lunedì 14 dicembre ore 15-17

Esempi di equazioni differenziali di primo e di secondo ordine.

ESEMPIO 0

Quando si calcola UNA PRIMITIVA (o l'integrale indefinito) di una funzione f(x) si cerca UNA FUNZIONE F(x) TALE CHE (o tutte le funzioni tali che)  la sua derivata F'(x) sia uguale  ad f(x): ossia F'(x)= f(x)

scrivendo y(x) invece di F(x) abbiamo quindi il primissimo esempio di equazione differenziale:

y'(x)=f(x)

di cui una primitiva F(x) è una soluzione e invece F(x)+C, al variare della costante C nei reali rappresenta l'insieme di tutte le soluzioni .

ESEMPIO 1

y'(x)=-2xy(x)

è un'equazione differenziale perché è un'equazione che coinvolge una funzione e le sue derivate

si dice del primo ordine, perché compare solo la derivata prima

A DIFFERENZA delle equazioni lineari (ad esempio) le soluzioni non sono numeri MA FUNZIONI!!

possiamo verificare che la funzione y(x)= e^-x2  

è soluzione dell'equazione  y'(x)=-2xy(x),

infatti  y(x)= e^-x2    e quindi  y'(x)= e^-x2 (-2x) =  y(x) (-2x) =-2x y(x)

SIMILMENTE anche tutte le funzioni 

 y(x)=  C e^-x2   , al variare di C nei numeri reali

sono soluzioni dell'equazione  y'(x)=-2xy(x),

infatti  y(x)= C e^-x2    e quindi  y'(x)= C e^-x2 (-2x) =  y(x) (-2x) =-2x y(x)

AFFERMAZIONE (senza dimostrazione):

Le funzioni y(x)= C e^-x2    sono tutte e sole

le soluzioni dell'equazione differenziale   y'(x)=-2xy(x),

La famiglia delle funzioni  y(x)= C e^-x2   , al variare di C nei reali, è detta soluzione generale dell'equazione   y'(x)=-2xy(x),

ESEMPIO 2

y''(x) =-y(x)

Anche questa è un'equazione differenziale, ma del secondo ordine, perché vi compare la derivata seconda

anche

y''(x)+hy(x)+ky(x) =0 (con h e k NUMERI REALI)

è un'equazione differenziale del secondo ordine, perché vi compaiono le derivate fino all'ordine due.

Tornando all'esempio si verifica facilmente che y(x)= sin(x) è soluzione di  y''(x)=-y(x),

INFATTI se y(x)= sin(x), allora y'(x)=cos(x)  e quindi y''(x)= -sin(x) = - y(x)

ma anche y(x)=A sin(x) è soluzione, per ogni scelta di A nei numeri reali

ANALOGAMENTE

si verifica facilmente che  y(x)= cos(x) è soluzione di  y''(x)=-y(x),

INFATTI se y(x)= cos(x), allora y'(x)=-sin(x)  e quindi y''(x)= -cos(x) = - y(x)

ma anche y(x)=B cos(x) è soluzione, per ogni scelta di B nei numeri reali

ED INFINE è facile verificare che y(x)=Asin(x)+Bcos(x) è soluzione, per ogni scelta di A e di B nei numeri reali

AFFERMAZIONE (senza dimostrazione)

 tutte e sole le soluzioni dell'equazione y''(x)=-y(x),

sono del tipo y(x)=A sin(x)+Bcos(x), con A e B reali

La famiglia delle funzioni y(x)=A sin(x)+Bcos(x), al variare di A e B nei reali è detta soluzione generale dell'equazione y''(x)=-y(x).

Soluzione generale di un'equazione differenziale: è la famiglia di tutte le soluzioni di un'equazione differenziale.

Come negli esempi precedenti dipende da una sola costante nel caso delle equazioni differenziali di primo grado

e  dipende invece da due costanti nel caso delle equazioni differenziali di secondo grado.

ESEMPIO 3

Nell'ESEMPIO 0 abbiamo visto che le equazioni differenziali del  in cui compare solo la derivata prima ma non la funzione stessa

ossia del tipo

y'(x) = f(x)

sono sostanzialmente lo stesso problema della ricerca delle funzioni primitive

Vediamo il caso in cui f(x)=3,  e poi il caso in cui f(x)=K costante:

y'(x)= 3   ha come soluzioni  y(x)=3x+C, C reale

più in generale

y'(x)= K   ha come soluzione generale   y(x)=Kx+C, con C reale

Analogamente

y'(x)= e^3x, ha come soluzione generale   y(x)= e^3x/3 +C, con C reale

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ESEMPIO 3 bis

anche le equazioni differenziali di secondo grado del tipo

y''(x)= f(x)

si risolvono con lo stesso metodo, ma ci vogliono DUE passaggi,

ad esempio, per ogni valore K fissato

y''(x)=K

possiamo affermare (integrando) che

y'(x) = K x + A,  con A reale

e quindi (integrando una seconda volta)

y(x) = Kx²/2 + A x + B, con A e B reali

che rappresenta la soluzione generale dell'equazione differenziale di secondo grado y''(x)=K

IMPORTANZA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Le equazioni differenziali servono a descrivere l'evoluzione nel tempo di fenomeni naturali: ad esempio la caduta di un oggetto:

supponiamo di lasciar cadere in nell'istante 0 un oggetto di massa 1kg  da un'altezza di 10 metri.

(trascurando la resistenza dell'aria) l'unica forza alla quale è sottoposto è la forza di gravità, quindi, per la legge di Newton,

posto y(t) il livello (rispetto al terreno) raggiunto dall'oggetto al tempo t si avrà che la sua accelerazione è pari alla costante g, ossia

y''(t)= - g,    dove g=9,8m/s²

(la forza è diretta nel verso opposto dell'asse delle y)

quindi

y'(t)= -g t +C₁,    per qualche costante C₁ 

e quindi

y(t)= - gt²/2 + C₁ t+ C₂, per qualche costante C₁, e per qualche costante C₂.

[SI NOTI che le dimensioni sono state omesse, ma dimensionalmente tutto funziona:

y(t) è misurata in metri, g in metri diviso secondi al quadrato, ma è motliplicata per t², che si suppone misurato in secondi,  e quindi si ottengono metri ]

Per determinare le due costanti  C₁ e  C₂ possiamo/dobbiamo imporre le condizioni

y(0)=10    e y'(0)=0  (abbiamo semplicemente lasciato cadere l'oggetto)

e quindi

10 = y(0)= - g0²/2 + C₁ 0+ C₂ =C₂

da cui C₂ =10

e

0=y'(0)= -g 0 +C₁,= C₁,

da cui C₁=0

e la SOLUZIONE è QUINDI  y(t)= - gt²/2+10 

e in tal caso l'oggetto tocca terra nell'istante in cui y(t)=0 ossia per t tale che

0=y(0)=- gt²/2+10   cioè  10= g t²/2  ossia t²= 20/g  = quindi t=(20/9,8)^1/2 =1,43 secondi CIRCA

SE INVECE AVESSIMO LANCIATO (verso l'alto) L'OGGETTO IN VERTICALE CON UNA VELOCITA' di  3m/s allora avremmo dovuto imporre le condizioni

y(0)=10    e y'(0)=3

da cui avremmo ottenuto di nuovo

10 = y(0)= - g0²/2 + C₁ 0+ C₂ =C₂ ,  da cui C₂ =10

e

3=y'(0)= -g 0 +C₁,= C₁,   da cui  C₁=3,

e quindi la SOLUZIONE sarebbe stata

y(t)= - gt²/2 + 3 t+ 10

e in tal caso l'oggetto tocca terra nell'istante in cui y(t)=0 ossia per t tale che

0=y(0)=- gt²/2+3t+10   cioè   g t² -6t-20=0 ossia t₁,t₂ = [3± (9+20*9,8)^1/2]/9,8  quindi

(ovviamente scegliamo la soluzione positiva)

t= [3+ (9+20*9,8)^1/2]/9,8 =1,77 secondi CIRCA

(e quindi, come c'era da aspettarsi, ci mette più tempo rispetto al caso precedente)

Successioni numeriche: progressioni aritmetiche e progressioni geometriche.

Facciamo un passo indietro e vediamo come le successioni aritmentiche e quelle geometriche

possono essere pensare come MODELLI DI EVOLUZIONE, MA A TEMPO DISCRETO, ovvero

forma ricorsiva e interpretazione come equazioni alle differenze: analogia con il caso continuo

Richiamo:

una successione è una funzione  dall'insieme dei numeri naturali a valore nell'insieme dei numeri reali

NOTAZIONE x( n) oppure x_n

PROGRESSIONI ARITMETICHE

S( n) = S + n d,   n = 0, 1, 2, ..., n, .... 

