DI SEGUITO LE RISPOSTE A DOMANDE SUGLI ESERCIZI, di ALCUNI STUDENTI
ALCUNE SONO RISPOSTE A QUESITI POSTI PER POSTA ELETTRONICA, ALTRI SONO STATI DISCUSSI IN CLASSE.
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FOGLIO 9 (STATISTICA) D. 22 Si consideri la retta di regressione che meglio approssima i tre punti A(0,0), B(1,1), C(2,1).
La distanza verticale tra B e il punto di ascissa 1 della  retta di regressione e’
22A 1/3 Risposta esatta.
22B 1
22C 2
22D 1/2
22E 0

ATTENZIONE: il termine distanza verticale non sarebbe necessario, ma viene usato per CHIARIRE che NON si tratta delle DISTANZA tra il punto B e la retta di regressione, ma tra il punto B e il punto appartenente alla retta di regressione, che ha la stessa ascissa del punto B (cioè di ascissa  1) 
 
La retta di regressione dei punti (x_i, y_i)  passa sempre dal punto la cui ascissa è x = la media aritmetica dei punto x_i , quindi in questo caso(0+1+2)/3= 1, e la cui ordinata è y la media dei punti y_i quindi in questo caso, (0+1+1)/3=2/3
quindi in questo caso  la distanza tra il punto (1,1) e il punto di ascissa 1 della retta è semplicemente
|1-(2/3)|=1/3

IN ALTERNATIVA (e poi sarebbe chiesto comunque all'orale)
si può CALCOLARE la retta di regressione, che è la retta y-y  =   m (x-x ) con  m=COV_XY/(σ_X)² 
dove  COV_XY = xy - x y , con xy = media aritmetica dei prodotti x_i y_i,
ossia in questo caso xy =(0*0 + 1*1 + 2*1)/3= 1   e quindi
COV_XY = xy - x y = 1 - 1*2/3=1/3
OVVERO COV_XY è la media artimentica dei prodotti (x_i -x) (y_i-y)
ossia
[(0-1)(0-2/3) + (1-1)(1-2/3) +(2-1)(1-2/3)  ]/3  =  [2/3 +0 +1/3]/3= 1/3

e
(σ_X)² = xx - x x , con xx = media aritmetica dei prodotti x_i x_i,=(x_i)².
ossia in questo caso xx = [0²+1²+2²]/3=5/3
e quindi
(σ_X)² = xx - (x)² = 5/3 - 1²= 2/3
OVVERO
(σ_X)² = media artimentica di (x_i -x)²  , ossia in questo caso
[(0-1)² + (1-1)² +(2-1)²  ]/3  =  [1 +0 +1 ]/3= 2/3

e quindi m= COV_XY/(σ_X)² = (1/3)/(2/3)=1/2

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RA2 D. 24 Lanciando due volte un dado:
a) qual è la probabilità che escano due numeri pari?
b) qual è la probabilità che la somma delle facce sia 4?
c) qual è la probabilità che la somma delle facce sia 4, sapendo che al primo lancio non e’ uscito ne’ il  numero 5 ne’ il numero 6?

svolto in classe
SOLUZIONE Per risolvere questo esercizio vanno elencati i 36=6² casi possibili
 (coppie (i,j) con i, j che variano tra 1 e 6, VEDERE IL NUOVO FILE LANCIO DI DUE DADI)
e contare i casi favorevoli, e dividere per i casi possibili.
a) per due numeri pari è facile vedere che i casi favorevoli sono 9=3²

 e che quindi P(due numeri pari)=3²/6²=(3/6)²=1/4

b) i casi favorevoli sono (1,3) (2,2) e (3,1) e quindi , posto X₁ il valore del primo dado e X₂ il valore del secondo dado
P(X₁ +X₂ =4)= 3/36=1/12
 
c) si tratta di calcolare P(B|A)
dove A={X₁ pari e X₂ pari} e B={X₁ +X₂ =4} .
Essendo P(B|A) =P(B"intersezione"A)/P(A)
e  B"intersezione"A= {(2,2)} e     quindi 
P(B|A) =P(B"intersezione"A)/P(A)= (1/36)/(3/36)=1/3

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FOGLIO 10- D5 Lanciando 4 volte una moneta, qual è la probabilità che esca un numero pari (0, 2 o 4) di teste?
VARIE SOLUZIONI POSSIBILI
1) una soluzione si può ottenere elencando tutti i casi (sono sedici) e contare i casi favorevoli
(T,T,T,T) *
(T,T,T,C)
(T,T,C,T)
(T,T,C,C) *
(T,C,T,T)
(T,C,T,C) *
(T,C,C,T) *
(T,C,C,C)

