
lanciando 4 volte una moneta, i casi possibili sono 16=24, posto A=l'evento "ottenere almeno 1 Testa e 1 Croce"
quelli favorevoli all'evento complementare Ac sono solo due: tutte teste OPPURE tutte croci
e quindi la probabilità dell'evento P(Ac)=2/16 e quindi P(A)=1- P(Ac)=1- 2/16=14/16=7/8
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FOGLIO10 D.8 Il 10% di una popolazione ha gli occhi azzurri.
Qual è la probabilità che, presi tre individui a caso, esattamente due abbiano gli occhi azzurri?
8A 0,027
8B 0,009
8C 0,001
8D 0,01
8E 0,03
UNA SOLUZIONE POSSIBILE E' LA SEGUENTE: sia N la numerosità della popolazione
dai dati sappiamo che (1/10) della popolazione ha gli occhi azzurri, ossia Na=N/10 hanno gli occhi azzurri
(e il rimanente Nc =[9/10]N=N-Na ha gli occhi di altro colore)
L'evento A="esattamente due hanno gli occhi azzurri" si può scomporre nell'unione di tre eventi:
A1="il primo ed il secondo hanno gli occhi azzurri ed il terzo ha gli occhi di altro colore"
A2="il primo ed il terzo hanno gli occhi azzurri ed il secondo ha gli occhi di altro colore"
A3="il secondo ed il terzo hanno gli occhi azzurri ed il primo ha gli occhi di altro colore"
Chiaramente P(A1)= Na(Na-1) Nc/[N(N-1)(N-2)]= [Na/N] [(Na-1)/(N-1)] [ Nc/(N-2)]
INFATTI
i casi possibili sono N(N-1)(N-2) in quanto
si può scegliere la prima persona in N modi, la seconda in N-1 modi e la terza in N-2 modi
i casi favorevoli sono Na(Na-1) Nc in quanto
si può scegliere la prima persona in Na modi (va scelta fra le Na persone con gli occhi azzurri),
la seconda in Na-1 modi (va scelta fra le Na -1 persone rimanenti con gli occhi azzurri),
e la terza inNc modi (va scelta fra le Nc persone con gli occhi di altro colore)
e ANALOGAMENTE
P(A2)= Na Nc (Na-1)/[N(N-1)(N-2)]= P(A1)
e
P(A3)= Nc Na (Na-1)/[N(N-1)(N-2)]= P(A1)
e quindi
P(A)= P(A1)+P(A2)+P(A3) = 3 P(A1) = 3 [Na/N] [(Na-1)/(N-1)] [ Nc/(N-2)]
SI OSSERVI ORA CHE
Na/N =1/10 (dato del problema)
e che, per N grande, (Na-1)/(N-1) è molto vicino a Na/N= 1/10
e analogamente, sempre per N grande, Nc/(N-2) è molto vicino a Nc/N = 9/10
(infatti, dividendo numeratore e denominatore per N si ha (Na-1)/(N-1)= [(Na/N)-(1/N))/[1-(1/N)] = [(1/10)-1/N]/[1-(1/N)] che tende a 1/10 per N che tende ad infinito)
quindi la probabilità cercata si può calcolare (approssimativamente) come
P(A)= P(A1)+P(A2)+P(A3) = 3 P(A1) = 3 [Na/N] [(Na-1)/(N-1)] [ Nc/(N-2)] =(circa) 3 [ (1/10) (1/10) (9/10)] = 27/1000= 0,027
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FOGLIO 10 D. 22 Un tiratore centra il bersaglio 8 volte su 10. Qual è la probabilità che centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi?
22A 0,91
22B 0,96
22C 0,97
22D 0,99
22E 1
SOLUZIONE, senza ricorrerre al concetto di indipendenza:
prima di tutto conviene osservare che l'evento A="centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi"
è il complementare dell'evento B="non centri mai il bersaglio sparando due colpi"
e quindi P(A)=1-P(B)
INOLTRE possiamo pensare che il problema sia equivalente ad estrarre due volte con REINSEIMENTO una pallina da un'urna che contiene 2 palline bianche e 8 rosse
con la convenzione che estrarre una PALLINA BIANCA corrisponde a NON CENTRARE IL BERSAGLIO, mentre estrarre una PALLINA ROSSA corrisponde a NON CENTRARE IL BERSAGLIO.