PROGRESSIONI GEOMETRICHE

C( n) = C qⁿ,     n = 0, 1, 2, ..., n, ....  (q diverso da 1)

STUDIO DELLE PROGRESSIONI ARITMETICHE

S( n) = S + n d,   n = 0, 1, 2, ..., n, .... 

ovvero

S(0)=S             (primo termine della progressione aritmetica)

S(1)= S+d        (secondo termine della progressione aritmetica)

S(2)= S+2d      (terzo termine della progressione aritmetica)

S(3)= S+3d        (quarto termine della progressione aritmetica)

e così via

S è  detto primo termine della progressione aritmetica

d è detto  RAGIONE o DIFFERENZA della progressione aritmetica

il motivo del nome differenza è facilmente spiegabile, infatti

d=S(1)-S(0)= S(2)-S(1)= S(3)-S(2)=.....= S( n)-S(n-1)

ANZI in effetti possiamo affermare che

S( n) =S + n d

è una  soluzione  dell'equazione alle differenze

x( n)-x(n-1)= d   OVVERO EQUIVALENTEMENTE x( n)= x(n-1)+d

e che la soluzione generale della precedente equazione è

x( n) = n d +C

Infatti, posto C=x(0) si ha

x(0) = C,

x(1) = x(0) + d = C + d

x(2) = x(1) + d = [ x(0) + d ] + d = x(0) + 2 d = C + 2 d

x(3) = x(2) + d = [ x(0) + 2 d ] + d = x(0) + 3 d = C + 3 d

e così via

SI NOTI l'analogia  della equazione alle differenze

x( n)-x(n-1)= d  con soluzione  generale  x( n) = C + n d

con l'equazione differenziale y'(t) = K con soluzione generale  y(t) = C + K t

UN ALTRO PROBLEMA  interessante è trovare la formula della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica  

ossia della somma

S(0) + S(1) + S(2) + ...+ S(n-1) =

= S + (S + d) + (S + 2 d) + (S + 3d) + ... + (S + (n-1) d)

=  S + S+ S + S+... +  S  +                            ( n addendi)

  + 0 +1 d + 2 d+  3 d+ ... + (n-1) d  =           ( n addendi incluso lo zero)

= n S + d [1 + 2 + 3 + ... + (n-1) ] =

= n S + d (n-1) n/2

dove nell'ultima uguaglianza abbiamo usato la formula

1+2+...+m = m(m+1)/2

SI NOTI l'analogia con la formula:

∫₀^t( H+ K x) dx = H t + K t²/2

STUDIO DELLE PROGRESSIONI GEOMETRICHE

C( n) = C qⁿ,     n = 0, 1, 2, ..., n, ....  (q diverso da 1)

si vede facilmente che C( n)  è soluzione dell'equazione alle differenze

x ( n) - x( n-1) = (q -1) x( n-1) 

OVVERO, EQUIVALENTEMENTE

x( n) = q x( n-1)

INFATTI

C( n) = C qⁿ = C q^n-1 q = C(n-1) q = q C( n-1)

D'altra parte si vede facilmente che, posto C=x(0), le soluzioni di   

x( n) = q x( n-1) 

è data da x(0) qⁿ = C qⁿ , infatti

x(0)= C

x(1)= q x(0) = q C = C q¹ ,

x(2)= q x(1) = q C q¹ = C q² ,

x(3)= q x(2) = q C q² = C q³ ,

e così via

SI NOTI l'analogia con l'equazione differenziale

y'(t)= a y(t)   la cui soluzione generale è y(t)= C e^at,

[come si verifica facilmente: (d/dt) y(t)= C a e^at= a C e^at= a y(t) ]

ALTRO PROBLEMA INTERESSANTE: calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica, ossia calcolare

  C(0) + C(1) + C(2) + ... + C(n-1) =

= C + C  q¹ + C  q² + ...+  C q^n-1 =

= C [ 1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1]  =

= C [1- qⁿ ]/(1-q)  = C  [qⁿ -1]/(q-1)   ATTENZIONE C'ERA UN ERRORE DI STAMPA!!!

(ovviamente la prima forma si usa per q<1 e la seconda per q >1,

di modo che il denominatore è sempre positivo)

dove l'ultima uguaglianza  è dovuto al fatto che

 1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 = [1- q^n-1 ]/(1-q)  

INFATTI

da una parte

 1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 +qⁿ  = [1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] + qⁿ

dall'altra parte

 1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 +qⁿ  = 1+ [q¹ +  q² + ...+   q^n-1  + qⁿ ]=

=  1+ q [1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ]

QUINDI

[1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] + qⁿ=1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 +qⁿ  =

= 1+ q [1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ]

OVVERO

[1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] + qⁿ = 1+ q [1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ]

DA CUI,

[1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] -  q [1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] = 1 -  qⁿ

OVVERO

[1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 ] (1-  q) = 1 -  qⁿ

e quindi, SE q è diverso da 1,

1+ q¹ +  q² + ...+   q^n-1 = [1 -  qⁿ]/(1-q)

mercoledì 16 dicembre ore 15-17

Dopo aver rivisto quanto fatto nella lezione di lunedì, abbiamo notato l'analogia della somma delle progressioni  geometriche con l'integrale tra 0 e t della funzione

y(t)=C e^at , soluzione dell'equazione y'(t)= a y(t)

infatti

una progressione geometrica x(n)=Cqⁿ 

è  soluzione dell'equazione alle differenze

x( n)-x(n-1)= (q-1) x(n-1)

e 

∑_k=0^n-1 C q^k = C [ qⁿ-1]/(q-1)

e 

∫₀^t Ce^axdx= C e^ax|₀^t/a  = C [e^at-1]/a

L'analogia diviene più evidente quando si osserva che, per q>0,

posto q=e^a,   ossia a = ln(q)

si ha    Cq^k = C e^ak,

e quindi una progressione geometrica cresce esponenzialmente per q>1 e descresce esponenzialmente per 0<q<1

(quando q è negativa invece  Cq^k cambia segno a seconda se k è pari o dispari)

 

COMMENTO SUGLI ESERCIZI D13 e D14 del FOGLIO 8 dell'Eserciziario

D13  La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 6%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo
t = 0. La funzione che descrive l’andamento della  concentrazione e’

13A C(t) = e^−0,06t    Risposta esatta.

13B C(t) = (1,06)^t

13C C(t) = e^−0,94t

13D C(t) = e^−1,06t

13E C(t) = (−0,06)^t

D. 14 La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 6%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo
t = 0. La funzione che descrive l’andamento della concentrazione e’

14A C(t) = (0,94)^t Risposta esatta.

14B C(t) = (1,06)^t

14C C(t) = e^−0,94t

14D C(t) = e^−1,06t

14E C(t) = (−0,06)^t.

A PRIMA VISTA  SI RIMANE SCONCERTATI, ma c'è una spiegazione:

in realtà nell'equazione y'(t)=a y(t)  il coefficiente a rappresenta  il tasso di variazione a tempo continuo o anche tasso istantaneo di variazione

mentre nell'equazione x( n) - x(n-1)= (q-1) x(n-1)  il coefficiente r = q-1 rappresenta il tasso di variazione a tempo discreto  

si parla poi di tasso (istantaneo) di crescita se a >0  nel caso a tempo continuo

e di tasso di crescita a tempo discreto q-1>0  (ovvero se q>1)  (ovviamente nel caso a tempo discreto)

e di tasso (istantaneo) di decrescita  b, con b>0, se a=-b<0 , nel caso a tempo continuo

e  di tasso di decrescita a tempo discreto  p, con p>0  se -1<q-1<0  (ovvero se 0<q<1) , (ovviamente nel caso a tempo discreto)

Quindi D13 si riferisce al caso a tempo continuo, mentre D14 si riferisce al caso a tempo continuo.

TUTTAVIA ANCHE SE I TESTI DEGLI ESERCIZI NON SPECIFICANO se siamo a tempo continuo o a tempo discreto, va sottolineato che dalle risposte si capisce che l'unica risposta possibile è quella vicino alal quale c'è scritto risposta esatta:

esaminiamo l'esercizio D 13:

13A C(t) = e^−0,06t   PLAUSIBILE se si interpreta la frase diminuisce nell’unita’ di tempo del 6% come il tasso istantaneo di decrescita vale 0,06=6%

13B C(t) = (1,06)^t va scartata perché   (a tempo discreto)    è una funzione crescente

13C C(t) = e^−0,94t   va scartata perché (a tempo continuo)    è una funzione  con tasso (istantaneo) di decrescita  0,94 e NON 0,06(=6%)

13D C(t) = e^−1,06t   va scartata perché (a tempo continuo)    è una funzione  con tasso (istantaneo) di decrescita  1,06 e NON 0,06(=6%)

13E C(t) = (−0,06)^t    va scartata perché  (a tempo discreto) è una funzione che cambia segno e non avrebbe significato in questo contesto

esaminiamo l'esercizio D 14:

14A C(t) = (0,94)^t     PLAUSIBILE se si interpreta la frase diminuisce nell’unita’ di tempo del 6% come il tasso  discreto di decrescita vale 0,06=6%

                                     e quindi q-1=- 0,06 da cui  q=1-0,06= 0,94

14B C(t) = (1,06)^t        va scartata perché   (a tempo discreto)    è una funzione crescente

14C C(t) = e^−0,94t   va scartata perché (a tempo continuo)    è una funzione  con tasso (istantaneo) di decrescita  0,94 e NON 0,06(=6%)

14D C(t) = e^−1,06t    va scartata perché (a tempo continuo)    è una funzione  con tasso (istantaneo) di decrescita  1,06 e NON 0,06(=6%)

14E C(t) = (−0,06)^t.  va scartata perché  (a tempo discreto) è una funzione che cambia segno e non avrebbe significato in questo contesto

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sono stati svolti diversi esercizi ed esempi: tra i quali DA FOGLIO 2 dell'Eserciziario

D7, D11, D27

in particolare per il D27: I primi tre termini di una progressione geometrica sono, nell’ordine, k-3, 2k-4, 4k-3.