(C,T,T,T)
(C,T,T,C) *
(C,T,C,T) *
(C,T,C,C)
(C,C,T,T) *
(C,C,T,C)
(C,C,C,T)
(C,C,C,C) *

2) una generale è la seguente, che non ho avuto modo di illustrarvia lezione, però, ma spero di avere modo di dirvela martedì e/o mercoledì, in modo che la conosciate:
la probabilità di avere esattamente k teste in n lanci è semplicemente numero di combinazioni di k elementi di classe k,
e che si può calcolare come n!/[k! (n-k)!] e quindi la probabilità di k teste in n lanci è {n!/[k! (n-k)!]} / 2^n
a questo punto, per risolvere l'esercizio, basta prendere n=4 e sommare la probabilità
{4!/[k! (4-k)!]}/2^4 per k=0,2,4 ossia
4!/[0! (4-0)!]/16 +{ 4!/[2! (4-2)!]}/16+ {4!/[4! (4-4)!]}/16=
= {4)!/[0! 4!]}(1/16 + {4!/[2! 2!]}/16 + {4!/[4! 0!]}/16 =
= 1/16 + {(4*3*2*1)/(2*2)}/16+ 1/16 =[1+6+1]/16=1/2

INOLTRE
3) UNA SOLUZIONE SINTETICA ed elegante,
ma che non mi aspetto che troviate da soli...
e che per di più vale solo per un numero n di lanci, con n DISPARI
è la seguente
posto X il numero di teste ed Y il numero di croci ottenute su n lanci,
possiamo considerare gli eventi
A={X è pari} e B={Y è pari},
allora A e B sono l'uno il complementare dell'altro,
perché se X è pari allora Y è dispari,
QUINDI P(A)=1-P(B)
MA D'ALTRA PARTE, se la moneta non è truccata,
ALLORA
P(A)=P(B) (si ottiene scambiando testa con croce)
e quindi, risolvendo il sistema x=1-y, x=y , dove x=P(A) e y=P(B) si ottiene subito P(A)=P(B)=1/2

INFINE,
4) questa soluzione vale ANCHE PER n pari vorrei farle notare che già dall'elenco nel caso n=4 si capisce che se si considerano i casi favorevoli all'evento A si dividono in quelli in cui il primo lancio è TESTA e quelli in cui il primo lancio è CROCE e che i casi in cui si "SCAMBIANO" T e C nell'ESITO INIZIALE sono nello stesso numero

(T,T,T,T) * (C,T,T,T)
(T,T,T,C) (C,T,T,C) *
(T,T,C,T) (C,T,C,T) *
(T,T,C,C) * (C,T,C,C)
(T,C,T,T) (C,C,T,T) *
(T,C,T,C) * (C,C,T,C)
(T,C,C,T) * (C,C,C,T)
(T,C,C,C) (C,C,C,C) *

infatti ad esempio in (T,T,T,C) c'è un numero dispari di teste, ma in (C,T,T,C) c'è un numero pari di teste, e viceversa in (T,T,C,C) c'è un numero pari di teste, ma in (C,T,C,C) c'è un numero dispari di teste.

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FOGLIO10  D. 2 Qual è  la probabilità di ottenere almeno 1 Testa e 1 Croce lanciando 4 volte una moneta ?
2A 2/4
2B 1/8
2C 1
2D 14/16
2E 6/16
PRIMA  SOLUZIONE, poco efficiente
I casi possibili sono 16=2⁴, e sono i seguenti, e quelli segnati con l'asterisco sono i casi favorevoli
e sono 14
quindi la soluzione è 14/16=7/8

(T,T,T,T) 
(T,T,T,C)  *
(T,T,C,T)   *
(T,T,C,C)   *
(T,C,T,T)  *
(T,C,T,C)  *
(T,C,C,T)   *
(T,C,C,C)  *

(C,T,T,T)  *
(C,T,T,C)   *
(C,T,C,T)   *
(C,T,C,C)  *
(C,C,T,T)  *
(C,C,T,C) *
(C,C,C,T) *
(C,C,C,C)  

TUTTAVIA sarebbe più semplice dire:
lanciando 4 volte una moneta, i casi possibili sono 16=2⁴,  posto A=l'evento  "ottenere almeno 1 Testa e 1 Croce"
quelli favorevoli  all'evento complementare A^c sono solo due: tutte teste OPPURE tutte croci
e quindi la probabilità dell'evento P(A^c)=2/16 e quindi P(A)=1- P(A^c)=1- 2/16=14/16=7/8

