lunedì 5 ottobre ore 15-17

Presentazione del corso. Errori di misurazione, grandezze fisiche, passaggio da radianti a gradi. Errore di approssimazione e percentuale: prime definizioni e primi esempi (errore relativo ed errore della somma e della differenza)

Si consiglia di vedere

l'Eserciziario

(anche se contiene qualche errore)  e il file 

database_quiz_farmacia_ctf

(anche se a volte i testi e le risposte degli esercizi sono incomprensibili)

mercoledì 7 ottobre ore 15-17

Troncamento e arrotondamento. Richiami sui numeri reali e loro proprietà. Errore di approssimazione: errore assoluto e relativo del prodotto, del reciproco e del quozionte. Percentuale: studio di due esempi/esercizi (vedere i file allegati qui sotto) 

Errori di Approssimazione       Percentuale

Consigliato il sito della professoressa Anna Torre (http://www-dimat.unipv.it/atorre/ link http://www-dimat.unipv.it/atorre/) dell'Università di Pavia  ed in particolare i siti dei corsi di Matematica da lei tenuti
 a Chimica e Tecnologie Farmaceutiche:  MatematicaCTF-2011-12 (http://www-dimat.unipv.it/atorre/corsoCTF20112012.html) link http://www-dimat.unipv.it/atorre/corsoCTF20112012.html
 e a Farmacia:   Matematica-2013-14 (http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014.html) link http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html

giovedì 8 ottobre ore 13-15

Richiami sugli insiemi e le operazioni che si posso compiere (intersezione,unione, complementare). Complementare dell'unione=intersezione dei complementari. Connessione tra le operazioni logiche di "implicazione" ed insiemi uno contenuto in un altro. Cardinalità di un insieme=numero degli elementi dell'insieme, la cardinalità dell'unione di due insiemi A e B (con un numero finito di elementi)

|AυB|= |A|+|B|-|A∩B|

Esercizi. Vedere gli esercizi al seguente link Esercizi-8-10-2015 (in fondo alla pagina del corso)

lunedì 12 ottobre ore 15-17

Equazioni delle rette e loro rappresentazione nel piano cartesiano; vari modi di scrivere l'equazione: retta che passa per due punti, forma parametrica; coefficiente angolare. Cenni alle funzioni e ai grafici di una funzione. Sistemi monometrici e dimetrici. Disequazioni lineari, e sistemi di disequazioni lineari: interpretazione geometrica nel piano cartesiano.  Equazioni e disequazioni di secondo grado. ATTENZIONE IL FILE Equazioni e disequazioni CONTENEVA QUALCHE ERRORE, ora c'è una versione corretta (spero) Equazioni e disequazioni-corretto.

mercoledì 14 ottobre ore 15-17

Disequazioni irrazionali e fratte.  Funzioni iniettive, Funzioni suriettive, Funzioni biunivoche, interpretazione attraverso i grafici. Grafici delle funzioni f(x)=x^n (per ogni x) (a seconda se n è pari o dispari), della funzione f(x)=1/x (per x≠0) e della funzione valore assoluto (o modulo) f(x)=|x|.

Osservazione sull'uguaglianza  tra la radice quadrata di x² e il modulo di x.

giovedì 15 ottobre ore 13-15  sospensione dell'attività didattica per MAKER FAIRE 

lunedì 19 ottobre ore 15-17

Operazioni sulle funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente. Discussione sull'insieme di definzione di queste funzioni. Funzioni crescenti (strettamente e in senso lato) e Funzioni decrescenti (strettamente e in senso lato): studio di f(x)=x^2, con dominio D=[0,+infinito) e di g(x)=x^3, senza l'aiuto dei grafici. Definzione di massimo assoluto (o globale) e di massimo relatiivo(o locale) e di minimo assoluto (o globale) e di minimo relatiivo (o locale): differenza tra punto di minimo e valore minimo. Dipendenza del valore minimo/massimo dall'insieme preso in considerazione:
f(x)=-(x-1)^2+4, con dominio tutti i reali ha un massimo assoluto in x_0=1 ed il valore massimo vale 4 (ossia x_0=1 è punto di massimo assoluto della funzione f nei reali)
la funzione g(x)=-(x-1)^2+4, con dominio [2,4] ha un massimo assoluto in x_0=2 e valore massimo uguale a g(2)= -(2-1)^2+4=3 (ossia x_0=2 è punto di massimo assoluto della funzione g, che ha come dominio [2,4])
la funzione h(x)=-(x-1)^2+4, con dominio (2,4] NON ha un massimo assoluto.
Discussione dei problemi 1 e 2 del foglio 2 dell'Eserciziaro.

mercoledì 21 ottobre ore 15-17

soluzione del Problema 2 del foglio 2 dell'Eserciziario, con paga= G+np dove n= numero di pezzi prodotti. Studio del numero migliore di ore che conviene diminuire (o equivalentemente di quanto conviene aumentare la produzione per ora). Analogia con il problema: trovare quale rettangolo ha area massima, tra tutti i rettangoli con perimetro fissato=2K: ossia posto a=altezza e base=b, si ha 2a+2b=2K, a>=0, b>=0, trovare a e b tali che l'area abdel rettangolo sia massima. Posto a=x si trova che b=K-x e che si deve massimizzare la funzione f(x)=x(K-x) al variare di x in[0,K].
Richiamo sulle potenze e definizione della funzione esponenziale che ad ogni x reale associa a^x (con a>0) , definizione della funzione logaritmo: studio di alcune proprietà degli esponenziali e dei logaritmi: svolti alcuni esercizi, presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 1-esercizi-su-equazioni-e-disequazioni

giovedì 22 ottobre ore 13-15

Composizione di funzioni fοg (x)=f(g(x)), funzione inversa, grafico della funzione inversa.  Esempi, ed alcuni esempi importanti:

1)  f(x)=x^m e f^(-1)( y)=y^1/m;  2) f(x)=a^x , f^(-1)( y)=log_a( y) e connessione con i grafici di queste funzioni. Altre proprietà dei logartimi (tra cui il cambio di base)

Esercizi D1,D2,D3,D4 del foglio 5 dell'Eserciziario

lunedì 26 ottobre ore 15-17

Scale logartimiche e rappresentazione grafica delle funzioni potenze e delle funzioni esponenziali come rette nelle scale logaritmiche e semilogaritmiche. funzioni trigonometriche, traslazioni, riflessioni, dilatazioni di grafici

mercoledì 28 ottobre ore 15-17

Esercizi dal foglio 5 dell'Eserciziario su: funzioni inverse e disegno di grafici di traformazioni di funzioni,  insiemi di definizione, funzioni periodiche e periodo.