La ragione della successione e’:

va usato il fatto che essendo C(0)=C, C(1)=C q, e C(2)= C q², 

il valore cercato q, ossia il valore della ragione della progressione geometrica, è uguale a

q= C(1)/C(0) , ma anche C(1)/C(0)

Dal testo sappiamo che C(0)=k-3, C(1)=2k-4, C(2)=4k-3 .

uguagliando  C(1)/C(0)  = C(2)/C(1)  ossia  (2k-4)/(k-3)= (4k-3)/(2k-4)  si ottiene k=7 e quindi q= C(1)/C(0)=(2k-4)/(k-3) = 5/2

[SI CONSIGLIA DI CONTROLLARE SE LO STESSO RISULTATO VIENE PONENDO q=C(2)/C(1)= (4k-3)/(2k-4): se non venisse vorrebbe dire che abbiamo comemsso un qualche errore... ]

si consiglia di svolgere gli esercizi D12, D13, D17, D18, D19, D 20, D25, D31, D 32, D35, D 36, D37

giovedì 17 dicembre ore 13-15

ATTENZIONE QUESTA PARTE COMPRENDE ANCHE ARGOMENTI NON ANCORA  SVOLTI

ESEMPI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1) Equazione differenziale del tipo dy/dx= k y/x

con soluzione generale y(x)=Cx^k: soluzione per verifica

INFATTI  y'(x)=C k x^k-1 =  k C x^k/x = k y(x)/x.

2) Equazione differenziale del tipo dy/dx= a y(1-y) , con a>0 e con la richiesta che 0<y<1,

con soluzione generale y(x)=1/(1+Ce^-ax): soluzione per verifica, solo per C>0

(così la funzione y(x) è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 )

INFATTI, ricordando che (d/dx)[1/f(x)]= - f'(x)/f²(x)

y'(x)= - [ C e^-ax (-a) ]/ [ 1+ C e^-ax ]²=  ( 1/[ 1+ C e^-ax ]  ) ([ a C e^-ax ]  /[ 1+ C e^-ax ] )

= y(x) a (1-y(x) ) = a y(x)  (1-y(x) )

in quanto  a(1-y(x))= a (1-  1 /[1+ C e^-ax ] ) = a ( [1+ C e^-ax -1] /[1+ C e^-ax ] )=   a C e^-ax /[1+ C e^-ax ] 

Studio delle soluzioni y(x)=1/(1+Ce^-ax) al variare di C>0, ossia

a) la funzione è definita per ogni x e vale 0<y(x)<1 per ogni x

b) la funzione è crescente su tutto R, infatti

y'(x)= a y(x)  (1-y(x) ) >0   [in quanto a>0, y(x)>0 e 1-y(x)>0]

c) COMPORTAMENTO AI BORDI

lim_x→+∞   y(x)= lim_x→+∞ 1/[1+ C e^-ax ] =1/[1+0]=1

lim_x→-∞y(x)= lim_x→-∞ 1/[1+ C e^-ax ] (=1/[1+∞] )=0

d) PUNTI DI FLESSO, CONCAVITA' e CONVESSITA'

per trovare i punti di flesso e studiare la concavità e la convessità di y(x) bisogna calcolare la derivata seconda e studiarne il segno,

ma invece di calcolarla esplicitamente utilizziamo l'equazione differenziale che la funzione y(x) soddisfa, come illustrato qui sotto:

y''(x)= (d/dx) y'(x) = (d/dx) a y(x)  (1-y(x) ) = a(d/dx)[ y(x) -  y²(x) ]= a [y'(x)-2y(x)y'(x) ]= a y'(x) [1-2y(x)]

ora si vede immediatamente che essendo a> e y'(x)>0 [come visto nel punto b)]

y''(x) >0 se e solo se 1-2y(x) >0 ossia la funzione è convessa se e solo se y(x)<1/2, è concava se e solo se y(x) >1/2 ed ha un flesso se e solo se y(x)=1/2

INFINE a soluzione di y(x)=1/2 equivale a trovare x tale che

1/[1+ C e^-ax ] =1/2     cioè   1+ C e^-ax  = 2      cioè    C e^-ax  = 1   

cioè (moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per e^ax )   

C  = e^ax,  ed infine si ottiene   che l'unico punto di flesso è 

x=ln(C)/2 

ATTENZIONE y(x)=1/(1+Ce^ax) è soluzione dell'equazione dy/dx= - a y(1-y)

Enunciato (parziale) del Teorema di Cauchy sull'esistenza e unicità delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale  y'(x) = Φ(x,y(x)) con condizione iniziale y(x₀)=y₀.

SOTTO OPPORTUNE CONDIZIONI sulla funzione  Φ(x,y), esiste ed è unica la soluzione di y'=Φ(x,y) con condizione iniziale y(x₀)=y₀.

METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 1:

data una soluzione generale, che dipende da una costante C (o meglio da un parametro C) ,
si deve imporre la condizione che y(x₀)=y₀, e trovare il valore C:
il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola soluzione.

ESEMPIO la soluzione di y'(x)= 3 y(x)  (1-y(x) ) con y(1)=3/4  è quella funzione 

y(x)= 1/[1+ C e^-3x ]  tale che y(1)= 1/[1+ C e^-3 ] =3/4 ossia  1+ C e^-3= 4/3, ossia C=e³/3, e la soluzione cercata è

y(x)= 1/[1+ (e³/3) e^-3x ]= 3/[3+ e^-3(x-1) ]

METODO GENERALE PER TROVARE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY di ordine 2:

ossia del problema del tipo    y''(x)=Φ(x,y(x), y'(x)) con condizioni iniziali y(x₀)=y₀ e  y'(x₀)=y'₀.

Data una soluzione generale, che dipende da due costanti A e B, imporre le condizioni che y(x₀)=y₀ e y'(x₀)=y'₀,  e trovare i valori  A e B:

il teorema di Cauchy ci garantisce che si trova sempre una e una sola coppia (A,B) che individua la soluzione cercata.

Nel libro si accenna al caso in cui  invece delle condizioni del tipo  y(x₀)=y₀ e y'(x₀)=y'₀, si richiedono condizioni del tipo y(x₀)=y₀ e y(x₁)=y₁.

 In questo caso PUO' SUCCEDERE che ci sia una sola soluzione, oppure nessuna o infinite.

Come esempio abbiamo visto il caso dell'equazione del tipo

y''(x)=- k y(x)  con k>0  

la cui soluzione generale è

y(x)= A sin (√k x) + B cos (√k x).

Considerando che

y'(x)= A cos (√k x) √k  -  B sin (√k x) √k .

e che quindi

y(x₀)= A sin (√k x₀) + B cos (√k x₀),

e

y'(x₀)= A cos (√k x₀) √k - B sin (√k x₀) √k,

imporre la condizione  y(x₀)=y₀ e y'(x₀)=y'₀,

significa risolvere il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite A e B

A sin (√k x₀) + B cos (√k x₀)=y₀,

A cos (√k x₀) √k - B sin (√k x₀) √k= y'₀,

la cui matrice è

  sin (√k x₀)            cos (√k x₀) 

 cos (√k x₀) √k       - sin (√k x₀) √k 

con determinante

 - sin²(√k x₀) √k - cos²(√k x₀) √k= - √k (  sin²(√k x₀)  + cos²(√k x₀)   )  =  - √k ≠ 0

e quindi esiste sempre una e una sola soluzione (come del resto ci garantisce il teorema di Cauchy)

INVECE se proviamo ad imporre le condizioni "al bordo" del tipo y(x₀)=y₀ e y(x₁)=y₁, otteniamo il sistema

A sin (√k x₀) + B cos (√k x₀)  =  y₀,

A sin (√k x₁) + B cos (√k x₁)  = y₁,

la cui matrice è

  sin (√k x₀)            cos (√k x₀) 

 sin (√k x₁)             cos (√k x₁)

con determinante

  sin(√k x₀) cos (√k x₁) - cos(√k x₀) sin (√k x₁)  =   sin(√k x₀- √k x₁) 

che può essere nullo  o non a seconda dei valori di √k,  x₀  e x₁

e quindi NON E' DETTO CHE abbia una e una sola soluzione, ossia ce ne è una e una sola se  sin(√k x₀- √k x₁) ≠ 0,

mentre se sin(√k x₀- √k x₁) = 0 potrebbe non avere soluzione o invece potrebbe accadere che ne abbia infinite (dipende dai valori di y₀ e y₁)

----------------------------------------------------------------

l'equazione y'(t)=ay(t)  ha soluzione generale y(t)=C e^at, se si impone la condizione iniziale y(t₀)=y₀, si ottiene che

y(t₀)=C e^at₀,  da cui    y₀ =C e^at₀,

ovvero

C= y₀  e^-at₀,

ed in definitva

 y(t)=y₀  e^-at₀ e^at = y₀  e^a(t-t₀),

ESERCIZIO D. 34 del FOGLIO 2 ricordando che l'equazione del decadimento radiottivo

è del tipo  y'(t)=-λy(t)  (con λ>0)  per cui la soluzione è

y(t)=C e^-λt,   (dove C= y(0))  e quindi il tempo di dimezzamento si può trovare come il tempo T tale che

y(T)=y(0)/2  cioè tale che

C e^-λT = C/2     OVVERO  e^-λT = 1/2      OVVERO  e^λT = 2   da cui  λT=log(2)  e quindi

se   λ è noto possiamo trovare T [= log(2)/λ] e viceversa se T è noto possiamo trovare λ [= log(2)/T]

OSSERVAZIONE/ suggerimento:  per risolvere l'esercizio può essere anche  utile osservare che

  il tempo S in cui la sostanza diventa un quarto rispetto al valore iniziale è invece tale che

C e^-λS = C/4     OVVERO  e^-λS = 1/4      OVVERO  e^λS = 4   da cui  λS=log(4)= 2 log(2) e quindi S=2T

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METODI DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1) Equazioni differenziali a variabili separabili   OSSIA del tipo

y'(x)= g(x) h( y)

Per la spiegazione di questo metodo bisogna ricordare la nozione di differenziale di una funzione  f(x) e riscritto il metodo di integrazione per sostituzione con l'uso dei differenziali.

