mercoledì 1 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Unità di misura, potenze di 10, passaggio da radianti a gradi, minuti (di angolo) e secondi (di angolo). Problema della propagazione dell'errore: primi esempi.

venerdì 3 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Problema della propagazione dell'errore: errore assoluto ed errore relativo per prodotto e divisione. Esempi. Ordine di grandezza, esempi. Percentuali. Esempio sulla concentrazione di una soluzione chimica.

lunedì 6 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Esercizi in aula su ordine di grandezza e percentuali. Problema del raddoppio, in una progressione geometrica.

lunedì 6 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Equazioni e Disequazioni di primo e di secondo grado.

mercoledì 8 ottobre 2014

non c'è lezione.

venerdì 10 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Equazioni e disequazioni irrazionali. Esercizi sulle disequazione e altri, tra i quali, dal foglio 1.calcolo, gli esercizi D.20, D.27 (attenzione c'è un errore di stampa)

lunedì 13 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Esercizi tra i quali, l'esercizio D.21, dal foglio 1.calcolo,

Approssimazione di ³√ 3

Calcolo (a priori) dell'errore di (a²+ b²)/(a² - c²) 

quando

a =  α ± Δα (ovvero a=3,21 ± 0,01)

b =  β ± Δβ (ovvero b=1,15 ± 0,01)

c =  γ ± Δγ (ovvero c=2,11 ± 0,01)

utilizando le formule per l'errore del prodotto

(nel caso in cui i valori α - Δα  e  β - Δβ siano entrambi positivi)

ab=αβ+ΔαΔβ ± (αΔβ+βΔα) = (circa) αβ  ± (αΔβ+βΔα)  

[trascurando il termine ΔαΔβ]

da cui (per b=a)   a²=  α²  ± (2αΔα) 

a+b= α+β  ± (Δα+Δβ)

a-b = α-β  ± |Δα-Δβ|

e infine

(a/b) = (circa) (α/β) ± (αΔβ+βΔα)/β².

Esercizio 1.14 : in un triangolo rettangolo, noti ipotenusa e un cateto, calcolo dell'altro cateto. Valutazione dell'errore.

lunedì 13 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Progressione aritmetica S+nd e progressione geometrica Sqⁿ.

 Esempi di aumento dello stipendio, interesse semplice e composto. Esercizio C4.1 (divisione di un segmento in 4 parti, sia con la progressione geometrica di ragione 2 che con una progressione aritmetica con S=0)

Somma dei primi termini di una progressione aritmetica e somma dei primi termini di una progressione geometrica.

mercoledì 15 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Esercizi sulle serie geometriche e aritmetiche (D.17, D18 e D19 del foglio 2.Sistemi e progressioni). Sistemi di equazioni lineari in due e tre variabili (discussione degli esempi 4.1, 4.2 e 4.3)

venerdì 17 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Lezione interrotta per malore di una studentessa (solo riepilogo sui sistemi di equazioni lineari di tre eqauzioni e tre incognite e l'esercizio 1.38)

lunedì 21 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Rappresentazioni della retta nel piano cartesiano. Esercizio C4.5)

lunedì 21 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Discussione dell'esercizio C4.4 e degli esercizi D.9  e D.35 del foglio 2.Sistemi e progressioni.

In particolare ecco la mia soluzione dell'esercizio C4.4 (che è in accordo con quella del libro) in versione semplificata:

si miscelano due composti chimici già preparati e precisamente CO (Monossido di Carbonio) e CO₂ (Anidride carbonica). Supposto che sia noto che il Carbonio è presente nella miscela per il 33%, si chiede la composizione della miscela (ossia la percentuale di monossido di carbonio e quella di anidride carbonica)

In questo caso, posto

- N₁ il numero delle molecole di CO presenti nella miscela con ogni molecola di peso molecolare circa 12+16

e

- N₂ il numero delle molecole di CO₂ presenti nella miscela

si ha che ci sono

(N₁+N₂) atomi di carbonio  di peso atomico circa 12 (stiamo trascurando il peso degli elettroni)

ed

(N₁+2N₂) atomi di ossigeno di peso atomico circa 16 (stiamo trascurando il peso degli elettroni)