Funzioni sinusoidali y=f(x)=A sin (ω x+φ)  dove A= ampiezza, ω= frequenza (ω>0) e  φ=la fase iniziale. Relazione con il periodo. Dimostrazione del motivo per cui il periodo vale  T=2π/ω 

Infatti dobbiamo trovare il  più piccolo valore T>0 per il quale vale f(x)=f(x+T) per ogni x

ossia che

A sin (ω x+φ)= A sin (ω (x+T)+φ)  per ogni x

ovvero, essendo A ≠0,

  sin (ω x+φ) =  sin (ω x+ωT +φ)  per ogni x

ovvero sin (ω x+φ) =  sin (ω x +φ+ωT)  per ogni x

poiché sappiamo che sin(t)=sin(t+2kπ) per ogni t e per ogni k intero, deve essere  ωT= k 2π, ma poiché cerchiamo il valore più piccolo (e strettamente positivo) dobbiamo prendere k=1,

ossia deve valere  ωT= 2π.

giovedì 29 ottobre ore 13-15

Interpretazione del coefficiente angolare m di una retta y=mx+q come

m=tan(θ) =sin(θ)/cos(θ)  (o anche con la notazione tg(θ)=sin(θ)/cos(θ)  )

dove θ (theta) è l'angolo che la retta y=mx+q forma con l'asse delle ascisse.βα
Formula della tangente della somma e tangente della differenza di due angoli, ossia

tan(α + β) e di tan(α -β)

e utilizzo per calcolare la retta che forma un angolo con un'altra retta e per capire come mai
data una retta r di equazione y=mx+q
le rette perpendicolari alla retta r hanno equazione del tipo
y=m'x+q' con mm'+1=0 ovvero m'= -1/m.

Studio dei sistemi in due equazioni in due incognite,
ax+by=e
cx+dy=f
Interpretazione geometrica come punto di intersezione fra due rette nel piano
Introduzione delle matrici due per due e del loro determinante e del metodo generale per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite, quando il determinante è diverso da zero (caso generale di rette NON parallele).
studio del caso in cui il determinante è nullo (sempre nel caso due per due) ed interpretazione geometrica come il caso di rette parallele (se non c'è soluzione) o rette coincidenti (e allora infinite soluzioni)

parte della lezione si trova nel file SISTEMI-LINEARI-due-per-due

lunedì 2 novembre ore 15-17

Trasformazioni lineari del piano cartesiano in se stesso

Consideriamo la trasformazioni che porta ogni generico punto di coordinate cartesiane (x,y) del piano cartesiano nel punto (x',y') di coordinate
x'=ax+by
y'=cx+dy
ESEMPIO
il punto (1;0) va nel punto A di coordinate (a1+b0,c1+d0)=(a,c)
il punto (0;1) va nel punto B di coordinate (a0+b1,c0+d1)=(b,d)
il punto (1,1) ca nel punto Qdi coordinate (a1+b1,c1+d1)=(a+b,c+d)

PROPRIETA'

i punti di una retta r si trasformano in punti di un'altra retta  r' (con un esempio)

ROTAZIONI come trasformazioni lineari, con l'ausilio delle coordinate polari. 

Interpretazione dei sistemi di equazioni come problema inverso:
risolvere il sistema
ax+by=e
cx+dy=f
significa trovare (se esiste) il punto (x,y) il cui trasformato (x',y') è il punto (e,f).

fino a qui vedere il file SISTEMI-LINEARI-due-per-due
il resto è nel file Relazione tra determinate e area del parallelogramma,
ma qui sotto c'è un breve promemoria provvisorio

CONNESSIONE DEL DETERMINANTE CON IL SEGUENTE PROBLEMA:
trovare l'area del parallelogramma di vertici O(0,0), A(a,c), Q(a+b, c+d) e B(b,d)
dati due punti A(a,c)=(3,3/2) e B(b,d)=(1,2)

PRIMO METODO:
I.1) trovare al distanza tra l'origine O(0,0) e A(3,3/2) (ossia la base del parallelogramma)
I.2) scrivere l'equazione della retta r che passa per i punti O(0,0) e A(3,3/2)
I.3) scrivere l'equazione della retta r' perpendicolare alla retta r e passante per il punto B(1,2)
I.4) trovare le coordinate del punto H intersezione tra le rette r ed r' (OSSIA risolvere un sistema di equazioni lineari)
I.5) trovare la distanza tra i punti B ed H (ossia trovare l'altezza del parallelogramma)
I.6) l'area del parallelogramma è il prodotto base per altezza

SECONDO METODO
II.1) considerare che l'area del parallelogramma si ottiene come la'rea del rettangolo di vertici opposti l'origine O(0,0) e Q(a+b, c+d) = (3+1, 3/2+2)=(4,7/2) meno l'area di alcuni rettangoli e triangoli le cui aree si calcolano facilmente (vedere la figura determinante-come-area File, in formato jpg, e come sopra, scaricabile in fondo a questa pagina in formato pdf determinante-come-area-file-provvisorio )
II.2) calcolare l'area del rettangolo di vertici opposti l'origine O(0,0) e Q(a+b, c+d) = (3+1, 3/2+2)=(4,7/2) (gli altri vertici sono Q'(a+b,0)= 4,0) e Q''(0,7/2)
II.3) calcolare le aree dei triangoli e dei rettangoli rimanenti (vedere la figura determinante-come-area File, in formato jpg, e come sopra, scaricabile in fondo a questa pagina in formato pdf determinante-come-area-file-provvisorio )
II.4) utilizzare i conti fatti nei punti II.2 e II.3 per calcolare l'area del parallelogramma con il metodo del punto II.1

TERZO METODO
Calcolare il determinate della matrice con prima riga (a,b) e seconda riga (c,d)
ossia ad-bc= 3*2 - 1*(3/2) =(12-3)/2=9/2

SPIEGAZIONE GENERALE
COME ABBIAMO VISTO PRIMA, utilizzando la trasformazione
x'=ax+by
y'=cx+dy
(0,0), va in se stesso, il punto di coordinate (1,0) va nel punto A(a,c), il punto di coordinate (1,1) va in Q(a+b, c+d), il punto di coordiante (0,1) va nel punto B(b,d) e analogamente tutti i punti del quadrato di vertici (0,0), 1,0), (1,1) e (0,1) vanno nel parallelogramma di vertici O(0,0), A(a,c), Q(a+b, c+d) e B(b,d). Il fatto che l'area del parallelogramma sia diversa da zero, corrisponmde al fatto che la retta che passa per l'origine e il punto A(a,c) e quella che passa per l'origine e il punto B(b,d) sono sghembe.
Invece le due rette sono parallele se e solo se l'area del parallelogramma si riduce a zero ossia se A e B sono sulla stessa retta. In tale caso il sistema
ax+by=e
cx+dy=f
ha soluzione solo se (e,f) si trova sulla stessa retta alla quale appartengono sia A che B, (e in tale caso ci sono infinite soluzioni) e altrimenti non ci sono soluzioni.