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FOGLIO10 D.8 Il 10% di una popolazione ha gli occhi azzurri.
Qual è la probabilità che, presi tre individui a caso, esattamente due abbiano gli occhi azzurri?
8A 0,027
8B 0,009
8C 0,001
8D 0,01
8E 0,03

UNA SOLUZIONE POSSIBILE E' LA SEGUENTE: sia N la numerosità della popolazione
dai dati sappiamo che (1/10) della popolazione ha gli occhi azzurri, ossia N_a=N/10 hanno gli occhi azzurri
(e il rimanente N_c =[9/10]N=N-N_a ha gli occhi di altro colore)

L'evento A="esattamente due hanno gli occhi azzurri"  si può scomporre nell'unione di tre eventi:
A₁="il primo ed il secondo hanno gli occhi azzurri ed il terzo ha gli occhi di altro colore"
A₂="il primo ed il terzo hanno gli occhi azzurri ed il secondo ha gli occhi di altro colore"
A₃="il secondo ed il terzo hanno gli occhi azzurri ed il  primo ha gli occhi di altro colore"
Chiaramente P(A₁)= N_a(N_a-1) N_c/[N(N-1)(N-2)]= [N_a/N] [(N_a-1)/(N-1)] [ N_c/(N-2)]
INFATTI
i casi possibili sono N(N-1)(N-2) in quanto
si può scegliere la prima persona in N modi, la seconda in N-1 modi e la terza in N-2 modi
i casi favorevoli sono N_a(N_a-1) N_c  in quanto
si può scegliere la prima persona in N_a modi (va scelta fra le N_a persone con gli occhi azzurri),
 la seconda in N_a-1 modi (va scelta fra le N_a -1 persone rimanenti con gli occhi azzurri),
 e la terza inN_c  modi (va scelta fra le N_c persone con gli occhi di altro colore)
e ANALOGAMENTE
P(A₂)= N_a N_c (N_a-1)/[N(N-1)(N-2)]= P(A₁)
e
P(A₃)= N_c N_a (N_a-1)/[N(N-1)(N-2)]= P(A₁)
e quindi
P(A)= P(A₁)+P(A₂)+P(A₃) = 3 P(A₁) = 3 [N_a/N] [(N_a-1)/(N-1)] [ N_c/(N-2)]

SI OSSERVI ORA CHE
N_a/N =1/10  (dato del problema)
e che, per N grande,  (N_a-1)/(N-1) è molto vicino a N_a/N= 1/10 
e analogamente, sempre per N grande,  N_c/(N-2) è molto vicino a N_c/N = 9/10

 (infatti, dividendo numeratore e denominatore per N si ha   (N_a-1)/(N-1)= [(N_a/N)-(1/N))/[1-(1/N)] = [(1/10)-1/N]/[1-(1/N)]  che tende a 1/10 per N che tende ad infinito)
quindi la probabilità cercata si può calcolare (approssimativamente) come
P(A)= P(A₁)+P(A₂)+P(A₃) = 3 P(A₁) = 3 [N_a/N] [(N_a-1)/(N-1)] [ N_c/(N-2)] =_(circa) 3 [ (1/10) (1/10) (9/10)] = 27/1000= 0,027

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FOGLIO 10 D. 22 Un tiratore centra il bersaglio 8 volte su 10. Qual è la probabilità che centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi?
22A 0,91
22B 0,96
22C 0,97
22D 0,99
22E 1

SOLUZIONE, senza ricorrerre al concetto di indipendenza:
prima di tutto conviene osservare che l'evento A="centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi"
è il complementare dell'evento B="non centri mai il bersaglio sparando due colpi"
e quindi P(A)=1-P(B)

INOLTRE possiamo pensare che il problema sia equivalente ad estrarre due volte con REINSEIMENTO una pallina da un'urna che contiene 2 palline bianche e 8 rosse
con la convenzione che estrarre una PALLINA BIANCA corrisponde a NON CENTRARE IL BERSAGLIO, mentre estrarre una PALLINA ROSSA corrisponde a NON CENTRARE IL BERSAGLIO.