Allora il problema di calcolare P(B)=P(estrarre sempre pallina bianca) = 22/102=4/100=0,04:
infatti i casi possibilie sono 102, in quanto ogni volta posso estrarre una qualunque delle 10 palline,
mentre i casi favorevoli sono 22 , in quanto corrisponde a estrarre ogni volta una delle due pallie bianche
di conseguenza P(A)=1-P(B)= 1- 0,4=0,96
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FOGLIO 10 D. 23 Il 4% di una popolazione e’ affetto da una certa malattia. L’accertamento della malattia e’ affidato
ad un test di laboratorio che fornisce nel 90% dei casi la risposta corretta
(sia in presenza che in assenza di malattia, ovvero specificita’ del test = sensibilita’ del test).
Per un individuo il test ha dato esito positivo.
Qual’è la probabilità che egli abbia effettivamente la malattia?
23A 36%
23B 14%
23C 50%
23D 90%
23E 27%
Si tratta di una versione semplificata del problema dei TEST DIAGNOSTICI
UTILIZZANDO LE NOTAZIONI USUALI (si vedano il libro, le slide della prof.ssa Torre e il file Esercizi di STATISTICA)
I dati pel problema sono
P(M+)=4%=4/100
(da cui P(M-)=1- P(M+)=1- (4/100)=96/100
P(T+|M+)=P(T-|M-)=90%=90/100
da cui, ad esempio P(T+|M-)=1-P(T-|M-)=1- (90/100)=10/100
LA DOMANDA E' P(M+| T+)
Per la formula di Bayes
P(M+| T+)= [P(M+) P(T+M+) ]/[P(M+) P(T+M+) +P(M-) P(T+|M-) ] = [(4/100) (90/100)][(4/100) (90/100)+(96/100) (10/100)]=
(semplificando)
= (4*90)/[(4*90)+96*10]= (4*9)/[(4*9)+96]= 36/[36+96]= 36/132=(circa)0,27= 27%
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FOGLIO 9 -D48
Ad un concorso con 10000 concorrenti, i voti alla prova scritta sono risultati distribuiti
secondo una gaussiana con media aritmetica μ = 5,2 e scarto quadratico medio σ = 1. Quante
persone hanno, approssimativamente, ottenuto la sufficienza (cioe’ un voto ≥ 6?)
SCHEMA DI SOLUZIONE
Prima di tutto si deve tenere presente che se dei dati xi si comportano
come una gaussiana di media μ e scarto quadratico medio (o deviazione standard) σ
questo significa che le percentuali che questi siano in una certa regione possono essere calcolati usando le aree corrispondenti individuate dalla densità gauusiana corrispondente.
Queste aree si possono calcolare attraverso delle tabelle (pagina 183 del libro, oppure il file STATISTICA 04 della prof. ssa TORRE) che permettono di calcolare la probabilita' che i dati siano
in intervali di tipo simmetrico rispetto alla media [μ-uσ, μ+uσ] al variare di u, fuori di tali intervalli o in intervalli del tipo [ μ+uσ, +∞)
Quindi si tratta di trovare u tale che μ+uσ=6 OSSIA u=(6-μ)/σ
tenendo presente che μ = 5,2 ed σ=1 e poi utilizzare al tabella corrispondente.
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FOGLIO 2 - D. 24 E’ dato il sistema
y + mz = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1
Quale delle seguenti coppie fornisce il valore di m per cui il sistema ammette infinite soluzioni,
unitamente ad una delle possibili soluzioni?