(TRA L'ALTRO QUESTO FATTO SPIEGA IL NOME DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI)

DEFINIZIONE Data una funzione derivabile f(x), con derivata continua, si chiama differenziale di f(x) l'espressione  df(x)= f'(x)dx

SIGNIFICATO GEOMETRICO del differenziale:  fissato x₀, l'equazione della retta tangente in x₀, è     y(x)-f(x₀)=f'(x₀) (x-x₀), ovvero

y(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀)

ed  in particolare y(x₀)=f(x₀).  Se consideriamo la differenza della retta tangente nei punti x₀+Δx e x₀, ossia y(x₀+Δx) -y(x₀), si ha che

y(x₀+Δx) -y(x₀) = f(x₀) + f'(x₀) (x₀+Δx-x₀)  - f(x₀) =  f'(x₀)  Δx

Prendendo un x generico al posto di x₀ e dx al posto di Δx otteniamo che

y(x +dx) -y(x) =    f'(x)  dx  = df(x)

e QUINDI il significato geometrico del differenziale come incremento della retta tangente nell'intervallo di estremi x e x+dx

Questa notazione permette di riscrivere la regola di integrazione per sostituzione in modo più " accattivante"

Supponiamo che ∫ φ(x) dx = Φ(x) +C

(ma possiamo anche scrivere ∫ φ(t) dx = Φ(t) +C   )

e che f(x) sia una funzione derivabile, con derivata continua, allora sappiamo che

∫ φ(f(x)) f'(x)dx = Φ(f(x)) +C = Φ(t)| _t=f(x) +C  

ora, usando il differenziale possiamo riscrivere questa formula come

∫ φ(f(x)) f'(x)dx = ∫ φ(f(x)) df(x) = ∫ φ(f) df | _f=f(x) .

QUESTO MODO DI SCRIVERE CI SARA' UTILE PER SCRIVERE PIU' SEMPICEMENTE il METODO DI SOLUZIONE PER LE EQUAZIONE A VARIABILI SEPARABILI.

INFATTI un'equazione del tipo

y'(x)= g(x) h( y(x) )

equivale a  y'(x) dx = g(x) h( y(x)) dx ovvero a  [y'(x) dx]/ h( y(x)) = g(x) dx

e quindi i due integrali indefiniti  sono uguali ossia

∫ [1/ h( y(x))] y'(x) dx = ∫ g(x) dx  che possiamo esprimere anche come

∫ [1/ h( y(x))] dy(x) = ∫ g(x) dx

o brevemente come

∫ [1/ h( y)] dy | _y=y(x)= ∫ g(x) dx

di conseguenza, posto H(t) una primitiva di 1/h(t)  e G(x) una primitiva di g(x) si ottiene

H(y(x))= G(x) + C

e  SE LA FUNZIONE H è INVERTIBILE

per ottenere la funzione y(x) basta applicare a entrambi i membri della precedente uguaglianza la funzione  H^-1

ottenendo così la soluzione generale dell'equazione differenziale

y(x)=  H^-1 ( H(y(x)) ) = H^-1( G(x) + C )

ESEMPIO
1)  calcolo della soluzione dell'equazione dy/dx= k y/x  (per x>0)  che è a variabili separabili:

dy/y=kdx/x    da cui     ∫ [1/ y(x)] dy(x) = ∫ k [1/x] dx    ovvero    log(|y(x)|) = k log(x)+c    ovvero  |y(x)|=x^k e^c

a questo punto possiamo osservale che |y(x)| è sempre diverso da zero e quindi la soluzione non può cambiare segno
e quindi la solzuione generale è y(x)=C x^k   , (per x>0)   dove C= +  e^c , oppure C= -e^c , a seconda del segno di y.

Per calcolare la soluzione del problema di Cauchy si può procedere come al solito: data la soluzione  generale del problema si impone la condizione iniziale

2) Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti non costanti ossia del tipo

a(x)y'(x) + b(x) y(x) + c(x) = 0  

con a(x)≠0 (ALTRIMENTI NON è un'equazione differenziale)

e quindi equivalente a

y'(x) + [b(x)/a(x)] y(x) + [c(x)/a(x)] = 0   

cioè, posto  B(x)=b(x)/a(x) e C(x)=c(x)/a(x),  equivalente a

y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0  

        (a) CASO OMOGENEO (cioè C(x)=0)    e quindi a variabili separabili

        (b) CASO  GENERALE (cioè C(x) non necessariamente nullo)    con il metodo della variazione delle costanti (ideato da Lagrange)  

Il metodo è spiegato sul libro 

(a) CASO OMOGENEO (cioè C(x)=0)    e quindi a variabili separabili

l'equazione omogenea è  y'(x) + B(x) y(x)  = 0

che è a variabili separabili ossia y'(x)/y(x)=-B(x) che equivale a

dy/y=-B(x)dx    cioè   ∫dy/y = - ∫B(x)dx  

e quindi, se F_B(x) è una primitiva di B(x), cioè (d/dx)F_B(x)=B(x),

  ln|y(x)| = - F_B(x) +c

(equivalentemente, come sul libro, si scrive anche ln|y(x)| = - ∫B(x)dx +c )

da cui, posto C=e^c, (e quindi C>0)

|y(x)| = e^ln|y(x)| = e^{- F_B(x) +c}= C e^{- F_B(x)}

(o anche, come sul libro, |y(x)| = C e^{- ∫B(x)dx} )

ora ci accorgiamo che si può tolgiere il valore assoluto e si ottiene che la soluzione generale è

y(x) =   C e^{- F_B(x)} (o anche y(x)= C e^{- ∫B(x)dx} ),

con C che può assumere un qualunque valore reale (senza la restrizione che C>0)

venerdì 18 dicembre ore 11-13 NON C'E' L'AULA

lunedì 21 dicembre ore 15-17

 Equazione lineare del primo ordine non omogenea

 y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0 

dopo aver ricordato come si trova la soluzione nel caso C(x)=0, abbiamo visto

(b) CASO  GENERALE (cioè C(x) non necessariamente nullo)    con il metodo della variazione delle costanti (ideato da Lagrange) 

Ora si cerca la soluzione dell'equazione differenziale non omogenea

 y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0  o equivalentemente  y'(x) = - B(x) y(x) - C(x)

del tipo                        y(x)=u(x) e^{- F_B(x)} 

cioè:

al posto della costante C si mette una funzione u(x) che "varia al variare di x"

da questa osservazione il nome di metodo della variazione delle costanti (o della costante)

y'(x) = (d/dx)[u(x) e^{- F_B(x)} ]  = u'(x) e^{- F_B(x)} + u(x) e^{- F_B(x)} (-B(x)) 

        = u'(x) e^{- F_B(x)} -B(x) u(x) e^{- F_B(x)} = u'(x) e^{- F_B(x)} -B(x) y(x) 

e quindi la funzione y(x)=u(x) e^{- F_B(x)}  è soluzione dell'equazione  y'(x) = - B(x) y(x) - C(x) se e solo se

u'(x) e^{- F_B(x)} - B(x) y(x) = - B(x) y(x) - C(x)

ossia se e solo se

u'(x) e^{- F_B(x)}  = - C(x)    cioè     u'(x)  = - C(x)  e ^F_B(x) 

che equivale a chiedere che

u(x)=  - ∫ C(x)  e ^F_B(x) dx = L(x)+C  dove L(x) è una primitiva di C(x)  e ^F_B(x) .