Il peso percentuale delle molecole di CO rispetto al peso totale è

(12+16) N₁ / [(12+16) N₁ + (12+32) N₂]

= (3+4) N₁ / [(3+4) N₁ + (3+8) N₂]

=7 N₁ /[ 7 N₁ + 11 N₂] = 7/[7+11 (N₂/N₁)]

il peso percentuale degli atomi di carbonio rispetto al peso totale è

12 ( N₁ + N₂) /[12  N₁ + N₂) + 16 (N₁ + 2 N₂) ]

= 3 ( N₁ + N₂) /[3 (N₁ + N₂) + 4 (N₁ + 2 N₂) ]

= 3 ( N₁ + N₂) /[7 N₁  + 11 N₂ ]

= 3 (1+ (N₂/N₁) )/ [7 + 11 (N₂/N₁)]

= 33/100 (=33%)   [dato del problema]

Quindi. posto x= N₂/N₁, ed y il peso percentuale di CO  si ottiene il sistema formato dalle seguenti due equazioni (attenzione! questa è una versione del sistema più semplice della versione vista a lezione)
---------

y=7/[7+11 x]      (y = percentuale di CO)

e

3 (1+x)/[7+11 x]=33/100       

---------- (attenzione: con questo editor non posso fare la parentesi graffa del sistema)      

Dividendo per 3 ambo i membri e moltiplicando per [7+11 x],  la seconda equazione diviene

  (1+x) = (11/100) [7+11 x]

ossia

1+x= 77/100 + (121/100) x

che diviene ancora

1-77/100= (121/100-100/100)x

ossia

23/100=21/100 x e quindi x=23/21

a questo punto basta calcolare

y=7/[7+11 x] = 7/[7+11 (23/21)] =7 · 21 /(7 · 21 + 11 · 23 )

= 147 /(147 + 253)=0,3675 (= 36,75 %)

Chiaramente la percentuale di CO2 è quindi 63,25%.

________________________________________________________

Un punto che non è stato chiarito abbastanza (e quindi capito abbastanza) è il seguente:

perché il peso percentuale delle molecole di CO rispetto al peso totale è

(12+16) N₁ / [(12+16) N₁ + (12+32) N₂] ?

Basta osservare che  (ricordiamo che stiamo trascurando il peso degli elettroni) posto p il peso di un protone si avrebbe che il peso totale della miscela sarebbe

[(12p+16 p)  N₁ + (12 p +32 p) N₂] = [(12+16) N₁ + (12+32) N₂] p

mentre il peso delle molecole di CO sarebbe

(12p+16 p)  N₁= (12+16)  N₁ p

e chiaramente

(12+16)  N₁ p / ( [(12+16) N₁ + (12+32) N₂] p )

= (12+16) N₁ / [(12+16) N₁ + (12+32) N₂]

______________________________________________

Una soluzione proposta dagli studenti implicitamente assumeva che N₁ ed N₂ fossero uguali, ossia che x=1, e quindi non era esatta.

_________________________________________________

altri studenti mi hanno suggerito che la miscela si formasse dalla reazione chinica di una miscela di Carbonio (al 33%) e Ossigeno (al 67%) ossia dalla seguente reazione (se non ho capito male):

inizialmente si le molecole di Ossigeno si "uniscono" a quelle di Carbonio formando CO

secondo la reazione C+O → CO

poi quelle di ossigeno rimanenti si uniscono alle molecole, secondo la reazione

CO+O → CO₂.

PERO' A ME SEMBRAVA UN ESEMPIO DIVERSO (e che riguarda le reazioni chimiche e non la matematica)

--------- la soluzione pero' potrebbe trovarsi in questo modo------

Quindi, SE HO CAPITO BENE, inizialmente il 33%  di Carbonio (N_C atomi) si combina con altri N_C atomi di Ossigeno e quindi si formano N_C molecole di Monossido di carbonio, ossia CO.