Allora  il problema di calcolare P(B)=P(estrarre sempre pallina bianca) = 2²/10²=4/100=0,04:
infatti i casi possibilie sono 10²,  in quanto ogni volta posso estrarre una qualunque delle 10 palline,
mentre i casi favorevoli sono 2² , in quanto corrisponde a estrarre ogni volta una delle due pallie bianche
di conseguenza P(A)=1-P(B)= 1- 0,4=0,96

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FOGLIO 10 D. 23 Il 4% di una popolazione e’ affetto da una certa malattia. L’accertamento della malattia e’ affidato
ad un test di laboratorio che fornisce nel 90% dei casi la risposta corretta
 (sia in presenza che in assenza di malattia, ovvero specificita’ del test = sensibilita’ del test).
Per un individuo il test ha dato esito positivo.
Qual’è la probabilità che egli abbia effettivamente la malattia?
23A 36%
23B 14%
23C 50%
23D 90%
23E 27%
Si tratta di una versione semplificata del problema dei TEST DIAGNOSTICI
UTILIZZANDO LE NOTAZIONI USUALI (si vedano il libro, le slide della prof.ssa Torre e il file Esercizi di STATISTICA)
I dati pel problema sono
P(M⁺)=4%=4/100
(da cui P(M^-)=1- P(M⁺)=1- (4/100)=96/100
P(T⁺|M⁺)=P(T^-|M^-)=90%=90/100
da cui, ad esempio P(T+|M^-)=1-P(T^-|M^-)=1- (90/100)=10/100

LA DOMANDA E'  P(M⁺| T⁺)

Per la formula di Bayes

P(M⁺| T⁺)= [P(M⁺) P(T⁺M⁺) ]/[P(M⁺) P(T⁺M⁺) +P(M^-) P(T^+|M^-) ] = [(4/100) (90/100)][(4/100) (90/100)+(96/100) (10/100)]=
(semplificando)
= (4*90)/[(4*90)+96*10]= (4*9)/[(4*9)+96]= 36/[36+96]= 36/132=_(circa)0,27= 27%

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FOGLIO 9 -D48
Ad un concorso con 10000 concorrenti, i voti  alla prova scritta sono risultati distribuiti
secondo una gaussiana con media aritmetica μ = 5,2 e scarto quadratico medio σ = 1. Quante
persone hanno, approssimativamente, ottenuto la sufficienza (cioe’ un voto ≥ 6?)


SCHEMA DI SOLUZIONE

Prima di tutto si deve tenere presente che se dei dati x_i si comportano
come una gaussiana di media μ e scarto quadratico medio (o deviazione standard) σ
 
questo significa che le percentuali che questi siano in una certa regione possono essere calcolati usando le aree corrispondenti individuate dalla densità gauusiana corrispondente.

Queste aree si possono calcolare attraverso delle tabelle (pagina 183 del libro, oppure il file STATISTICA 04 della prof. ssa TORRE) che permettono di calcolare la probabilita' che i dati siano
in intervali di tipo simmetrico rispetto alla media [μ-uσ, μ+uσ] al variare di u, fuori di tali intervalli o in intervalli del tipo  [ μ+uσ, +∞)

Quindi si tratta di trovare u tale che μ+uσ=6  OSSIA  u=(6-μ)/σ

 tenendo presente che μ = 5,2  ed σ=1 e poi utilizzare al tabella corrispondente.


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FOGLIO 2 - D. 24 E’ dato il sistema
y + mz = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1
Quale delle seguenti coppie fornisce il valore di m per cui il sistema ammette infinite soluzioni,
unitamente ad una delle possibili soluzioni?

24A m = 1/3; (1, 0, 3)
24B m = 1/3; (0, 1, 1)
24C m = -3; (1, 0, -1/3)
24D m = -3; (0, 1, 0)
24E m = 1/6; (4, 3, 0)
per trovare la soluzione BASTA procedere come segue
 1) trovare il valore m per il quale il determinante della matrice associata al sistema è nullo
ossia  (ad esempio sviluppando rispetto alla prima riga)
 essendo il determinante uguale a -1 [(-1)1 -1(-2)] + m [ (-1) 1 - 2 (-2)]= - [-1+2] +m [-1+4]= -1 + 3 m
trovare m tale che
3m-1=0, ossia m=1/3  (QUINDI LE POSSIBILI SOLUZIONI SONO SOLO 24 A  e 24 B)

SUCCESSIVAMENTE,
 poiché se il determinante è nullo, allora O il sistema è impossibile (ossia non ha soluzioni) OPPURE ha infinite soluzioni

2) controllare se il sistema ottenuto ponendo m=1/3, ossia
y +(1/3) z = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1
ammette come soluzione (1, 0, 3) , cioè x=1, y=0 e z=3

ossia controllare se
0 +(1/3) 3 = 1 OK
-1 + 2*0 +3 = 2 OK
-2*1 +0 +3 = 1 OK

QUINDI, essendoci una soluzione, SICURAMENTE CE NE SONO INFINITE.