In definitiva la soluzione dell'equazione lineare non omogenea

 y'(x) + B(x) y(x) + C(x) = 0 

è data da

y(x) = -  (∫ C(x)  e ^F_B(x) dx ) e^{- F_B(x)}  = (-L(x) +C) e^{- F_B(x)}  

ovvero, come sul libro,

>y(x) = -  e^{- ∫B(x) dx} (∫ C(x)  e ^∫B(x) dx + K)

ESEMPIO   equazione differenziale y'=A(M-y)

OMOGENEA    y' = -Ay     la cui soluzione è     y_o(x) = C e^-Ax 

(il sottoindice ci ricorda che è la soluzione dell'equazione differenziale omogenea)

cerchiamo la soluzione di  y'=AM-Ay  del tipo

y(x) = u(x) e^-Ax 

da cui

y'(x) = (d/dx)[ u(x)  e^-Ax ] =

= u'(x) e^-Ax  + u(x) e^-Ax  (-A) =

= u'(x)   e^-Ax  -A u(x) e^-Ax 

=  u'(x) e^-Ax -  Ay(x)

= MA - Ay(x)

 se e solo se

u'(x) e^-Ax  = MA    

cioè   (moltiplicando per  e^Ax ambo i membri dell'uguaglianza)

u'(x) e^-Ax  e^Ax = MA  e^Ax ,    ossia              u'(x) = MA e^Ax = M (d/dx)[e^Ax]  

da cui  u(x)= M e^Ax+ C

e quindi la soluzione dell'equazione non omogenea  

y'=AM-Ay  è   y(x)= u(x)e^-Ax   =   (M e^Ax+ C)e^-Ax  = M + Ce^-Ax   

Esempio di come ricavare un'equazione differenziale:

La legge del raffreddamento di NEWTON afferma che la velocità di raffreddamento di un corpo è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l'ambiente.

Se la temperatura dell'ambiente è costante e vale M  e β è la costante di proporzionalità,

posto y(t) la temperatura del corpo al tempo t

scrivere l'equazione differenziale che soddisfa la funzione temperatura del corpo.

---------------------------------------------------------------
La velocità di raffreddamento è la derivata di y(t): il rapporto  [y(t+Δ)-y(t)]/Δ rappresenta la velocità media di raffreddamento nell'intervallo [t, t+Δ] e quindi, mandando Δ a zero si ottiene la derivata y'(t).

La differenza tra temperatura del corpo e temperatura dell'ambiente è y(t)-M

e quindi la legge di Newton ci assicura che,

y'(t) = β (y(t)-M) che è del tipo   y'=A(M-y) con A=-β.

La soluzione generale è quindi y(t)= M + Ce^-At = M + Ce^βt  

Supponiamo ora che la temperatura iniziale sia y(0)=M+2 (>M) e troviamo la soluzione particolare:

basta imporre       y(0)=M+Ce^β0 = M+C = M+2,  cioè C=2

da cui la soluzione particolare è

  y(t)=M +2 e^βt 

OSSERVANDO che  a seconda del segno di β si ha un comportamento diverso per t che tende all'infinito, ossia

SE β>0   ALLORA  lim _t→+∞ y(t)=lim _t→+∞M +2 e^βt = +∞ 

SE β=0   ALLORA   y(t)= M +2 e^0t = M+2

SE β<0   ALLORA  lim _t→+∞ y(t)=lim _t→+∞M +2 e^βt = M

capiamo che il valore di β deve essere negativo:  ci aspettiamo che se mettiamo un corpo in un ambiente a temperatura costante M, dopo un certo tempo anche la temperatura del corpo sarà M (ovvero talemente vicina a M da essere indistinguibile da M)

ALTRO ESERCIZIO SVOLTO vedere 

D40 FOGLIO RA2.  in

RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI

QUI RIPORTO SOLO IL TESTO

In un lago di pesca sportiva i pesci si riproducono ad un tasso del 3% alla settimana. Ogni settimana vengono pescati 36 kg di pesce. Si supponga che al
tempo t=0 ci siano 200 kg di pesce nel lago. Si scriva l’equazione differenziale che descrive il problema.

Qual e’ il valore di stabilita’? (sarebbe MEGLIO dire di EQUILIBRIO)

Si descriva l’andamento delle funzione che risolve il problema.

La quantita’ di pesci nel lago aumenta o diminuisce?
Se aumenta, dopo quanto tempo raddoppia?

Se diminuisce, dopo quanto tempo il lago e’ vuoto?

(vedere  RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI , dove si trova che la soluzione generale è x(t)= C e^Ht - (K/H)

ma se si richiede che x(0)=x  allora la soluzione del problema di Cauchy  è   x(t)= ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H)

si tratta della soluzione dell'equazione generale di un'equazione differenziale lineare del primo orfdine nel caso in cui B(x)=-H e C(x)=-K

IMPORTANTE: LA SPIEGAZIONE di  cosa significa valore di equilibrio nel caso di un'equazione del tipo  x'(t)=Hx(t)+K  ( con H diverso da 0).

Sia  α tale che H α +K = 0   ossia   α = -K/H 

allora la funzione costante x(t) =  α = -K/H   è soluzione dell'equazione    x'(t)=Hx(t)+K

infatti chiaramente  si ha

da una parte che x'(t)=0 in quanto x(t) è costante

e dall'altra H x(t)+K = H α + K= 0

e quindi banalmente  vale x'(t)=Hx(t)+K   ( entrambi  i membri sono nulli) 

QUESTO SIGNIFICA CHE L'UNICA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE x'(t)=Hx(t)+K con dato iniziale x(0) = α è la soluzione costante x(t)=α

(l'unicità è data dal teorema di Cauchy)

in altre parole, (pensando a x(t) come al moto di un punto) se inizialmente il punto è nella posizione α di equilibrio, allroa il punto non si sposta.

Per parlare di stabilità bisognerebbe controllare SE  x(t) tende al valore α per t che tende ad infinito.

QUESTO E' IL CASO DELL'ESERCIZIO D. 45  del Foglio 8:

Ad un paziente vengono somministrati 4 mg di un certo farmaco. Il tasso di smaltimento del farmaco
e’ dell’ 80% al giorno. Dopo il primo giorno, viene giornalmente somministrata una nuova dose Q = 2 mg.

La funzione che descrive lo smaltimento del farmaco nel tempo ha un andamento

decrescente e tendente all’asintoto orizzontale y = 2,5

Infatti, nell'ipotesi che

(i) il farmaco venga somministrato per via endovenosa tramite una flebo, durante tutto la giornata,

e

(ii) che il tempo sia misurato in giorni, e la quantità di farmaco in mg

1) l'equazione differenziale è

y'(t)= -80/100 y(t)+ 2,  y(0)= 4

2) ricordando che la soluzione di  x'(t)=H x(t)+K, x(0)=x   è data da  x(t)= ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H),

la soluzione particolare cercata vale

y(t)=  [4 + 2/(-8/10)] e^{-0.8 t} - 2/(-8/10) =  [4 - 20/8] e^{-0.8 t} + 20/8 = [4 - 2,5] e^{-0.8 t} + 2,5 = 1,5 e^{-0.8 t} + 2,5

 e quindi

la soluzione è una funzione decrescente e tende a 2,5 per t che tende a + infinito.

OSSERVAZIONE:

se invece il farmaco fosse iniettato tutto insieme ogni mattina alla stessa ora (ad esempio con un'inezione endovenosa) allora

l'andamento sarebbe invece del tipo

y'(t) = -80/100 y(t), per t in [0,1)  con y(0)= 4 per cui per t in [0,1) si avrebbe y(t)= 4 e^{-0.8 t}

 ed in particolare si avrebbe che poco prima della successiva iniezione il valore sarebbe lim _t→1- 4e^{-0.8 t} = 4 e^-0.8

nell'istante 1 (subito dopo l'iniezione di 2 mg del farmaco)  si avrebbe invece una situazione più complessa

PER DARE UN'IDEA

y(1)= 4 e^-0.8  +2  , y'(t) = -80/100 y(t),  per  t in [1,2)  e quindi la soluzione sarebbe invece

y(t)= y(1) e^{-0.8 (t-1)} ,

e quindi lim _t→2- y(t)= lim _t→1- y(1)e^{-0.8 (t-1)} =(4 e^-0.8   +2) e^{-0.8 (2-1)} =  4  e^{-(0.8) 2}   + 2e^-0.8  

e quindi

al tempo t=2 (subito dopo l'iniezione di 2 mg del farmaco)

y(2) = 4  e^{-(0.8) 2}   + 2e^-0.8   +2,      y'(t) = -80/100 y(t),  per  t in [2,3)  

e così via

è chiaro che il caso del farmaco somministrato con la flebo è più semplice da analizzare.

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LE EQUAZIONI DI BERNOULLI (non sono state analizzate)

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI E OMOGENEE

sono equazioni del tipo

y''(x)+b y'(x) + cy(x)=0

Abbiamo controllato alcuni casi particolari in una lezione precedente:

per risolovere questa equazione si procede come segue

si considera il polinomio caratteristico associato, ossia il polinomio λ²+bλ+c

e si studia l'equazione di secondo grado

λ²+bλ+c=0

(detta equazione caratteristica)

Ci possono essere tre casi

1) esistono DUE SOLUZIONI di λ²+bλ+c=0,   m₁ ed m₂ DISTINTE (o equivalentemente il discriminante Δ=b²-4c>0 ed m_1, m₂= -(b/2)± (√Δ)/2

e allora la soluzione generale è

y(x) = A e^m₁x+B e^m₂x.

2) le due soluzioni di  λ²+bλ+c=0 COINCIDONO ossia m₁ = m₂ = m (= - b/2) (o equivalentemente il discriminante Δ=b²-4c=0) 

allora la soluzione generale è

y(x)= A e^{m x}+B x e^{m x}.

3) il discriminante Δ=b²-4c<0 

(o equivalentemente, MA SOLO PER COLORO CHE CONOSCONO I NUMERI COMPLESSI, le soluzioni di λ²+bλ+c=0 sono complesse e coniugate e valgono  -(b/2)± i (√|Δ|)/2, dove i è l'unità immaginaria)

allora la soluzione generale è

y(x)=  e^{p x} [A sin(q x) +B cos(q x) ],

dove p=-b/2  e q=(√|Δ|)/2.