Posto N_O il numero di molecole di Ossigeno sappiamo che

12 N_C /(12 N_C+16N_O)=33/100

da cui possiamo ricavare che, posto u= N_O/N_C,

3/(3+4 u)=33/100 ossia 100/11= 3+4u e quindi u= 67/44

A questo punto rimangono N_O-N_C atomi di Ossigeno che formano altrettanto molecole di Anidride Carbonica, ossia CO₂.

A questo punto si hanno

N_C -(N_O-N_C)= 2N_C - N_O molecole di CO ed (N_O-N_C) molecole di CO₂.

ma allora la percentuale di  molecole di CO è

y=(12+16) (2N_C - N_O)[(12+16) (2N_C - N_O) + (12+32)(N_O-N_C)]

= 7 (2N_C - N_O)[7 (2N_C - N_O) + 11 (N_O-N_C)]

= (14 N_C -7 N_O) /[3 N_C + 4 N_O]

=(14 -7 u) /[ 3 + 4 u ]

ossia, ricordando che u=67/44

y = (14 -7· 67/44) /[ 3 + 4 ·67/44 ] =(14 · 44 - 7 · 67)/ [3 · 44 + 4 · 67]

   = 147/400= 0,3675

E si arriverebbe allo stesso risultato!!

mercoledì 22 ottobre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

matrici, determinanti, regola di Cramer per la soluzione dei sistemi di p equazioni in p incognite, quando il determinante della matrice associata è diverso da zero. Esempio (p=2):

si consideri il sistema 

ax+by=e

cx+dy=f

la matrice associata è

a	b
c	d

il vettore colonna dei termini noti è

e

f

Se il determinante della matrice associata al sistema è diverso da zero, ossia se

ad-bc ≠ 0

allora la prima componente della soluzione, cioè la x si ottiene come

 il rapporto tra il determinante della matrice

e	b
f	d

(ottenuta sostituendo la prima colonna  della matrice del sistema con la colonna dei termini noti)

 e il determinante della matrice del sistema, ossia il determinante di

a	b
c	d

in altre parole

x=(ed-bf)/(ad-bc)

La seconda componente, cioè la y, si ottiene come rapporto tra il determinante della matrice

a	e
c	f

(ottenuta sostituendo la seconda colonna della matrice del sistema con la colonna dei termini noti,)

e il determinante della matrice del sistema, ossia 

y=(af-ec)/(ad-bc)

venerdì 24 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Solo esercizi sui sistemi di equazioni in più incognite e sulle progressioni.

lunedì 27 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Permutazioni (senza ripetizione) di n elementi e Disposizioni (senza ripetizione) di n elementi di classe k. Disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k.

Equazione della retta perpendicolare a una retta data e passante per un punto dato.

Esercizio del foglio 3 D1 (del tipo: dati 3 punti di un parallelogramma, trovare il quarto punto e inoltre trovare l'area del parallelogramma)

mercoledì 29 ottobre 2014 (ore 15-16 aula A Plesso Tecce)

Coniche: parabole, circonferenze, ellissi, iperboli. Rette tangenti a una circonfenrenza.

venerdì 31 ottobre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Funzioni, dominio e codominio, funzioni suriettive, iniettive e biunivoche. Funzione identità. Funzioni di variabile reale a valori reali: esempi e grafici delle funzioni. Cenno alle funzioni inverse. Somma di due funzioni, prodotto di due funzioni e reciproco di una funzione. Funzioni definite  a tratti, esempi, grafico della funzione g(x)=f(x+a) e sua espressione.

(per questa parte si consiglia di vedere le slide preparate dalla Prof. Anna Torre al link http://www-dimat.unipv.it/atorre/farmacia2013-2014/lezioni.html)

Esercizio su rette tangenti a una circonferenza passanti per un punto fuori la circonferenza. Esercizio D.27 foglio 3. Geometria Analitica

lunedì 3 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Richiami sulle funzioni e i grafici di funzioni, controesempio: le coppie (x,y) tali che  x²+y²=1, non sono il grafico di una funzione.