Trovate le spiegazioni un po' più dettagliate nel file Relazione tra determinate e area del parallelogramma.

mercoledì 4 novembre ore 15-17

Esercizi vari sui sistemi di equazioni lineari (dal foglio 2 dell'Eserciziario, con variazioni).
Esempi di sistemi in due incognite e tre equazioni, esempio di sistema di due equazioni e 4 incognite.

Esempio di calcolo del minimo della funzione

y=Log(1+ (x-3)²)

come caso di funzione composta f(g(x)):
con f crescente ossia se v₁ < v₂  implica che  f(v₁) <= f(v₂)
e
con g tale che x₀ è punto di minimo per g con valore minimo g(x₀):
ossia qualunque sia x allora g(x₀) ≤  g(x)
DI CONSEGUENZA
qualunque sia x allora, essendo g(x_0)<= g(x) ed f crescente
f(g(x₀)) ≤  f(g(x))
ossia x₀ è punto di minimo per f(g(x)) con valore minimo f(g(x₀))

Rapida discussione del motivo per cui non vale per la funzione composta y=Log( (x-3)² )

giovedì 5 novembre ore 13,15-14,15

ATTENZIONE AL CAMBIO DI ORARIO

Esercizi su monotonia di funzioni composte f(g(x)) di funzioni monotone:

se f e g sono entrambe monotone crescenti o entrambe monotone descrescenti, allora f(g(x)) è monotona crescente,

se f e g sono entrambe monotone una crescente e l'altra decrescente  allora f(g(x)) è monotona decrescente,

studio del segno delle funzioni e individuazione di quali sono i quadranti in cui si trova il grafico di una funzione

(in particolare sono stati illustrati gli esercizi D28-29-30-31 del folgio 5 dell'Eserciziario e varianti)

nel caso di f(x) monotona, studio della monotonia di f(-x), di -f(x), di 1/f(x): se f è monotona crescente, allora f(-x),  -f(x), e 1/f(x) sono monotone descrescenti

(ovviamente  per 1/f(x) è necessario che f(x)≠0)

lunedì 9 novembre ore 15-17

Studio qualitativo del grafico di una funzione: comportamento ai bordi degli intervalli di cui è composto l'insieme di definizione (o campo di esistenza) di una funzione f(x)

Definizione di limite finito  di f(x) per x che tende ad a da destra, per x che tende a b da sinistra, per x che tende ad x₀, per x che tende a + ∞ e per x che tende a -∞.

Definizione di limite ±infinito  di f(x) per x che tende ad a da destra, per x che tende a b da sinistra, per x che tende ad x₀, per x che tende a + ∞ e per x che tende a -∞.

Esempi (presi dalle slide della prof.ssa Torre, lezione 7, CTF 2011-12, in particolare si veda Limiti, forme indeterminate (slide8)  nel sito "http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/lezioni.html )

proprietà dei limiti: il limite della somma è la somma dei limiti, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, etc.

Illustrazione del problema delle forme indeterminate.

studio del limite del rapporto di due polinomi, per x che tende a +∞.

mercoledì 11 novembre ore 15-17

Limite di funzioni composte: limiti con sostituzione, con esempi di applicazione.

Alcuni limiti notevoli lim_(x→0) (e^x-1)/x=1,  limiti di esponenziali per x che tende a +∞ (e per x che tende a -∞)

limiti di rapporti di funzioni potenza e di esponenziali,

limiti di rapporti fra logaritmi e funzioni potenza,

Continuità di una funzione in un punto x₀: lim_(x→x0) f(x)=f(x₀),

Continuità in un intervallo aperto (a,b), cioè continuità in ogni punto di (a,b)

Continuità in un intervallo chiuso [a,b], cioè continuità in ogni punto di (a,b) e
lim_(x→a⁺) f(x)=f(a)
lim_(x→b^-) f(x)=f(b)

Uso della continuità per il calcolo dei limiti di funzioni continui composte

Proprietà delle funzioni continue

la somma di due funzioni continue è una funzione continua,

il prodotto di due funzioni continue è una funzione continua,

il rapporto di due funzioni continue è una funzione continua, (se il denominatore non si annulla)

se una funzione è invertibile e continua, allora la sua funzione inversa è continua (inoltre se una funzione è invertibile e crescente anche la sua funzione inversa è crescente)

ESEMPI: i polinomi, i rapporti di polinomi (dove il denominatore non si annulla),

le funzioni esponenziali, i logaritmi (in quanto funzioni inverse degli esponenziali)

le funzioni trigonometriche e le loro inverse:

l'inversa di sin (x), detta arcsin(x) [arcoseno di x, ovvero arco il cui seno è x]

si restringe sin(x) a [-π/2, +π/2], dove la funzione sin(x) risulta crescente e continua

e si ottiene la funzione arcsin : [-1,+1] → [-π/2, +π/2] continua e crescente

l'inversa di cos (x), detta arccos(x) [arcocoseno di x, ovvero arco il cui coseno è x]

si restringe cos(x) a [0, +π], dove la funzione cos(x) risulta decrescente e continua

e si ottiene la funzione arccos : [-1,+1]→ [0, π] continua e decrescente

l'inversa di tan (x), detta arctan(x) (o arctg(x) ) [arcotangente di x, ovvero arco la cui tangente è x]

si restringe tan(x) a (-π/2, +π/2), estremi esclusi, in quanto tan(x) non è definita per x=π/2+kπ, ossia dove cos(x)=0

Nell'intervallo (-π/2, +π/2) la funzione tan(x) risulta crescente e continua ed è tale che

lim_{(x→ π/2 - )} tan(x)=+∞, mentre lim_(x→-π/2+) arctan(x)=-∞,

OSSIA tan(x) ha due asintoti verticali

e si ottiene la funzione arctan : (-∞,+∞) → (-π/2, +π/2) continua e crescente

e con lim_(x→+∞) arctan(x)=π/2, mentre lim_(x→-∞) arctan(x)=-π/2

OSSIA ha due asintoti orizzontali.