ESEMPI

1) y''(x)-y(x)=0 

qui il polinomio caratteristico è λ²-1=0, cioè  m₁ =-1 ed m₂=+1

e quindi la soluzione generale è

y(x)= A e^-x+B e^{+ x}.

2) y''(x)-2y'(x)+y(x)=0

qui il polinomio caratteristico è λ²-2 λ +1=0, cioè  (λ-1)²=0 e quindi  m₁ =m₂=+1

e quindi la soluzione generale è

y(x)= A e ^x+B x e ^x.

3) y''(x)+y(x)=0

qui il polinomio caratteristico è λ²+1=0, cioè  il discriminante è negativo e vale

Δ=b²-4c= 0-4 allora p=-(b/2)=0 e q=(√|Δ|)/2= (√4)/2)=1, 

e quindi (poiché e^0x=1) la soluzione generale è

y(x) = A sin(x) +B cos(x)

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OSSERVAZIONE: per verificare che le funzioni trovate sono soluzioni, basta verificare che, ad esempio, nel caso 1),

SEPARATEMENTE che  e^m₁x  è soluzione dell'equazione  y''+by'+cy=0  e che  e^m₂x  è soluzione dell'equazione  y''+by'+cy=0

LA VERIFICA E' LASCIATA PER ESERCIZIO, ma ne riportiamo una qui alcune verifiche (NON SVOLTE A LEZIONE): supponiamo che

1) ci siano DUE SOLUZIONI di λ²+bλ+c=0,   m₁ ed m₂ DISTINTE, ossia  λ²+bλ+c=(λ-m₁)(λ-m₂)

allora

posto y₁(x)=e^m₁x  si ha (y₁)'(x)=m₁e^m₁x  = m₁ y₁(x) e   (y₁)''(x)=(m₁)²e^m₁x =(m₁)² y₁(x)

e quindi

  y₁''(x)+by₁'(x)+cy₁(x) = (m₁)² y₁(x) + bm₁ y₁(x) + c y₁(x)= y₁(x) [ (m₁)²  + bm₁   + c ]=0

Lo stesso vale per m₂.

Se invece

le due soluzioni di  λ²+bλ+c=0 COINCIDONO ossia m₁ = m₂ = m (= - b/2) ovvero λ²+bλ+c=(λ-m)²=λ²-2mλ+m²

ovvero c= b²/4

allora controlliamo che y(x)=x e^mx è soluzione  (CHE LO SIA y(x)=e^mx è la stessa verifica del punto precedente)

e infatti

y'(x)= e^mx + xme^mx    = (1 +m x) e^mx 

y''(x)= me^mx + me^mx + xm²e^mx = 2 me^mx  + xm²e^mx  = (2 m + xm²)e^mx

da cui

  y''(x)-2m y'(x)+m²y(x)= (2 m + xm²)e^mx   -2m (1 +m x) e^mx  +m²  x e^mx

=  e^mx  [2 m + xm² - 2m (1 +m x) + m²  x ] =  e^mx  [2 m + xm² - 2m - 2m² x + m²  x ] =   e^mx  0=0

MOTIVO PER CUI BASTA FARE LA VERIFICA UNA SOLUZIONE PER VOLTA

INFATTI se y₁(x) è soluzione ossia se (y₁)''(x)+b(y₁)'(x)+cy₁(x)=0  allora banalmente anche Ay₁(x) è soluzione

in quanto (Ay1)'=A (y1)', e (Ay1)''=A (y1)''  e quindi  (Ay₁)''(x)+b(Ay₁)'(x)+cAy₁(x)=A[(y₁)''(x)+b(y₁)'(x)+cy₁(x)]=0

e se y₂(x) è soluzione ossia se (y₂)''(x)+b(y₂)'(x)+cy₂(x)=0

allora anche y₁(x)+y₂(x) è soluzione

in quanto (y₁+y₂)'= (y₁)'+(y₂)'   e (y₁+y₂)''= (y₁)''+(y₂)'' 

e quindi

 (y₁+y₂)''(x)+b(y₁+y₂)'(x)+c(y₁+y₂)(x)=  (y₁)''(x)+b(y₁)'(x)+cy₁(x)+ (y₂)''(x)+b(y₂)'(x)+cy₂(x)=0+0=0

mercoledì 23 dicembre ore 15-17 vacanza

(le lezioni riprendono giovedì 7 gennaio 2016 BUON NATALE (vedete l'ESERCIZIO di BUON NATALE matematico) e  BUON ANNO!)

giovedì 7 gennaio 2016 ore 15-17

Funzioni di due variabili U(x,y), derivate parziali, differenziale di una funzione di due variabili, integrale di linea di una forma differenziale,

forme differenziali esatte, integrale di linea di una forma differenziale esatta, collegamento con alcuni tipi di equazioni differenziali.

Per questa parte si veda il diario delle lezioni dello scorso anno (è stato aggiornato  e corretto di piccole sviste)

alla data 

venerdì 9 gennaio 2015 Cenno alle funzioni di due variabili, e ai differenziali

Uniche differenze:

Abbiamo risolto i problemi

D45 del Foglio 7

e

D7 del Foglio 8

Inoltre, come giustificazione della CONDIZIONE SUFFICIENTE AFFINCHE' UNA FORMA DIFFERENZIALE SIA ESATTA:

SE ESISTONO LA DERIVATA PARZIALE  di F₁(x,y) rispetto ad y e LA DERIVATA PARZIALE  di F₂(x,y) rispetto ad x e sono uguali e continue, cioè

 (∂/∂y)F₁(x,y)=(∂/∂x)F₂(x,y)

allora la forma differenziale F₁(x,y) dx + F₂(x,y) dy è esatta,

ossia

 allora ESISTE UNA FUNZIONE U(x,y) tale che

F₁(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F₂(x,y)=(∂/∂y)U(x,y).

abbiamo visto in un esempio che, tale condizione è ALMENO necessaria, (almeno nel caso in cui U(x,y) sia di tipo polinomiale):

(NON ABBIAMO DIMOSTRATO CHE E' SUFFICIENTE, però)

data la funzione

U(x,y)=3x²+5x²y+2y²,

abbiamo calcolato le derivate parziali

(∂/∂x)U(x,y) = 6x+10xy ,

(∂/∂y)U(x,y) = 5x² + 4y,

e le derivate parziali di secondo ordine

ossia

derivata seconda parziale rispetto ad x

(∂²/∂²x)U(x,y) = (∂/∂x)[(∂/∂x)U(x,y) ] = (∂/∂x)[6x+10xy ] = 6 + 10y, 

derivata seconda parziale rispetto ad y

(∂²/∂²y)U(x,y) = (∂/∂y)[(∂/∂y)U(x,y) ] = (∂/∂y)[5x² + 4y]=4

derivata seconda parziale mista rispetto prima  ad x e poi rispetto ad y

(∂²/∂y∂x)U(x,y) =(∂/∂y) [(∂/∂x)U(x,y)]=(∂/∂y)[6x+10xy ] = 10 x  

derivata seconda parziale mista rispetto prima  ad y e poi rispetto ad y

(∂²/∂x∂y)U(x,y) =(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]=(∂/∂x)[ 5x² + 4y] = 10 x

 e abbiamo notato che le derivate parziali miste coincidono:

quindi se 

ESISTE UNA FUNZIONE U(x,y) tale che

F₁(x,y)=(∂/∂x)U(x,y) e F₂(x,y)=(∂/∂y)U(x,y).

allora

(∂/∂y) F₁(x,y)=(∂/∂y)[(∂/∂x)U(x,y)] e  (∂/∂x) F₂(x,y)=(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]

e quindi 

(∂/∂y) F₁(x,y)=(∂/∂y)[(∂/∂x)U(x,y)]=(∂/∂x) [(∂/∂y)U(x,y)]=(∂/∂x) F₂(x,y)

venerdì 8 gennaio ore 11-13 ??? NON C'E' L'AULA

lunedì 11 gennaio 2016 ore 15-17 

Distinzione tra Statistica descrittiva, Statistica inferenziale e Probabilità

Esempio del lancio dei dadi (vedere  il file lancio di dadi (serie da 36 ciascuno) )

sono stati esaminati gli esempi e le definzioni di Statistica descrittiva contenute in

http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Statistica01.pdf

ed in particolare gli istogrammi, i grafici a torta, le frequenze assolute, le frequenze relative,

le frequenze assolute cumulate e le frequenze relative cumulate.