OVVIAMENTE  (se avessimo controllato prima la soluzione 24B avremmo ottenuto un risultato negativo, ma questo non garantiva nulla)

ALTERNATIVAMENTE possiamo trovare tutte le soluzioni del sistema

y +(1/3) z = 1
-x + 2y + z = 2
-2x +y +z = 1

ad esempio prendendo y come parametro

da cui

(1/3) z = 1-y 

-x + z = 2 - 2y
-2x  +z = 1- y

da cui NECESSARIAMENTE, dalle prime due equazioni)

z = 3(1-y)=3-3y

x = z-2+2y (ossia x= 3-3y -2+2y= 1-y)

va poi controllato che, per i valori ottenuti si ha -2x  +z = 1- y

e infatti

-2x  +z = -2(1-y) + 3 - 3y =-2 +2y +3-3y= 1-y

QUINDI le INFINITE soluzioni sono del tipo

x = 1-y, y=y, z= 3-3y, ovvero (1-y,y,3-3y)

e (1, 0, 3) =  (1-y,y,3-3y)  per y=0

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FOGLIO2 - D. 33
In un campo sono piantati 30 meli, ciascuno dei quali produce mediamente 400 mele all’anno.
Per ogni ulteriore albero che si pianta si reputa che il numero delle mele prodotte da ciascun melo diminuisca di 9; e analogamente, per ogni albero che si toglie il numero di mele prodotte da ciascun melo aumenta di 9.
Il numero complessivo di meli per cui il raccolto annuo previsto sia massimo e’ circa:
33A 37
33B 30
33C 23
33D 7
33E 40
ILLUSTRO UN PROCEDIMENTO POSSIBILE,
La soluzione consiste nell'impostare l'equazione che assegna il numero di mele prodotte al variare del numero di alberi piantati:
AD ESEMPIO se n è il umero di ulteriori alberi piantanti
allora il numero di alberi è (30+n) ma il numero di mele prodotte da ciascun melo è (400- 9n)
DOVE n potrebbe essere sia positivo che negativo.
QUINDI il numero di mele prodotte in un anno è il prodotto
f( n)=(30+n)*(400 - 9n)= -9n^2 +(400-9*30)n +12000
ora f( x) è chiaramente un polinomio di secondo grado con coefficiente di grado massimo negativo che ammette come radici
x(1)=-30 e x(2)= 400/9=44,44 (circa)
e quindi come punto di massimo
il punto medio tra x(1) e x(2) ossia
[x(1)+x(2)]/2= [-30 + 400/9]/2= [-270+400]/18 =7,22 circa
QUINDI i valori INTERI possibili sono solo n=7 oppure n=8.
PER DECIDERE QUALE DEI DUE bisogna calcolare f( n) per n=7 ed n=8 e controllare quale dei due valori sia maggiore
e quindi la soluzione potrebbe essere 37 OPPURE 38 a seconda del risultato.
IMMAGINO CHE LA SOLUZIONE SIA 37 (VISTO CHE 38 NON E' TRA LE SOLUZIONI POSSIBILI)
MA NON HO CONTROLLATO.... ALTERNATIVAMENTE, posto N=30+n e quindi considerare la funzione
g(N)= N (400 - (N-30) 9) [ NOTARE che, essend n=N-30, si ha g(N)= f(N-30)]

Un altro procedimento, MA da usare solo se non si sa fare altro potrebbe essere quella di calcolare direttamente f( n) per n=
33A n=37-30
33B n=30-30=0
33C n=23-30=-7
33D n=7-30=-23
33E n=40-30=10
e controlare per quale n f( n) risulta massimo.