24A m = 1/3; (1, 0, 3)
24B m = 1/3; (0, 1, 1)
24C m = -3; (1, 0, -1/3)
24D m = -3; (0, 1, 0)
24E m = 1/6; (4, 3, 0)
per trovare la soluzione BASTA procedere come segue
1) trovare il valore m per il quale il determinante della matrice associata al sistema è nullo
ossia (ad esempio sviluppando rispetto alla prima riga)
essendo il determinante uguale a -1 [(-1)1 -1(-2)] + m [ (-1) 1 - 2 (-2)]= - [-1+2] +m [-1+4]= -1 + 3 m
trovare m tale che
3m-1=0, ossia m=1/3 (QUINDI LE POSSIBILI SOLUZIONI SONO SOLO 24 A e 24 B)
SUCCESSIVAMENTE,
poiché se il determinante è nullo, allora O il sistema è impossibile (ossia non ha soluzioni) OPPURE ha infinite soluzioni
2) controllare se il sistema ottenuto ponendo m=1/3, ossia
y +(1/3) z = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1
ammette come soluzione (1, 0, 3) , cioè x=1, y=0 e z=3
ossia controllare se
0 +(1/3) 3 = 1 OK
-1 + 2*0 +3 = 2 OK
-2*1 +0 +3 = 1 OK
QUINDI, essendoci una soluzione, SICURAMENTE CE NE SONO INFINITE.OVVIAMENTE (se avessimo controllato prima la soluzione 24B avremmo ottenuto un risultato negativo, ma questo non garantiva nulla)
ALTERNATIVAMENTE possiamo trovare tutte le soluzioni del sistema
y +(1/3) z = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1ad esempio prendendo y come parametro
da cui
(1/3) z = 1-y
-x + z = 2 - 2y
-2x +z = 1- yda cui NECESSARIAMENTE, dalle prime due equazioni)
z = 3(1-y)=3-3y
x = z-2+2y (ossia x= 3-3y -2+2y= 1-y)
va poi controllato che, per i valori ottenuti si ha -2x +z = 1- y
e infatti
-2x +z = -2(1-y) + 3 - 3y =-2 +2y +3-3y= 1-y
QUINDI le INFINITE soluzioni sono del tipo
x = 1-y, y=y, z= 3-3y, ovvero (1-y,y,3-3y)
e (1, 0, 3) = (1-y,y,3-3y) per y=0
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FOGLIO2 - D. 33
In un campo sono piantati 30 meli, ciascuno dei quali produce mediamente 400 mele all’anno.
Per ogni ulteriore albero che si pianta si reputa che il numero delle mele prodotte da ciascun melo diminuisca di 9; e analogamente, per ogni albero che si toglie il numero di mele prodotte da ciascun melo aumenta di 9.
Il numero complessivo di meli per cui il raccolto annuo previsto sia massimo e’ circa:
33A 37
33B 30
33C 23
33D 7
33E 40
ILLUSTRO UN PROCEDIMENTO POSSIBILE,
La soluzione consiste nell'impostare l'equazione che assegna il numero di mele prodotte al variare del numero di alberi piantati:
AD ESEMPIO se n è il umero di ulteriori alberi piantanti
allora il numero di alberi è (30+n) ma il numero di mele prodotte da ciascun melo è (400- 9n)
DOVE n potrebbe essere sia positivo che negativo.
QUINDI il numero di mele prodotte in un anno è il prodotto
f( n)=(30+n)*(400 - 9n)= -9n^2 +(400-9*30)n +12000
ora f( x) è chiaramente un polinomio di secondo grado con coefficiente di grado massimo negativo che ammette come radici
x(1)=-30 e x(2)= 400/9=44,44 (circa)
e quindi come punto di massimo
il punto medio tra x(1) e x(2) ossia
[x(1)+x(2)]/2= [-30 + 400/9]/2= [-270+400]/18 =7,22 circa
QUINDI i valori INTERI possibili sono solo n=7 oppure n=8.
PER DECIDERE QUALE DEI DUE bisogna calcolare f( n) per n=7 ed n=8 e controllare quale dei due valori sia maggiore
e quindi la soluzione potrebbe essere 37 OPPURE 38 a seconda del risultato.
IMMAGINO CHE LA SOLUZIONE SIA 37 (VISTO CHE 38 NON E' TRA LE SOLUZIONI POSSIBILI)
MA NON HO CONTROLLATO.... ALTERNATIVAMENTE, posto N=30+n e quindi considerare la funzione
g(N)= N (400 - (N-30) 9) [ NOTARE che, essend n=N-30, si ha g(N)= f(N-30)]
Un altro procedimento, MA da usare solo se non si sa fare altro potrebbe essere quella di calcolare direttamente f( n) per n=
33A n=37-30
33B n=30-30=0
33C n=23-30=-7
33D n=7-30=-23
33E n=40-30=10
e controlare per quale n f( n) risulta massimo.
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FOGLIO 2 D. 34 Il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo è di 4 anni.
Se dopo 12 anni restano 4000 isotopi radioattivi in una certa sostanza, dopo quanti anni ne restano 1000?
34A 5
34B 20
34C 25
34D 84
34E 30
SCHEMA DELLA SOLUZIONE (ATTENZIONE HO CORRETTO QUALCHE ERRORE DI STAMPA)
il decadimento radiattivo si può modellizzare in due modi: a tempo discreto e a tempo continuo.