Nel caso di DATI QUANTITATIVI sonos tati introdotti alcuni indici: 

valore centrato, media aritmetica, mediana,

e un cenno alla media geometrica,  il cui logaritmo è la media aritmetica dei logaritmi dei dati osservati

UNICA OSSERVAZIONE (nel caso di dati quantitativi):

A DIFFERENZA DELLE SLIDE della Prof. Anna Torre

gli n dati  osservati sono stati denotati con

ξ₁,ξ₂,ξ₃,..., ξ_n-1,ξ_n ,

gli n dati  osservati messi in ordine crescente sono stati denotati con

ξ₍₁₎,ξ₍₂₎,ξ₍₃₎,..., ξ_(n-1),ξ_{( n)},

l'insieme degli  m valori assunti è stato denotato con

{x₁, x₂,x₃,..., x_m-1,x_m,}

f₁, f₂, f₃,..., f_m-1, f_m, sono le frequenze assolute di x₁, x₂,x₃,..., x_m-1,x_m, ossia f_i = #{j ≤ n, tali che ξ_j=x_i}

ESEMPIO osservo i pesi di 11 persone:

ξ₁,ξ₂,ξ₃,..., ξ₁₀,ξ₁₁,   è 59, 73, 63,71, 59, 65, 63, 59, 73, 65, 59

ξ₍₁₎,ξ₍₂₎,ξ₍₃₎,..., ξ₍₁₀₎,ξ₍₁₁₎,  è invece 59, 59, 59, 59, 63,63,65,65, 71, 73, 73

{x₁, x₂,x₃,..., x_m-1,x_m,}  è  invece {x₁, x₂,x₃, x₄,x₅,}= {59, 63,65, 71, 73}

f₁, f₂, f₃,..., f_m-1, f_m, è      f₁=4,  f₂=2,  f₃=2,   f₃=1,  f₅=2

il valore centrale è quindi (x_min+x_max)/2 = (59+73)//2=66

la mediana è ξ_(n+1/2), e quindi nell'esempio ξ₍₆₎, ossia 63

la media aritmetica è   x=(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_n-1+ξ_n)/n e quindi nell'esempio

(59 + 73 + 63 + 71 + 59 + 65 + 63 + 59 + 73 + 65+ 59)/11

la media aritmetica è   x=(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_n-1+ξ_n)/n ma coincide con  la media  pesata

  x=(x₁f₁+x₂f₂+x₃f₃+...+x_m-1f_m-1+x_mf_m)/n =x₁(f₁/n)+x₂(f₂/n)+x₃(f₃/n)+...+x_m-1(f_m-1/n)+x_m(f_m/n)

e quindi nell'esempio coincide con

(59*4+63*3+65*2+71*1+73*2)/11= 59*(4/11) + 63 *(2/11) + 65*(2/11) + 71*(1/11)+ 73*(2/11)=64,45

ANALOGIA TRA MEDIA ARITMETICA pesata E BARICENTRO O CENTRO DI MASSA

(a lezione abbiamo visto questa analogia con la leva: ma la semplice derivazione di questo fatto non è in programma)

ATTENZIONE LA MEDIA ARITMETICA NON VA UTLIZZATA SEMPRE (COME AD ESEMPIO nel seguente esercizio)

Esericizo D1 del Foglio 9 dell'Eserciziario:

Un veicolo marcia per 50 km alla velocita’ v₁, e per altri 50 km alla velocita’ v₂. La sua velocita’
sull’intero percorso di 100 km e’ data da
1A La media aritmetica di v₁ e v₂
1B La media geometrica di v₁ e v₂
1C La differenza tra v₁ e v₂
1D La somma di v₁ e v₂
1E Nessuna delle precedenti    Risposta esatta.

SOLUZIONE: si tratta infatti di osservare che la velocità media è data dallo spazio percorso diviso il tempo impiegato per percorrerlo

ossia  v_media=100km/(t₁ + t₂) 

ora v₁=50km/t₁, e analogamente v₂=50km/t₂, e quindi t₁=50km/v₁, e   t₂=50km/v₂,

e quindi

v_media=100km/(t₁ + t₂) = 100km/[ (50km/v₁) +(50km/v₂)]

= 1/[(50km/v₁)(1/100km) +(50km/v₂)(1/100km)]

=1/[(1/v₁)(1/2) +(1/v₂)(1/2)]

[per conoscenza: tale valore è detto media armonica di v₁ e v₂]

Si è accennato al fatto che a volte i dati sono raggruppati in classi (con una conseguente perdita di  dati)

tuttavia in questi casi si può ottenere lo stesso una media artimetica 

utilizzando il valore centrato di ciascuna classe

si veda la slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Statistica02.pdf

anche per come si può trovare graifcamente la mediana.

Sono stati discussi gli esercizi 1 e 2 di queste slide .

martedì 12 gennaio 2016 ore 16-18 AULA A del PLESSO TECCE

Abbiamo svolto l'esercizio 3 del file

http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Statistica02.pdf

In termini generali:

se la media aritmetica dell'età di una popolazione 1 (ad esempio del NORD) con N₁ abitanti è x₁,

e la media aritmetica dell'età di una popolazione 2 (ad esempio del SUD) con N₂ abitanti è x₂,

ALLORA è possibile calcolare la media aritmetica x dell'età della popolazione totale

(ossia unendo la popolazione 1 con la popolazione 2: NORD e SUD insieme)

INFATTI  POSTO

ξ₁,ξ₂,ξ₃,..., ξ_N1-1,ξ_N1 , le età degli abitanti della popolazione 1

e ξ'₁,ξ'₂,ξ'₃,..., ξ'_N2-1,ξ'_N2 ,  le età degli abitanti della popolazione 2

sia ha che

x₁=(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_N1-1+ξ_N1)/N₁, e   x ₂=(ξ'₁+ξ'₂+ξ'₃+...+ξ'_N2-1+ξ'_N2)/N₂,

mentre  la media artimetica su tutta la popolazione è data dalla media pesata

x = x₁[N₁/(N₁+N₂)] + x₂[N₂/(N₁+N₂)]

INFATTI

x=(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_N1-1+ξ_N1+ξ'₁+ξ'₂ +ξ'₃+...+ξ'_N2-1+ξ'_N2)/(N₁+N₂)

=(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_N1-1+ξ_N1)/(N₁+N₂)  + (ξ'₁+ξ'₂+ξ'₃+...+ξ'_N2-1+ξ'_N2)/(N₁+N₂)

=[(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_N1-1+ξ_N1)/(N₁+N₂)] (N₁/N₁)  + [(ξ'₁+ξ'₂+ξ'₃+...+ξ'_N2-1+ξ'_N2)/(N₁+N₂)](N₂/N₂)

=[(ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_N1-1+ξ_N1)/N₁] [N₁/(N₁+N₂)]  + [(ξ'₁+ξ'₂+ξ'₃+...+ξ'_N2-1+ξ'_N2)/N₂][N₂/(N₁+N₂)]

=x₁[N₁/(N₁+N₂)] + x₂[N₂/(N₁+N₂)]

Abbiamo poi visto gli indici di dispersione in PARTICOLARE VARIANZA e SCARTO QUADRATICO MEDIO

(IMPORTANTI)

E VARIANZA CAMPIONARIA (stimata)  e SCARTO QUADRATICO MEDIO CAMPIONARIO (stimato)

(si suggerisce di vedere le slide  http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Statistica03.pdf)

OSSERVAZIONE dalle definizioni si vede che

VARIANZA= [(n-1)/n]VARIANZA CAMPIONARIA

e quindi per n grande si vede facilemente che  [(n-1)/n] è vicino ad 1 e quindi differiscono poco.

Cenno ai quartili

ABBIAMO POI INIZIATO A INTRODURRE LA PROBABILITA'
(a partire dalle slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Probabilita1.pdf)
breve discussione sulle varie impostazioni (classica, frequentista, soggettivista)
e ASSIOMATICA.

DISCUSSIONE SUL RUOLO DELL'INFORMAZIONE: le probabilità cambiano A SECONDA dell'informazione che abbiamo:
(si vedano di ESEMPI 1 2 e 3 delle slide http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Probabilita1.pdf)
questo punto verrà ripreso domani .

mercoledì 13 gennaio 2016 ore 15-17 

Discussione su Probabilità, Assiomi, e conseguenze: FORMULA DELLE PROBABILITA' TOTALI E FORMULA DI BAYES

(vedere le lezioni di Giovedì 15 gennaio 2015 (dello scorso a.a. 2014-15)

(INIZIO AGGIUNTO il 14 gennaio)

In particolare abbiamo visto un esempio di estrazione SENZA RIMBUSSOLAMENTO da un'urna contentene 2 palline bianche e 3 azzurre

POSTO A₁ l'evento la prima pallina estratta è azzurra e A₂ l'evento la seconda pallina estratta è azzurra

POSTO B₁ l'evento la prima pallina estratta è bianca e B₂ l'evento la seconda pallina estratta è bianca

abbiamo osservato che P(B₂)=P(B₁)=2/5 in diversi modi,

ANCHE SE P(B₂|B₁)=1/4 e P(B₂|A₁)=2/4=1/2

AD ESEMPIO, CON LA FORMULA DELLE PROBABILITA' TOTALI e considerando che B₁ è il complementare di A₁

P(B₂)= P(B₁) P(B₂|B₁) +P(A₁)P(B₂|A₁)= (2/5) (1/4) + (3/5)(2/4) =(1/10)+(3/10)=4/10=2/5

(FINE AGGIUNTO il 14 gennaio)

abbiamo poi svolto esercizi dal file

esercizi-di statistica-PROVVISORIO

edFileed in particolare abbiamo discusso della regressione e del metodo dei minimi quadrati

(invece il problema dei TEST DIAGNOSTICI verrà discusso domani)

giovedì 14 gennaio 2016 ore 13-15 Abbiamo ripreso l'esempio (esercizi-di statistica-PROVVISORIO) sulla retta di regressione finendo i calcoli dell'esempio e mostrando che la retta di regressione dei dati di tipo y rispetto ai dati di tipo x è diversa dallla retta di regressione dei dati di tipo x rispetto ai dati di tipo y (anche se per quei dati le due rette sono molto vicine)

Abbiamo visto alcuni esempi di applicazione della formula delle probabilità totali e della formula di Bayes:

in particolare
(dalle slide della professoressa A. Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Probabilita2.pdf
http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Probabilita2.pdf )

Esempio 2 Suppongo di giocare testa o croce con una persona sconosciuta. Vinco se esce testa, perdo se esce croce. A priori mi fido abbastanza della persona con cui sto giocando ed attribuisco al fatto, che possa aver truccato la moneta a suo favore, probabilità pari a 1/100.