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FOGLIO 2  D. 34 Il tempo di dimezzamento di un isotopo radioattivo è di 4 anni.
Se dopo 12 anni restano 4000 isotopi radioattivi in una certa sostanza, dopo quanti anni ne restano 1000?
34A 5
34B 20
34C 25
34D 84
34E 30

SCHEMA DELLA SOLUZIONE (ATTENZIONE HO CORRETTO QUALCHE ERRORE DI STAMPA)
il decadimento radiattivo  si può modellizzare in due modi: a tempo discreto e a tempo continuo.
 QUI EVIDENTEMENTE (foglio2) SIAMO A TEMPO DISCRETO:
posto x(0)= N= il numero iniziale di isotopi il numero degli isotopi è modellizzato da
x( n)= N qⁿ , per n >=0 
e dove è  q un numero da trovare (essendo un decadimento 0<q<1)
---------------------
il tempo di dimezzamento è dato dal numero m tale che

x(m)=x(0)/2

ossia da

 N q^m =N/2  cioè  q^m=1/2  cioè  passando ai logaritmi (IN BASE 2)

m log₂ (q) =  log₂ (1/2)

ovvero, essendo  log₂ (1/2)=-1,

m=  -1/log₂ (q)

DI SOLITO q è noto, mentre m è da trovare, MA IN QUESTO CASO  invece
sappiamo m=12   ed N/2=4000

mentre 1000=4000/4 = (N/2)/4 = N/8

e quindi  da q^m=1/2

dobbiamo ricavare  t tale che   q^t=1/8

OSSIA, passando ai logaritmi (IN BASE 2)

t log₂ (q) =  log₂ (1/8) = -3
cioè
t= -3/log₂ (q)  = 3 [-1/ /log₂ (q)  ]  = 3 m

e quindi, sapendo che m=12   si ha che t=3m=36

IN ALTERNATIVA:
potremmo ricavare q da q^m=1/2
 otteniamo q elevando ambo i membri a 1/m ossia

q^m=1/2     se e solo se  q= (q^m)^(1/m)=(1/2)^(1/m)

e poi trovare,  da N/2=4000 che N=8000

e quindi  ricavare che

N q^t= 8000 [(1/2)^(1/m)]^t= 1000

se e solo se

 [(1/2)^(1/m)]^t= 1/8= (1/2)³

ossia se e solo se

(1/2)^(1/m)t =(1/2)³ ossia

se e solo se

t/m=3  cioè t=3m

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ATTENZIONE C'E' UNA CORREZIONE RISPETTO A QUANTO DETTO A LEZIONE
 
RA1- D. 33 E’ data la funzione polinomiale                  y=x³+bx²+cx+d.
a) Si dica quale relazione deve valere fra i coefficienti b e c affinché essa non ammetta ne’ massimo ne’ minimo.

b) Data la funzione y=x³+2x²+2x−1,  si verifichi che soddisfa la condizione precedente.

c) Determinarne lo zero della funzione (cioè la soluzione dell’equazione x³ +2x² +2x−1=0) approssimato alla prima cifra decimale.

SOLUZIONE.  ATTENZIONE C'E' UNA CORREZIONE RISPETTO A QUANTO DETTO A LEZIONE
a) Cominciamo con l'osservare che
il limite di x³+bx²+cx+d, per x che tende a +infinito, vale + infinito
e
il limite di x³+bx²+cx+d, per x che tende a - infinito, vale - infinito
si sta parlando di massimi e minimi locali.
Quindi la condizione è che la derivata di f(x)= x³+bx²+cx+d, sia sempre diversa da zero OPPURE ci sia un solo punto in cui vale zero e sia un flesso:

 f '(x)= 3x²+ 2bx+c
ed, essendo  f '(x)= 3x²+ 2bx+c
una funzione polinomiale di secondo grado, questo è vero
se e solo se
il discriminante è negativo, ossia se (2b)²-4 *3 c=  4 [b²-3 c]<0
OPPURE
il discriminante è nullo, ossia se (2b)²-4 *3 c=  4 [b²-3 c]=0
ma l'unica soluzione dell'equazione  f '(x)= 3x²+ 2bx+c =0
ossia x= -b/3, deve essere un punto di flesso, ossia
 f "(x)= 6x+ 2b = 6( x+b/3)
deve cambiare segno a destra e a sinistra di x= -b/3, e questo è banalmente verificato.

ATTENZIONE :  LA CONDIZIONE E' QUINDI [b²-3 c]≤0


b)  per la funzione y=x³+2x²+2x−1,   si ha b=2 e c=2
e quindi [b²-3 c]=4-6=-2<0

c) per il punto precedente, la funzione  y=x³+2x²+2x−1,  è quindi strettamente crescente.

Di conseguenza, tenendo conto dei limiti per x che tende a +/- infinito,
ammette un unico zero, ossia quel valore x₀ tale che

 f(x₀)=(x₀)³+2(x₀)²+2x₀−1=0.

Per determinare questo valore esiste il metodo di bisezione:

IDEA: si trovano due punti x₁ e x₂ nei quali f(x₁) e f(x₂) hanno segno opposto.