QUI EVIDENTEMENTE (foglio2) SIAMO A TEMPO DISCRETO:
posto x(0)= N= il numero iniziale di isotopi il numero degli isotopi è modellizzato da
x( n)= N qn , per n >=0
e dove è q un numero da trovare (essendo un decadimento 0<q<1)
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il tempo di dimezzamento è dato dal numero m tale che
x(m)=x(0)/2
ossia da
N qm =N/2 cioè qm=1/2 cioè passando ai logaritmi (IN BASE 2)
m log2 (q) = log2 (1/2)
ovvero, essendo log2 (1/2)=-1,
m= -1/log2 (q)
DI SOLITO q è noto, mentre m è da trovare, MA IN QUESTO CASO invece
sappiamo m=12 ed N/2=4000
mentre 1000=4000/4 = (N/2)/4 = N/8
e quindi da qm=1/2
dobbiamo ricavare t tale che qt=1/8
OSSIA, passando ai logaritmi (IN BASE 2)
t log2 (q) = log2 (1/8) = -3
cioè
t= -3/log2 (q) = 3 [-1/ /log2 (q) ] = 3 m
e quindi, sapendo che m=12 si ha che t=3m=36
IN ALTERNATIVA:
potremmo ricavare q da qm=1/2
otteniamo q elevando ambo i membri a 1/m ossia
qm=1/2 se e solo se q= (qm)(1/m)=(1/2)(1/m)
e poi trovare, da N/2=4000 che N=8000
e quindi ricavare che
N qt= 8000 [(1/2)(1/m)]t= 1000
se e solo se
[(1/2)(1/m)]t= 1/8= (1/2)3
ossia se e solo se
(1/2)(1/m)t =(1/2)3 ossia
se e solo se
t/m=3 cioè t=3m
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ATTENZIONE C'E' UNA CORREZIONE RISPETTO A QUANTO DETTO A LEZIONE
RA1- D. 33 E’ data la funzione polinomiale y=x3+bx2+cx+d.
a) Si dica quale relazione deve valere fra i coefficienti b e c affinché essa non ammetta ne’ massimo ne’ minimo.
b) Data la funzione y=x3+2x2+2x−1, si verifichi che soddisfa la condizione precedente.
c) Determinarne lo zero della funzione (cioè la soluzione dell’equazione x3 +2x2 +2x−1=0) approssimato alla prima cifra decimale.
SOLUZIONE. ATTENZIONE C'E' UNA CORREZIONE RISPETTO A QUANTO DETTO A LEZIONE
a) Cominciamo con l'osservare che
il limite di x3+bx2+cx+d, per x che tende a +infinito, vale + infinito
e
il limite di x3+bx2+cx+d, per x che tende a - infinito, vale - infinito
si sta parlando di massimi e minimi locali.
Quindi la condizione è che la derivata di f(x)= x3+bx2+cx+d, sia sempre diversa da zero OPPURE ci sia un solo punto in cui vale zero e sia un flesso:
f '(x)= 3x2+ 2bx+c
ed, essendo f '(x)= 3x2+ 2bx+c
una funzione polinomiale di secondo grado, questo è vero
se e solo se
il discriminante è negativo, ossia se (2b)2-4 *3 c= 4 [b2-3 c]<0
OPPURE
il discriminante è nullo, ossia se (2b)2-4 *3 c= 4 [b2-3 c]=0
ma l'unica soluzione dell'equazione f '(x)= 3x2+ 2bx+c =0
ossia x= -b/3, deve essere un punto di flesso, ossia
f "(x)= 6x+ 2b = 6( x+b/3)
deve cambiare segno a destra e a sinistra di x= -b/3, e questo è banalmente verificato.
ATTENZIONE : LA CONDIZIONE E' QUINDI [b2-3 c]≤0
b) per la funzione y=x3+2x2+2x−1, si ha b=2 e c=2
e quindi [b2-3 c]=4-6=-2<0
c) per il punto precedente, la funzione y=x3+2x2+2x−1, è quindi strettamente crescente.
Di conseguenza, tenendo conto dei limiti per x che tende a +/- infinito,
ammette un unico zero, ossia quel valore x0 tale che
f(x0)=(x0)3+2(x0)2+2x0−1=0.
Per determinare questo valore esiste il metodo di bisezione:
IDEA: si trovano due punti x1 e x2 nei quali f(x1) e f(x2) hanno segno opposto.