Se perdo per 10 lanci consecutivi, il mio grado di fiducia nell’altro giocatore resta sempre lo stesso ?

Abbiamo visto come possono essere utili i grafi (ad albero) per questo tipo di problemi.

Si consiglia di vedere anche l'Esempio1 (tecnico) dell'estrazione da un'urna scelta a caso, anche se non svolto a lezione:
può essere utile per capire l'utilità della formula di Bayes)

Come altra applicazione IMPORTANTE abbiamo visto i Test Diagnostici
(si consiglia di vedere sia le slide della prof. Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/testdia.pdf
sia il file esercizi-di statistica-PROVVISORIO

Infine abbiamo visto come usare la distribuzione normale (anche detta gaussiana standard) e le tavole relative.

DIRE CHE LA DISTRIBUZIONE DI UNA VARIABILE STATISTICA (o di una variabile aleatoria) E' BEN APPROSSIMATA DA (o segue) 

una distribuzione gaussiana di media μ e varianza σ², (o equivalentemente di deviazione standard σ)

significa che LA PERCENTUALE DI VALORI CHE SI TROVANO in un intervallo (a,b] è BEN APPROSSIMATA dall'area della regione compresa  tra l'asse x e la funzione   $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2)}{2 \sigma^2}}$   nell'intervallo (a, b]

Purtroppo non c'è una formula esplicita (in termini delle funzione usuali, espenonziali, logaritmi, potenze, funzioni trigonometriche,) per calcolare tale integrale, ma ci sono delle tavole che permettono di calcolare queste aree.  Nella tavola del libro vengono dati gli integrali sugli intervalli del tipo

[ μ - u σ, μ +u σ],  fuori di tali intervalli, ossin in [ μ - u σ, μ +u σ]^c= (- ∞,μ -u σ] U [ μ +u σ, ∞), e in intevalli del tipo [ μ +u σ, ∞),

per u=0; u=0,2; u=0,4; etc... fino ad u=3,2

Guardando la tabella si nota facilmente che nelle righe relative allo stesso u,

la prima colonna, relativa all'integrale su [ μ - u σ, μ +u σ], e la seconda, relativa ll'integrale su [ μ - u σ, μ +u σ]^c, somamno ad uno,

e che la colonna realtiva allintegrale su [ μ +u σ, ∞), è la metà di quella realtiva all'integrale su  [ μ - u σ, μ +u σ]^c= (- ∞,μ -u σ] U [ μ +u σ, ∞),

In particolare abbiamo visto i seguenti problemi, tratti dalle slide della prof. A. Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Statistica04.pdf

Problema - Supponendo che la distribuzione dei pesi degli individui di una popolazione sia gaussiana con media μ = 61 kg e deviazione standard (scarto quadratico medio) σ = 5 kg

1. scrivere l’equazione della gaussiana relativa ai pesi di tale popolazione

2. calcolare la percentuale di individui il cui peso è compreso tra 59 kg e 63 kg

sul PUNTO 2: (trascurando di riportare i kg) si tratta di trovare u e v tali che
59 = μ - u σ = 61 - u 5, ossia u=(61-59)/5=2/5=4/10=0,4
e
63 = μ - v σ = 61 + v 5, ossia v=(63-61)/5=2/5=4/10=0,4
in questo esempio u=v in quanto l'intervallo [59,63] ha come punto medio proprio μ = 61
di conseguenza: [59,63] = [61- 0,4 *5, 61+ 0,4*5] e quindi bisogna utilizzare la tavola della distribuzione normale (o gaussiana)

relativa alla colonna [ μ - u σ, μ +u σ], per u=0,4. il numero nella tavola è 0,3108, e quindi la percentuale cercata è circa 31%.

DOMANDE COLLEGATE :

(i) qual è la percentuale delle persone che pesano più di 63 chili?

si tratta della percentuale delle persone che sono nell'intervallo [63, ∞) = [61+ 0,4*5, ∞)
e quindi bisogna utilizzare la colonna realtiva agli intervalli del tipo [ μ +u σ, ∞) per u = 0,4, in questo caso la tabella fornisce il numero 0, 3446, ossia la percentuale di persone che pesano più di 63 chili è circa il 34%

(ii) qual è la percentuale delle persone che pesano meno di 59 chili?

si tratta della percentuale delle persone che sono nell'intervallo (- ∞, 59] , che è l'intervallo simmetrico (rispetto a μ=61) all'intervallo [63, ∞) =[61+ 0,4*5, ∞) e quindi per la simmetria rispetto a μ=61 della distribuzione gaussiana, percentuale delle persone che pesano meno di 59 chili ha lo stesso valore della percentuale di persone che pesano più di 63 chili, ossia circa il 34%,

Problema - Le altezze h di un gruppo di reclute sono distribuite con buona approssimazione secondo una curva gaussiana

con media μ = 170 cm e deviazione  standard (scarto quadratico) σ = 5 cm. Le divise sono disponibili in 5 taglie:
1. per individui di altezza  161 cm
2. per individui di altezza compresa tra 161 e 167 cm
3. per individui di altezza compresa tra 167 e 173 cm
4. per individui di altezza compresa tra 173 e 179 cm
5. per individui di altezza > 179 cm.
Stimare il numero delle divise delle varie taglie sapendo che le reclute sono 750 .

Soluzione - Si tratta di stimare la percentuale di reclute che cade in ciascuna delle quattro differenti classi di altezza:
(h= altezza)
1. per h ≤ 161 = 170 − 1.8 σ  quindi  3.6%    delle reclute     (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa 27 reclute)
2. per 161 < h  ≤ 167 ), ossia  h  in ( 170 − 1.8σ  , 170 − 0.6σ  ]  quindi 24%  delle reclute     (circa 750 * 24/100 reclute, ossia circa 180 reclute)
3. per 167 < h ≤ 173 ), ossia  h  in ( 170−0.6  σ , 170+0.6 σ  ]  quindi 45%  delle reclute     (circa 750 * 45/100 reclute, ossia circa 338 reclute)
4. per 173 < h ≤ 179 ), ossia  h  in (170+0.6 σ , 170+1.8σ  ]  quindi 24%  delle reclute     (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa 180 reclute)
5. per h > 179 = 170+1.8 σ  ) quindi  3.6%   delle reclute     (circa 750 * 3,6/100 reclute, ossia circa  27 reclute)

per ottenere le percentuali bisogna procedere come segue:
AD ESEMPIO la percentuale di individui con altezza h in ( 170 − 1.8σ  , 170 − 0.6σ  ]   
è circa uguale alla percentuale di individui con altezza in  ( 170 +0,6 σ  , 170 + 1,8 σ  ] 
in quanto va approssimata con l'area realtiva alla funzione    $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2)}{2 \sigma^2}}$,
che è simmetrica rispetto a μ.
e che, per ottenere tale percentuale basta considerare che l'integrale su ( 170 − 1.8σ  , 170 − 0.6σ ] U ( 170 +0,6 σ  , 170 + 1,8 σ  ]
è uguale alla diferenza tra l'integrale  su ( 170 − 1.8σ ;  170 + 1,8 σ  ]
(che vale  0,9282, come si ricava dalla tabella nella colonna relativa a [ μ - u σ, μ +u σ], per u=1,8)
e l'integrale su ( 170 − 0.6σ ; 170 +0,6 σ  ]
(che vale 0,4514 , come si ricava dalla tabella nella colonna relativa a [ μ - u σ, μ +u σ], per u=0,6)

In conclusione l'integrale su ( 170 − 1.8σ  , 170 − 0.6σ  ]   è la metà di questa differenza
ossia vale
(0,9282 - 0,4514)/2=0,4768/2=0,2384
da cui la percentuale viene il 24%.

FINE DELLE LEZIONI, ci vediamo la settimana prossima per i ricevimenti collettivi del 19 e 20 gennaio (vedere sotto)

venerdì 15 gennaio ore 11-13  NON C'E' L'AULA

DOPO LA FINE DELLE LEZIONI

martedì 19 gennaio 2016 ore 14-16, aula A del plesso TECCE
ricevimento collettivo in vista dell'esame del 22 gennaio

PER VEDERE ALCUNI DEGLI ESERCIZI DISCUSSI SU RICHIESTA DEGLI STUDENTI PRESENTI
vedere l'argomento DOMANDE DEGLI STUDENTI 2016,
DOMANDE degli STUDENTI 2016 
qui sotto
SI SUGGERISCE DI VEDERE ANCHE  RISPOSTE A DOMANDE su ESERCIZI 
dello scorso anno accademico

mercoledì 20 gennaio 2016 ore 14-16, aula A del plesso TECCE
ricevimento collettivo in vista dell'esame del 22 gennaio

vale quanto scritto per martedì 19 gennaio 2016