(si consiglia di vedere le slide della prof.ssa Torre, lezione 7, CTF 2011-12, in particolare si veda Limiti, forme indeterminate (slide8) nel sito "http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/lezioni.html )

svolti alcuni esercizi, presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 6-esercizi-sui-limiti e dall'Eserciziario, foglio 5

giovedì 13 novembre ore 13-15

Esercizi sui limiti, in casi di forme indeterminate riconducibili a casi "semplici"

limiti notevoli (senza dimostrazione, ma si consiglia di controllare sulla calcolatrice scientifica) 

sin(x)/x tende a 1 per x che tende a 0, 

(1+b/x)^x tende a e^b per x che tende a + ∞ (qualunque sia b reale)

Relazione (per il caso b=1) con il limite   lim_(y→0)lln(1+y)/y =1 :

OVVERO

lim_(x→+∞)(1+1/x)^x =e     se e solo se     lim_(x→+∞)ln [(1+1/x)^x ]= ln(e)

  se e solo se       lim_(x→+∞) x ln(1+1/x) =1

e posto y=1/x che tende a 0 quando x tende a + ∞ , e tenuto conto che x=1/y

 1= lim_(x→+∞) x ln(1+1/x) =   lim_(y→0) (1/y) ln(1+y)

Esericizi 32-37, 41-43, 49-50, 58, 61, 63 ,e altri...

Esercizi sulla continuit`a e sui limiti: Esercizi  1 e 2 pag 7

Studio parziale del grafico di una funzione  y=f(x) per le funzioni f(x)=x/(x²-4)  e  f(x)=(x²-4x)(1-x)  [Esercizio 1 pag.7 ed Esercizio 2 pag. 8]

(gli esercizi sono stati presi dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 6-esercizi-sui-limiti )

Cenno al problema dell'asintoto obliquo:

la retta y=mx+q è un asintoto obliquo per la funzione f(x) (per x che tende a + ∞) se

lim_(x→+∞)[ f(x)-(mx+q)]=0   o equivalentemente lim_(x→+∞)[f(x)-mx ]=q

necessariamente, se si divide per x,

lim_(x→+∞)[ f(x)-(mx+q)]/x=0,   ma ciò equivale a chiedere che      lim_(x→+∞) f(x)/x = m,

in  quanto  lim_(x→+∞) (mx+q)/x= lim_(x→+∞)m +(q/x)=m

TUTTAVIA ciò non basta, bisogna poi controllare se esiste un valore q per cui  lim_(x→+∞)[f(x)-mx ]=q

Nel caso di f(x)=(x²-4x)/(1-x) 

accade che   lim_(x→+∞) f(x)/x = lim_(x→+∞) (x²-4x)/(x-x²) = -1, e quindi m=-1

e inoltre

  lim_(x→+∞)[f(x)-mx ]  = lim_(x→+∞)[(x²-4x)/(1-x) - (-1)x ] = lim_(x→+∞)[(x²-4x)(1-x) + x ]

= lim_(x→+∞)[(x²-4x +x(1-x))/(1-x)  ]  = lim_(x→+∞)[(x²-4x +x-x²)/(1-x)  ] = lim_(x→+∞)[-3x /(1-x)] =3

e quindi la funzione ammette un asintoto obliquo (per x che tende a + ∞) dato dalla retta di equazione y=-x+3

Si può ripetere il ragionamento anche per x che tende a - ∞, ed otttenere che la retta di equazione y=-x+3 è un asintoto obliquo anche per x che tende a - ∞

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: la condizione lim_(x→+∞) f(x)/x = m, NON E' SUFFICIENTE, infatti se prendessimo ad esempio

la funzione g(x)=f(x)+|x|^1/2,   con y=f(x) che ammette la retta y=mx+q come asintotno obliquo

allora si avrebbe lo stesso

lim_(x→+∞) g(x)/x = lim_(x→+∞) [f(x)/x  + |x|^1/2/x ] = m + lim_(x→+∞)   |x|^1/2/x= m+0 =m

ma poi ovviamente,   se vale lim_(x→+∞)[f(x)-mx ]=q,  ossia se la retta y=mx+q è un asintoto per y=f(x),

allora y=g(x) non ammette asintoto obliquo, in quanto

  lim_(x→+∞)[g(x)-mx ]=lim_(x→+∞)[f(x)+ |x|^1/2-mx ] =lim_(x→+∞)[f(x)-mx + |x|^1/2] ="q+ ∞"=+ ∞

 

lunedì 16 novembre ore 15-17

equazione di una retta secante alla curva data dai punti (x,f(x)) nei punti P₀=(x₀, f(x₀)) e  P₁=(x₁, f(x₁)): y=f(x₀)+ { [f(x₁)-f(x₀)]/(x₁-x₀) }  (x-x₀)

ed equazione della retta tangente alla curva data dai punti (x,f(x)) nel punto (x₀, f(x₀)) come limite della retta secante quando P₁ tende a P₀ :

y= f(x₀)+ lim_(x1→x0){ [f(x₁)-f(x₀)]/(x₁-x₀) }  (x-x₀) , ossia y= f(x₀)+ f '(x₀) (x-x₀) 

OSSIA la derivata f ' (x₀) = lim_(x1→x0){ [f(x₁)-f(x₀)]/(x₁-x₀) }   come coeficiente angolare della retta tangente alla curva y=f(x) nel punto P₀=(x₀, f(x₀))

funzioni derivabili in un intervallo (a,b): se essie la derivata in ogni punto dell'intervalllo (a,b)

Calcolo delle derivate di f(x)=c, f(x)=x, f(x)= x², f(x)=x³.    Uso della formula (a+b)³,  (a+b)⁴,  etc., con l'ausilio del triangolo di Tartaglia [noto anche come triangolo di Pascal]

estensione al caso di f(x)=xⁿ,  per n intero naturale e di f(x)=x^a, per a reale (ed x >0)

Calcolo delle derivate di f(x)=e^x e di f(x)=a^x , per a >0 

(usando il limite notevole lim_(h→+0) (e^h-1)/h=1)

proprietà delle derivate: derivata di  a(fx), derivata della somma, derivata del prodotto, derivata del rapporto di funzioni derivabili

Derivata della funzione composta,  (idea attraverso il rapporto incrementale)

Derivata della funzione inversa  (motivazione geometrica e

calcolo delle derivate di  f(x)= ln (x)  e di f(x)= log_a(x)

(si veda anche il file REGOLE DI DERIVAZIONE)

mercoledì 18 novembre ore 15-17

Relazioni tra continuità e derivabilità. Derivata destra e derivata sinistra. Relazioni tra crescenza di una funzione derivabile e positività della derivata. Punti critici.

Funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato [a,b]: enunciato del teorema di Weierstrass se f è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora ammette massimo e minimo.

Ricerca degli estremi per funzioni continue definite in un intervallo chiuso e limitato [a,b] :
i punti di massimo e minimo vanno cercati tra gli estremi a e b, tra i punti critici, ossia quelli in cui la funzione è derivabile e la derivata si annulla, ed eventualmente quelli in cui non esiste la derivata.

Per questa parte vedere le slide della prof.ssa Anna Torre http://www-dimat.unipv.it/atorre/CTF2011-12/Lezione10.pdf

Discussione degli esercizi C4.3 e C4.4 del libro Gentili-Villani, e di alcuni esercizi proposti dagli studenti: in particolare gli esercizi D6 e D40 del foglio 2 dell'Eserciziario, D 24 del foglio 3 dell'Eserciziario

giovedì 19 novembre ore 13-15

Esercizio D4 del foglio 5 dell'Eserciziario con e senza derivate, idea con le derivate: basta osservare che
f(x)=ax³ +b x² +cx +d
e che
f'(x)=3 ax² +2 b x +c
e impostare il sistema
f(0)=0,
f(1)=1,
f'(1)=0, (in quanto il punto 1 è un punto estremale e quindi la derivata prima in 1 si annulla)
f(3)=0
ossia, traducendo le condizioni
d=0,
a+b+c+d=1,
3a+2b+c=0,
27a+9b+3c+d=0
e risolvere il sistema ottenuto (di 4 equazioni nelle 4 incognite a , b c, d)
ma essendo d=0, in realtà si riduce immediatamente a un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b, c.

(si veda anche il file REGOLE DI DERIVAZIONE)

Esercizio D21 sempre del foglio 5 (con e senza derivate):
IDEA
si tratta di una funzione crescente f (la radice di x) calcolata in una funzione g(x) (un polinomio di secondo grado con coefficiente di grado 2 negativo) il punto x₀ di massimo di f(g(x)) coincide con il punto di massimo della funzione g(x):

infatti se x₀ è punto di massimo per g,
ossia se g(x) è minore o uguale a g(x₀) per ogni x
allora, essendo f una funzione crescente si ha che f(g(x)) è minore o uguale di f(g(x₀)) per ogni x nell'insieme di definizione di f(g(x))
ossia x₀ è punto di massimo per f(g(x))
VARIANTE: potete ripetere lo stesso ragionamento per un'altra funzione f crescente, ad esempio f(x)=e^x

Esercizio (dal libro del prof. Foschi): trovare i punti di intersezione tra una retta r di equazione ax+by+1=0 e la retta perpendicolare alla retta r e passante per l'origine.
Svolti altri esercizi su richiesta degli studenti.

lunedì 23 novembre ore 15-17: DATA  PER LA PROVA DI AUTOVALUTAZIONE ore 17-18: correzione/spiegazione alla lavagna degli esercizi

Il compito potrà vertere su tutti gli argomenti svolti finora: calcoli numerici, percentuali, disuguaglianze, sistemi di disuguaglianze, sistemi di equazioni lineari, passaggi da e a scale logaritmiche o doppiamente logaritmiche, semplici esercizi di geometria analitica, e trigonometria, grafici di trasformazioni di funzioni e/o di funzioni inverse, limiti di funzioni, grafico qualitativo di una funzione.

In pratica gli argomenti dei fogli1-5 dell'eserciziario, escluse le progressioni (che abbiamo MOMENTANEAMENTE SALTATO)
Le derivate compariranno solo come argomento facoltativo.

Ci saranno 3  domande a risposta multipla e  un esercizio a risposta aperta. Le domande a risposta multipla dovranno essere giustificate (brevemente).

La prova di autovalutazione verrà inoltre giudicata con un voto da 0 a due punti, valido per un anno accademico: il punteggio ottenuto verrà aggiunto al voto dell'esame.

Ore 17-17,30 Correzione delle domande a risposta multipla D1, D1', D2, D2', D3 e D3'.

mercoledì 25 novembre ore 15-17

Discussione di alcuni errori nella soluzione della prova di autovalutazione:

in particolare sul seguente errore: nel caso di un sistema di n equazioni lineari in n incognite, 

il fatto che sia nullo il determinante della matrice associata al sistema di equazioni lineari,

NON GARANTISCE che ci siano infinite soluzioni,

inoltre è vero che, sempre se il determinante è nullo,  se si usa la regola di Cramer, necessariamente deve accadere che i determinanti dei numeratori ottenuti dal sostituire le colonne con la colonna dei termini noti deve essere nulla,

ovvero  E' VERO CHE  se uno di questi determinanti NON E' NULLO allora  sicuramente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONI,

MA IL VICEVERSA NON E' VERO.

ESEMPIO:  il sistema

x+y-z=a

2x+2y-2z=b

3x+3y-3z=c

e la matrice associata

1  1  -1                 

2  2  -2                  

3  3  -3                

ha determinante nullo,

ed è immediato vedere che l'unica possibilità affinché ci siano soluzioni è che b=2a e c=3a ed  in tale caso tutte le soluzioni sono (x,y, x+y-a).

Invece  il sistema

 x + y - z=1

2x+2y-2z=0

3x+3y-3z=0

non ammette soluzioni, ed è immediato vedere che sono nulli tutti i determinati delle tre matrici

1  1  -1                   1  1  -1                  1  1  1

0  2  -2                   2  0  -2                  2  2  0

0  3  -3                   3  0  -3                 3   3  0

Discussione delle domande D4 e D4'

derivate delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse.