Di conseguenza lo zero x0 è sicuramente compreso tra x1 e x2, ossia x0 appartiene all'intervallo (x1 , x2).
In questo caso basta osservare che
f(0)=-1<0 e che f(1)= 13+2*12+2*1−1= 1+2+2-1=4>0
Di conseguenza lo zero x0 è sicuramente compreso tra 0 e 1
A questo punto si considera il punto di mezzo x'=(x1 + x2)/2
in questo caso x'=1/2
e si calcola la funzione in questo punto e i casi sono tre:
f(x')=0 e a questo punto abbiamo finito
oppure
f(x')<0
oppure
f(x')>0
In ognuno di questi ultimi due casi si trova un altro intervallo (x'1 , x'2) al quale appartiene x0.
SI NOTI CHE IL NUOVO INTERVALLO HA AMPIEZZA CHE VALE LA META' DELL'AMPIEZZA DEL PRIMO INTERVALLO.
In questo caso
f(x')=f(1/2)= (1/2)3+2(1/2)2+2/(1/2)−1= 1/8 + 2/4 +1-1>0,
e quindi , confrontando i valori f(0)=-1<0 , f(1/2)>0 e f(1)>0
possiamo affermare che x0 è sicuramente compreso tra 0 e 1/2, che ha ampiezza 1/4.
A questo punto si ripete il procedimento considerando il nuovo intervallo (x'1 , x'2) e il suo punto di mezzo x"=(x'1 + x'2)/2 e si trova un altro intervallo di ampiezza che vale un quarto dell'ampiezza del primo intervallo,(essendo la metà della metà) e cosi' via ogni volta l'intervallo diminuisce della metà.
Nell'esempio basterà ripetere il procedimento altre 2 volte per arrivare a un intervallo di ampiezza 1/16 <1/10.
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FOGLIO6-D.17 Si determini l’equazione della tangente alla funzione y = ex/2, nel punto di ascissa x0 = 0.
Se nel punto di ascissa x = 1 si approssima il valore della funzione con quello della sua tangente in x0 = 0
(approssimazione di Taylor al primo grado), l’errore relativo è di circa il
17A 15%
17B 10%
17C 1,5%
17D 1%
17E non c’e’ errore
SCHEMA DELLA SOLUZIONE
Per iniziare il polinomio di Taylor di grado 1, coincide con la retta tangente NE SEGUENTE SENSO
essendo f(x)=ex/2, f '(x)=(1/2) ex/2, ed x0=0 si ha che l'equazione della retta tangente è
y-f(x0)= f '(x0) (x-x0)
ossia
y=f(x0) + f '(x0) (x-x0) = e0/2 +(1/2) e0/2(x-0) = 1 + x/2
e il polinomio di Taylor è T1f(x)=f(x0) + f '(x0) (x-x0) = 1 + x/2
L'errore relativo in x=1 è per definizione |f(1)- T1f(1)|/ |f(1)|= |e1/2- (1 + 1/2)|/| e1/2|
QUINDI si può semplicemente calcolare,
CON L'AUSILIO DI UNA CALCOLATRICE SCIENTIFICA
e1/2=1,6487212707001281468486507878142, 1 + 1/2=1,5
e perciò l'errore assoluto vale
|e1/2- (1 + 1/2)|= 0,1487212707001281468486507878142
e l'errore relativo vale |e1/2- (1 + 1/2)|/| e1/2| = 0,09020401043104986459430069751323
che è approssimativamente il 9%
e quindi la risposta è circa il 10%.
IL CHE CONCLUDE L'ESERCIZIO, MA
Più interessante sarebbe calcolare l'errore realtivo a priori, senza l'ausilio della calcolatrice scientifica:
allora potremmo dire che
|e1/2- (1 + 1/2)|<= (1/2!) supx in [0,1] |f ''(x)| |1-0|^2 =
= (1/2) supx in [0,1] |(1/2)2 ex/2| = (1/8) supx in [0,1] ex/2= (1/8) e1/2
dove l'ultima uguaglianza deriva dal fatto che la funzione ex/2 è crescente.
A questo punto l'errore relativo |e1/2- (1 + 1/2)|/| e1/2|
si può MAGGIORARE con
(1/8) e1/2/| e1/2| = 1/8 =0,125 = 12,5%
CHE PERO' NON COMPARE TRA LE RISPOSTE DELL'ESERCIZIO ed è equidistante da 10% e 15%.