 Di conseguenza lo zero x₀ è sicuramente compreso tra x₁ e x₂, ossia x₀ appartiene all'intervallo (x₁ , x₂).

In questo caso basta osservare che
f(0)=-1<0  e che f(1)= 1_³+2*1²+2*1−1= 1+2+2-1=4>0
Di conseguenza lo zero x₀ è sicuramente compreso tra 0 e 1

A questo punto si considera il punto di mezzo  x'=(x₁ + x₂)/2
in questo caso x'=1/2
e si calcola la funzione in questo punto e i casi sono tre:
f(x')=0  e a questo punto abbiamo finito
oppure
 f(x')<0
oppure
 f(x')>0
In ognuno di questi ultimi due casi si trova un altro intervallo (x'₁ , x'₂) al quale appartiene x₀. 

SI NOTI CHE IL NUOVO INTERVALLO HA AMPIEZZA CHE VALE LA META' DELL'AMPIEZZA DEL PRIMO INTERVALLO.

In questo caso
f(x')=f(1/2)= (1/2)³+2(1/2)²+2/(1/2)−1= 1/8 + 2/4 +1-1>0,
e quindi , confrontando i valori  f(0)=-1<0  , f(1/2)>0  e f(1)>0
possiamo affermare che x₀ è sicuramente compreso tra 0 e 1/2, che ha ampiezza 1/4.

A questo punto si ripete il procedimento considerando il nuovo intervallo (x'₁ , x'₂)  e il suo punto di mezzo x"=(x'₁ + x'₂)/2 e si trova un altro intervallo di ampiezza che vale un quarto dell'ampiezza del primo intervallo,(essendo la metà della metà) e cosi' via ogni volta l'intervallo diminuisce della metà.
 
Nell'esempio basterà ripetere il procedimento altre 2 volte per arrivare a un intervallo di ampiezza 1/16 <1/10.

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FOGLIO6-D.17 Si determini l’equazione della tangente alla funzione  y = e^x/2, nel punto di ascissa x₀ = 0.
Se nel punto di ascissa x = 1 si approssima il valore della funzione con quello della sua tangente in x₀ = 0
(approssimazione di Taylor al primo grado), l’errore relativo è di circa il
17A 15%
17B 10%
17C 1,5%
17D 1%
17E non c’e’ errore
 
SCHEMA DELLA SOLUZIONE
Per iniziare il polinomio di Taylor di grado 1, coincide con la retta tangente NE SEGUENTE SENSO
essendo f(x)=e^x/2,   f '(x)=(1/2) e^x/2,  ed x₀=0 si ha che l'equazione della retta tangente è

y-f(x₀)= f '(x₀) (x-x₀) 

ossia

y=f(x₀) + f '(x₀) (x-x₀)  = e^0/2 +(1/2) e^0/2(x-0) = 1 + x/2

e il polinomio di Taylor è  T₁f(x)=f(x₀) + f '(x₀) (x-x₀) = 1 + x/2


L'errore relativo in x=1 è per definizione  |f(1)- T₁f(1)|/ |f(1)|= |e^1/2- (1 + 1/2)|/| e^1/2|

QUINDI si può semplicemente calcolare,

CON L'AUSILIO DI UNA CALCOLATRICE SCIENTIFICA

 e^1/2=1,6487212707001281468486507878142,   1 + 1/2=1,5

e perciò l'errore assoluto vale

|e^1/2- (1 + 1/2)|= 0,1487212707001281468486507878142

e l'errore relativo vale  |e^1/2- (1 + 1/2)|/| e^1/2| = 0,09020401043104986459430069751323

che è approssimativamente il 9%

e quindi la risposta è circa il 10%.


IL CHE CONCLUDE L'ESERCIZIO, MA
Più interessante sarebbe calcolare l'errore realtivo a priori, senza l'ausilio della calcolatrice scientifica:
allora potremmo dire che

|e^1/2- (1 + 1/2)|<= (1/2!) sup_{x in [0,1]} |f ''(x)| |1-0|^2 =

= (1/2) sup_{x in [0,1]} |(1/2)² e^x/2| = (1/8) sup_{x in [0,1]}  e^x/2=  (1/8)   e^1/2


dove l'ultima uguaglianza deriva dal fatto che la funzione e^x/2 è crescente.