Questa parte si può trovare nel file allegato in fondo REGOLE DI DERIVAZIONE, insieme alle derivate delle funzioni esponenziali e delle funzioni logaritmiche e alla discussione dell'esercizio D4 del foglio 5 dell'Eserciziario

giovedì 26 novembre ore 13-15

Convessità di una funzione (o concavità rivolta verso l'alto del grafico della funzione) in un intervallo (a,b) finito o infinito

e concavità di una funzione (o concavità rivolta verso il basso del grafico della funzione) in un intervallo (a,b) finito o infinito

Interpretazione grafica, PROTOTIPO di funzione convessa: f(x)=x²

OSSERVAZIONE se f(x) è convessa allora -f(x) è concava (e viceversa)

caratterizzazione

1) attraverso la derivata prima:

se la funzione f(x) è derivabile in (a,b) e la derivata prima è crescente nell'intervallo (a,b)  allora f(x) è convessa

2) attraverso la derivata seconda

se la funzione f(x) è derivabile due volte in (a,b) e la derivata seconda è maggiore o uguale a zero nell'intervallo (a,b) 

allora f(x) è convessa

Flessi orizzontali e flessi obliqui  (esempi) 

Regola di De L'Hopital  (esempi)

Teorema del confronto dei limit (anche noto come teorema dei carabinieri)

(per la teoria, in forma sintetica, si possono guardare le slide della Prof.sa Anna Torre; slide10 )

Esempi tratti dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file  8: Esercizi sullo studio di funzione

lunedì 30 novembre ore 15-17

Approssimazione di funzioni derivabili con polinomi 
Formula di Taylor (in particolare per n=0,1,2 e maggiorazioni del resto (ovvero dell'errore commesso)
ESEMPI svolti
Calcolo approssimato di e^(1/100) (e di e^-(1/100)) con un polinomio di grado 0,1,2, e maggiorazioni dell'errore commesso
Calcolo approssimato di cos(pigreco/100) con un polinomio di grado 2, e maggiorazioni dell'errore commesso
Calcolo approssimato di radice di (1+x) nelle vicinanze di 0, con un polinomio di grado 1 (e quindi con 1+x/2) e maggiorazioni dell'errore commesso

(per la teoria, in forma sintetica, le ultime due pagine di slide11 della Prof.ssa Anna Torre)

Cenno all'idea di differenziale (questo argomento verrà ripreso)
Se f è derivabile con derivata continua, allora
f(x+dx)-f(x)=: Delta f(x)
è l'incremento di f nell'intervallo di estremi x e x+dx, invece
df(x)=f'(x) dx
è l'incremento della tangente ad f (tangente al grafico di f nel punto (x,f(x)) nell'intervallo di estremi x e x+dx.

Esercizio su massimo e/o minimo:

in un corridoio a forma di L di cui una prima parte ha larghezza 1 metro e una seconda parte ha larghezza due metri, e altro 3,20 metri dobbiamo far passare una lastra di larghezza 4 m e altezza 3,18 metri (quindi deve passare in verticale)
E' possibile?

(per una soluzione si veda il 21 novembre nel Diario delle Lezioni del 2014-15)

mercoledì 2 dicembre ore 15-17

Problema del calcolo delle aree. Metodo di approssimazione per ottenere l'area del cerchio.
Introduzione agli integrali definti.
Problema del calcolo dell'area della regione compresa tra l'asse x (per x compreso tra a e b) e il grafico di una funzione f(x) continua in [a,b] e con f(x)≥0:
approssimazioni dell'integrale definito.
Calcolo dell'integrale fra a e b della funzione x, sia geometricamente che con la definzione formale

[   a questo scopo abbiamo utilizzato e verificato la formula  1+2+...+(n-1)+n = n(n+1)/2  :
INFATTI
due volte la somma  1+2+...+(n-1)+n  vale  n volte (n-1), come mostra la somma qui sotto

     1   +     2    +  ... +  (n-1)  +  n
 +  n   +  (n-1)  + ... +     2     +  1
-----------------------------------------------
 (n+1) + (n+1) +  ...  + (n+1) + (n+1)   =   n (n-1)

FINE DELLA VERIFICA DELLA FORMULA ]

Illustrazione delle proprietà dell'integrale definito.

Per questa parte, oltre al libro, si vedano le slide della prof. Torre Integrali (slide12)   (attenzione è in power point)

 e  il diario delle lezioni 2014-15:  mercoledì 2 dicembre


Esercizio: studio e grafico della funzione  f(x)= x^2/(x^2+3),  inclusi i flessi. 
(per quanto riguarda i flessi si veda il diario delle lezioni 2014-15:  mercoledì 26 novembre )

giovedì 3 dicembre ore 13-15

Primitive e Integrali indefiniti: relazione con gli integrali definiti.

Calcolo degli integrli indefiniti (ossia di tutte le primitive) per le principali funzioni.

1) Si tratta di "invertire" la tabella delle derivate.

Sul libro si trova una tabella completa, ma suggerisco anche la tabella da youmath all'indirizzo
 http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/596-integrali-notevoli.html

Esempi di applicazione.

(non affrontato, in questa lezione, sarà fatto nella lezione di luned' 7 dicembre)

2) Oppure si tratta di usare le formule di calcolo per sostituzione, o quelle di integrazione per parti

Esempi di applicazione

IMPORTANTE ci sono casi in cui non è nota l'espressione esplicita dell'integrale indefinito, in tali casi però si può ricorrere a tabelle o ad approssimazioni.

ESEMPIO f(x)= (densità gaussiana)

venerdì 4 dicembre ore 11-13 NON C'E' L'aula

lunedì 7 dicembre ore 15-17

Formule di calcolo per sostituzione, e quelle di integrazione per parti 

Derivano rispettivamente dalle formule della derivazione per le funzioni composte  e dalla formula di derivazione del prodotto di due funzioni:

FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE:

sia F una primitiva di f, ossia F'(t)=f(t), e sia g(x) una funzione derivabile, con g'(x) continua, allora

F(g(x)) è una primitiva di f(g(x))g'(x),    OSSIA

se ∫ f(x) dx =F(x)+C  allora ∫ f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x)) + C

IMPORTANTE ricordando che g'(x)dx= dg(x) è il DIFFERENZIALE DI g(x) SI USA SCRIVERE

∫ f(g(x)) g'(x) dx  = ∫ f(g(x)) dg(x) = F(g(x)) +C

INFATTI  BASTA VERIFICARE CHE        F(g(x)) sia una primitiva di f(g(x))g'(x),

ossia

la derivata di F(g(x)) +C  sia uguale a f(g(x)) g'(x)

e ciò segue immediatamente dalla formula di derivazione della funzione composta:

(d/dx){F(g(x))+C} = F'(g(x)) g'(x) +0 = f(g(x)) g'(x)

ESEMPIO DI APPLICAZIONE

∫ sin(x) (cos(x))² dx  =  ∫ (-cos(x))'  cos²(x) dx = -∫ cos²(x) dcos(x)

Poiché ∫ t² dt= t³/3 + C con la formula di integrazione per sostituzione possiamo affermare che

∫ sin(x) cos²(x) dx  =  ∫ (-cos(x))' cos²(x) dx = -∫ cos²(x) dcos(x) = - cos³(x)/3  + C

e quindi, ad esempio

  ∫₀^π sin(x) cos²(x) dx = - cos³(x)/3 |₀^π =

=- cos³(π)/3  - ( - cos³(0)/3 ) = -(-1)³/3 + 1³/3=2/3

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Se aveste dimenticato il segno - nella primitiva, vi sarebbe venuto -2/3

Ma un integrale negativo sarebbe stato un risultato impossibile, in quanto la funzione f(x)=sin(x) cos²(x) ≥ 0 per x nell'intervallo di integrazione [0,π] e, quindi, ANCHE PRIMA DI ESEGUIRE I CALCOLI, SAPPIAMO CHE l'integrale deve essere un numero ≥ 0.

Esercizi dal Foglio 7 dell'Eserciziario in particolare l'Esercizio D14

mercoledì 9 dicembre ore 15-17

Ancora sulle regole di integrazione per parti e per sostituzione.

Per l'integrazione per parti si veda la prima versione delle REGOLE DI INTEGRAZIONE

Esempio del calcolo dell'area della regione contenuta in un'ellisse di equazione  (x/a)²+(y/b)²=1  (con a e b >0)

utilizzando l'espressione dell'integrale della radice di 1-x², ossia

∫ (1-x²)^1/2 dx = (1/2) x (1-x²)^1/2 +  (1/2) arcsin(x)+C

e si trova che l'area è uguale ad  π ab.

OSSERVAZIONE, nel caso in cui a=b=r si ritrova la formula dell'area del cerchio .

Esempi vari ed esercizi tratti dal sito della Prof.ssa Giulia Giantesio http://docente.unife.it/giulia.giantesio/esercizi-di-matematica-per-ctf-2013-2014> e precisamente dal file 11: Esercizi sul calcolo integrale  (esclusi gli integrali per le funzioni razionali fratte) 

Per risolvere questi esercizi suggerisco di guardare la tabella  deli integrali da youmath all'indirizzo
 http://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/integrali/596-integrali-notevoli.html

Sul web si trovano numerose tabelle, ma ATTENZIONE, possono contenere errori.

(come ad esempio nella tabella http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/Fisica1/Materiale_didattico/tabint.pdf )

Inoltre vi rendo noto che esiste un sito https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html

in cui potete trovare molti esempi di calcolo di integrali, ma non solo.
Il suo utilizzo deve essere il seguente: provate a svolgere un esercizio e poi controllate sul sito di wolfram-alpha

INFINE IMPORTANTE: esistono funzioni di cui non si sa scrivere nessuna primitiva, come ad esempio la funzione

φ(x)= (1/(2π)^1/2)   e ^-x2/2   

si sa che esiste una funzione primitiva Φ (x) ossia tale che la sua derivata coincide con

φ(x)= (1/(2π)^1/2)   e ^-x2/2   

ma non la si può scrivere tramite le funzioni "elementari"  ossia le potenze, le funzioni esponenziali, i logaritmi le funzioni trigonometriche, ma esistono delle tavole che permettono di calcolarla per moltissimi valori di x.

Quindi, tramite le tabelle della funzione Φ (x) si può calcolare l'integrale di φ(x) in un intervallo  (a.b) come Φ (b)-Φ (a).

QUESTO ESEMPIO VERRA' RIPRESO quando ci occuperemo di statistica: è un esempio molto importante negli studi sperimentali, ed è legato agli errori di misurazione.

giovedì 10 dicembre ore 13-15

Calcolo del volume di un cilindro di base un cerchio di raggio R e altezza h : il volume è semplicemente l'area della base per l'altezza, quindi

VOLUME DEL CILINDRO= π R² h

Calcolo del volume di un cono di base un cerchio di raggio R e altezza h :

il volume si può calcolare come limite della somma di tanti cilindri di raggio e altezza variabili

(una specie di "torta nunziale" a "strati sempre più numerosi e sottili" ossia con

 
∫₀^h π r²( y)  dy

dove y= altezza dal basso  e r( y) è il raggio corrispondente:

si ottiene che r( y):R= h-y=h da cui r( y)= (R/h) (h-y)   

[ infatti  si tratta di considerare un triangolo simile al triangolo rettangolo di base R ed altezza h, ma di base r( y) e altezza h-y, ossia quanto rimane da y fino ad h]

∫₀^h π r²( y)  dy= ∫₀^h π (R/h)² (h-y)² dy

da cui, svolgendo i calcoli viene    VOLUME DEL CONO= π R² h/3

Calcolo del volume di una sfera di raggio R: conviene calcolare prima il volume della semisfera con un metodo simile a quello per calcolare il volume del cono.

Inoltre ci si riduce al caso R=1, per semplicità.

il volume della semisfera di raggio 1 è quindi data da      ∫₀¹ π r²( y)  dy

dove y= altezza dal basso   ma questa volta, per il teorema di Pitagora vale y²+r²( y)=1, da cui r²( y)=1-y²,  e quindi

   ∫₀¹ π r²( y)  dy =   ∫₀¹π (1-y²)  dy= π [ y- y³/3 ]₀¹  = π [ 1- 1/3]= π 2/3

da cui VOLUME DELLA SFERA DI RAGGIO R = 4π R³/3    [= VOLUME DELLA SFERA DI RAGGIO 1 x R³]

Estensione dell'integrale al caso in cui uno degli estremi dell'integrale vale +∞ 

  ∫_a^+∞  f(x)  dx = lim _{(b→ +∞)} ∫_a^b f(x)  dx   (SE TALE LIMITE ESISTE)

 

o uno degli estremi dell'integrale vale -∞ 

∫_-∞^b f(x)  dx = lim _{(a→ -∞)} ∫_a^b f(x)  dx   (SE TALE LIMITE ESISTE)

ESEMPI:

∫₁^+∞ (1/x²)  dx = lim _{(b→ +∞)} ∫₁^b(1/x²)   dx

= lim _{(b→ +∞)} (-1/x) |₁^b  = lim _{(b→ +∞)} [(-1/b) -(-1)]

= lim _{(b→ +∞)} [1- (1/b)] =1

------------------------------------

∫_-∞⁰ e^x dx = lim _{(a→ -∞)} ∫_a⁰e^x  dx =lim _{(a→ -∞)}  e^x |_a⁰

=lim _{(a→ -∞)} [e⁰ - e^a ]= 1

INVECE

la funzione cos(x) non è integrabile in (0, +∞) in quanto l'integrale indefintio di cos(x) è sin(x)+C e  quindi l'integrale di cos(x) tra 0 e b vale sin(b) che continua ad oscillare tra +1 e -1 e il limite non esiste.