PERSONALMENTE AVREI FORMULATO LE RISPOSTE IN MODO DIVERSO, ad esempio avrei messo
17A 17%
17B 10%
17C 1,5%
17D 1%
17E non c’e’ errore
IN MODO DA POTER PENSARE COME VALIDI ENTRAMBI I PROCEDIMENTI.
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FOGLIO 8 (EQ-DIFFERENZIALI e progressioni) Gli individui di una colonia di moscerini aumentano in un giorno di una percentuale k rispetto al giorno precedente.
All’inizio dell’osservazione ci sono circa 90 moscerini. al termine del quarto giorno 400. Quanti sono dopo un giorno?
49A circa 170
49B circa 200
49C circa 50
49D circa 130 Risposta esatta.
49E circa150
Risolviamo questo quesito a tempo discreto
e chiamiamo x(t) il numero di moscerini al tempo t, con t=0,1,2,...
sappiamo che
x(0)=90
x(1)= (1+k/100) x(0)
è il numero di moscerini al termine del primo giorno
x(2)= (1+k/100) x(1)= (1+k/100) (1+k/100) x(0)=(1+k/100)2 x(0)
è il numero di moscerini al termine del secondo giorno
...
...
x(t)=(1+k/100)t x(0)
è il numero di moscerini al termine del t-esimo giorno
SAPPIAMO INOLTRE che
x(4)= 400
ossia che 400=x(4)=(1+k/100)4 x(0)= (1+k/100)4 90
da cui
(1+k/100)4 = 400/90 =40/9 = 4,444 (circa)
e quindi
(1+k/100) = ( 40/9)1/4 = 1,452 (circa)
e quindim alla fine del primo giorno il numero di moscerini è
x(1) = (1+k/100) x(0) = 1,452 * 90 = 130,68 (circa)
e quindi la risposta è CIRCA 130
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RA1-D. 27 Una certa dieta prevede un consumo giornaliero di grassi compreso tra 60g e 80g, e un consumo giornaliero di carboidrati compreso fra 90g e 110g.
L’alimento A contiene il 30% di grassi e il 20% di carboidrati,
e l’alimento B contiene il 15% di grassi e il 60% di carboidrati.
Che quantità dei due alimenti occorre consumare per rispettare la dieta? Si rappresenti il problema e si fornisca un esempio.
SOLUZIONE
posto
x (in grammi) la quantità giornaliera consumata di alimento A
e
y (in grammi) la quantità giornaliera consumata di alimento B
SE SI CONSUMANO SOLO GLI ALIMENTI A e B
la quantità di grassi giornalera è
0,30 x + 0,15 y
e
la quantità di carboidrati giornalera è
0,20 x + 0,60 y
Le condizioni poste sono quindi equivalenti a
60 < 0,30 x + 0,15 y < 80
90 < 0,20 x + 0,60 y < 110
(andrebbe bene lo stesso se invece dei minori stretti si mettessero i minori o uguale)
60 < 0,30 x + 0,15 y < 80
rappresenta una striscia compresa tra le due rette parallele
0,30 x + 0,15 y = 60 e 0,30 x + 0,15 y =80
ANALOGAMENTE
90 < 0,20 x + 0,60 y < 110
rappresenta una striscia compresa tra le due rette parallele
0,20 x + 0,60 y = 90 e 0,20 x + 0,60 y =110
e le quantità (x,y) permesse sono le quantità individuate dai punti del piano ottenuti dall'intersezione di queste due strisce
(ovviamente andrebbe fatto un disegno nel piano cartesiano)
PER TROVARE UN ESEMPIO si puà ad esempio risolvere il sistema
0,30 x + 0,15 y = 70
0,20 x + 0,60 y = 100
che si può risolvere, ad esempio dividendo per 4 la seconda equazione
0,30 x + 0,15 y = 70
0,05 x + 0,15 y = 25
e sottraendo alla prima equazione la seconda equazione
si ha
0,30 x + 0,15 y = 70
0,25 x + 0 y = 45
ovvero
x=45/(0.25) = 45/(1/4) = 45 *4 = 180
y= (70 - 0,30 x)/0,15 ovvero y= (70 - (30/100) 180 )/(15/100)
= ( 70*100 - 30*180 ) /15 = 1600/15 = 106,67 (circa)
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Il fiel contiene ancuni problemi e considerazioni sul lancio di due dadi
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il file contiene il diario delle lezioni dell'a.a.2015-16 oltre alle Domande di studenti 2016
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