A questo punto l'errore relativo  |e^1/2- (1 + 1/2)|/| e^1/2| 

 si può MAGGIORARE con

(1/8)  e^1/2/| e^1/2| = 1/8 =0,125 = 12,5%

CHE PERO' NON COMPARE TRA LE RISPOSTE DELL'ESERCIZIO ed è equidistante da 10% e 15%.

PERSONALMENTE AVREI FORMULATO LE RISPOSTE IN MODO DIVERSO, ad esempio avrei messo

17A 17%
17B 10%
17C 1,5%
17D 1%
17E non c’e’ errore
IN MODO DA POTER PENSARE COME VALIDI ENTRAMBI I PROCEDIMENTI.

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FOGLIO 8 (EQ-DIFFERENZIALI e progressioni) Gli individui di una colonia di moscerini aumentano in un giorno di una percentuale k rispetto al giorno precedente.
All’inizio dell’osservazione ci sono circa 90 moscerini. al termine del quarto giorno 400. Quanti sono dopo un giorno?
49A circa 170
49B circa 200
49C circa 50
49D circa 130 Risposta esatta.
49E circa150

Risolviamo questo quesito a tempo discreto
e chiamiamo x(t) il numero di moscerini al tempo t, con t=0,1,2,...
sappiamo che
x(0)=90
x(1)= (1+k/100) x(0)
è il numero di moscerini al termine del primo giorno
x(2)= (1+k/100) x(1)= (1+k/100) (1+k/100) x(0)=(1+k/100)2 x(0)
è il numero di moscerini al termine del secondo giorno
...
...
x(t)=(1+k/100)t x(0)
è il numero di moscerini al termine del t-esimo giorno

SAPPIAMO INOLTRE che
x(4)= 400
ossia che 400=x(4)=(1+k/100)4 x(0)= (1+k/100)4  90

da cui

 (1+k/100)4  = 400/90 =40/9 = 4,444 (circa)

e quindi

 (1+k/100) = ( 40/9)1/4 = 1,452 (circa)

e quindim alla fine del primo giorno il numero di moscerini è
x(1) =  (1+k/100) x(0) = 1,452 * 90 = 130,68 (circa)

e quindi la risposta è CIRCA 130

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RA1-D. 27 Una certa dieta prevede un consumo giornaliero di grassi compreso tra 60g e 80g, e un consumo giornaliero di carboidrati compreso fra 90g e 110g.
L’alimento A contiene il 30% di grassi e il 20% di carboidrati,
e l’alimento B contiene il 15% di grassi e il 60% di carboidrati.
Che quantità dei due alimenti occorre consumare per rispettare la dieta? Si rappresenti il problema e si fornisca un esempio.

SOLUZIONE
posto
x (in grammi)  la quantità giornaliera consumata di alimento A 
e
y (in grammi)  la quantità giornaliera consumata di alimento B
SE SI CONSUMANO SOLO GLI ALIMENTI A e B
la quantità di grassi  giornalera è 
0,30 x + 0,15 y
e
la quantità di carboidrati giornalera è 
0,20 x + 0,60 y

Le condizioni poste sono quindi equivalenti a
60 < 0,30 x + 0,15 y < 80
90 < 0,20 x + 0,60 y < 110
(andrebbe bene lo stesso se invece dei minori stretti si mettessero i minori o uguale)

60 < 0,30 x + 0,15 y < 80
rappresenta una striscia compresa tra le due rette parallele

 0,30 x + 0,15 y = 60   e      0,30 x + 0,15 y =80

ANALOGAMENTE
90 < 0,20 x + 0,60 y < 110
rappresenta una striscia compresa tra le due rette parallele

0,20 x + 0,60 y = 90    e    0,20 x + 0,60 y =110

e le quantità (x,y) permesse sono le quantità  individuate dai punti del piano ottenuti dall'intersezione di queste due strisce
(ovviamente andrebbe fatto un disegno nel piano cartesiano)

PER TROVARE UN ESEMPIO si puà ad esempio risolvere il sistema

0,30 x + 0,15 y = 70
0,20 x + 0,60 y = 100

che si può risolvere, ad esempio dividendo per 4 la seconda equazione

0,30 x + 0,15 y = 70
0,05 x + 0,15 y = 25

e sottraendo alla prima equazione la seconda equazione

si ha
0,30 x + 0,15 y = 70
0,25 x + 0 y      = 45
ovvero
x=45/(0.25) = 45/(1/4) = 45 *4 = 180
y= (70 - 0,30 x)/0,15  ovvero y= (70 - (30/100) 180 )/(15/100)
= ( 70*100 - 30*180 ) /15 = 1600/15 = 106,67 (circa)