Esercizio 8.19 del libro di Villani-Gentili:

calcolo approssimato di  ∫_-0.4 ^0.4  exp{-x ² /2} dx

usando la formula di Taylor.

IL PROBLEMA E' CHE NON E' POSSIBILE SCRIVERE UNA PRIMITIVA di exp{-x ² /2} in termini delle funzioni elementari, quindi l'unica cosa da fare è fare un calcolo approssimato

IDEA APPROSSIMARE   ∫_a^b f(x)  dx  con  ∫_a^b T_nf(x)  dx 

dove T_nf(x) è il polinomio di Taylor di grado n di f(x)

Al contrario di    ∫_a^b f(x)  dx , che non sappiamo calcolare quando f(x)= exp{-x ² /2} , sicuramente  sappiamo calcolare ∫_a^b T_nf(x)  dx  perché sappiamo integrare tutti i polinomi.

VEDREMO CHE possiamo prendere come polinomio di Taylor  1-x ² /2  e che quindi  possiamo approssimare

∫_-0.4 ^0.4  exp{-x ² /2} dx      con   

   ∫_-0.4 ^0.4 (1-x²/2) dx = 2 ∫₀ ^0.4 (1-x²/2) dx = 2 (x-x³/6)|₀ ^0.4  =

=  2 (4* 10^-1-(4* 10^-1)³/6) = 8* 10^-1- 64* 10^-3/3 = 0,8 - 21,333333 * 10^-3= 

= 0,77866666666666666666666666666667

vedremo che l'errore commesso è minore in valore assoluto di  5,12 * 10^-4

Ed infatti utilizzando il sito di Wolfram Alpha  https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html

(ed in particolare cliccando

e scrivendo l'istruzione   integrate exp{- x^2/2} dx from x=-0.4 to 0.4

si ottiene  ∫_-0.4 ^0.4  exp{-x ² /2} dx  = 0,779169

e l'errore commesso è  |0,77866666666666666666666666666667- 0,779169|= 0,000502333333333333333333333333330

CALCOLO DELL'ERRORE

∫_a^b f(x)  dx - ∫_a^b T_nf(x)  dx = ∫_a^b [f(x) -T_nf(x) ] dx

ed è facile convincersi che (stiamo assumendo a<b)

|   ∫_a^b f(x)  dx - ∫_a^b T_nf(x)  dx |   ≤   ∫_a^b |f(x) -T_nf(x)| dx 

e che se 0 ≤ h(x) ≤ g(x) allora     ∫_a^b h(x)  dx ≤  ∫_a^b g(x)  dx,

da cui

prendendo   h(x)=|f(x) -T_nf(x)|    e g(x) = sup _{ξ in [a,b]} |f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)|   |x-x₀|ⁿ⁺¹/(n+1)!   (con x₀ fissato)

per cui 0 ≤h(x)=|f(x) -T_nf(x)| ≤ sup _{ξ in [a,b]} |f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)|   |x-x₀|ⁿ⁺¹/(n+1)! = g(x)

si ha

|   ∫_a^b f(x)  dx - ∫_a^b T_nf(x)  dx |  ≤  ∫_a^b |f(x) -T_nf(x)| dx

≤ ∫_a^b  sup _{ξ in [a,b]} |f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)|   |x-x₀|ⁿ⁺¹/(n+1)!  dx

Per trovare un polinomio che approssimi  f(x)= exp{-x ² /2}  possiamo procedere come segue:

sappiamo che  il polinomio di Taylor  di f(t)= e^-t di grado 1, per t₀=0,  è

T_1f(t)=1-t      (in quanto f(0)= e^-0=1 e f'(t)=-e^-t e quindi f'(0)=-e^-0=-1)

sappiamo  che per t≥0  si ha,

|e^-t -(1-t)|  ≤ sup _{ξ in [0,t]} |f''(ξ)|   |t|¹⁺¹/(1+1)!  = sup _{ξ in [0,t]} |e^-ξ|   |t|²/2 = |t|²/2

Preso t=x²/2  possiamo affermare che

|e^-x2/2 -(1-x²/2)|  ≤ (x²/2)²/2  = x⁴/8

e quindi

| ∫_-0.4 ^0.4  exp{-x ² /2} dx -∫_-0.4 ^0.4 (1-x²/2) dx|


=  | 2 ∫₀ ^0.4  exp{-x ² /2} dx - 2 ∫₀ ^0.4 (1-x²/2) dx |


= 2     |  ∫₀ ^0.4  exp{-x ² /2} dx -  ∫₀ ^0.4 (1-x²/2) dx |


≤  2  ∫₀ ^0.4  |exp{-x ² /2} dx -  (1-x²/2)| dx   


≤  2  ∫₀ ^0.4 x⁴/8 dx   =  (1/4)   x⁵/5 |₀ ^0.4 

= (1/4)  (4 * 10^-1)⁵ /5      = 4⁴ * 10^-5 /5 = 256/5   * 10^-5

=   51,2* 10^-5= 5,12 * 10^-4= 0,000512


e quindi possiamo affermare che

∫_-0.4 ^0.4  exp{-x ² /2} dx  =   ∫_-0.4 ^0.4 (1-x²/2) dx ±5,12 * 10^-4 =

=0,77866666666666666666666666666667 ±5,12 * 10^-4 =

in quanto, abbiamo visto,  possiamo calcolare l'integrale del polinomio approssimante.

 

ATTENZIONE per il diario delle lezioni dal 14 dicembre 2015 in poi vedere il prossimo argomento