Composizione di due funzioni. Esempi

f: R → [0,+∞), x→ x²+1     g: [0,+∞)  → [0,+∞), t → √ t

gο f : R → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²+1)= √ (x²+1)

-------------------

f: [0,+∞) → [0,+∞), x→ x²+1     g: [0,+∞)  → [0,+∞), t → √ t

f ο g : R → [0,+∞), t→ f(g(t))=f(√ t )= (√t )²+1 = t+1

g ο f : R → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²+1)= √ (x²+1)

OSS:  f ο g e g ο f sono diverse

----------------------------

f: R → R, x→ x²-1     g: [0,+∞)  → [0,+∞), t → √ t

gο f può non avere senso: ad esempio g(f(0))=g(-1)= √(-1)

NON HA SENSO almeno se considerata come funzione a valori reali.

In questo caso va modificata la funzione, cambiando il dominio, in modo che si possa prednere come codominio  [0,+∞)

Ossia va definita

f₁: {x tali che x²-1≥ 0 } = (-∞, -1] U [1, +∞) → [0,+∞)

gο f₁ : (-∞, -1] U [1, +∞)  → [0,+∞), x→ g(f(x))=g( x²-1)= √ (x²-1)

------------------------

FUNZIONE INVERSA:

se f: D →C, x→f(x)      g: C  → D, t → g(t)

si ha che  g è la funzione inversa di f e si denota con f^-1.

se e solo se

f ο g : C → C, t→ f(g(t))= t  (è la funzione identità su C)

e inoltre

g ο f : D → D, x→ g(f(x))=x (è la funzione identità su D)

 

Esempio

f: [1,2] → [0,2], x → 2(x-1)   g: [0,2] → [1,2], t → (t/2)+1

f ο g : [0,2] → [0,2], t→ f(g(t))=f( (t/2)+1 ) = 2 ( (t/2)+1 -1 ) =t

g ο f : [1,2] → [1,2], x→ g(f(x))=g( 2(x-1) ) =   (2(x-1)/2)+1 = x-1+1=x

---------------------------------------

Richiamo: per ogni naturale m≥1  la funzione [0,+∞) → [0,+∞), x  →  x^m è invertibile (è strettamente crescente e sutirettiva) e la sua inversa  è la radice m-sima ed è denotata anche come la funzione

[0,+∞) → [0,+∞), x  →  x^1/m

-----------------------------------------

Funzione elevamento a potenza sui razionali

Sia a >0

se q=m/n razionale (cioè in Q) 

allora a^q= (a^1/n) (a^1/n).... (a^1/n)  [prodotto di (a^1/n)  m volte]

Per a > 1 la funzione q  → a^q è strettamente crescente sui razionali,

ossia se q₁ < q₂ allora a^q₁ < a^q₂ .

(senza dimostrazione, comunque: senza ledere in generalità si può supporre che  q₁ =n₁/m e  q₂=n₂/m, con n₁ < n₂, e notando che se a>1 allora a^1/m >1, si ottiene subito che a^q₁ < a^q₂ )

Invece per 0<a<1 si ha che q  → a^q è strettamente decrescente sui razionali,

ossia se q1 < q2 allora aq1 > aq2 .

Da questo (senza pretesa di rigore) si può definire a^x per ogni x reale (sempre con a>0 ) osservando che

 (1) se  q₁ e q₂ sono "vicini" anche  a^q₁ e a^q₂ lo sono 

 (2) se x è un numero reale, con q₁ < x < q₂    allora è naturale suppore che il valore di a^x sia compreso tra  a^q₁ e a^q₂ (se a >1)  o tra  a^q₂ e a^q₁ (se 0<a<1)

(3) fissaro x, i valori di q₁ e q₂ si possono prendere "vicini" a piacere e quindi anche i valori di  a^q₁ e a^q₂ .

Alla fine a^x viene definito come questo valore "limite".

(per una definizione rigorosa dovremmo usare il concetto di limite, che vedremo più in là)

La funzione R→ (0,+∞), x → a^x, gode di diverse proprietà

a⁰=1,

a^x₁+x₂=a^x₁ a^x₂,

a^-x=1/a^x,

(a^x)^y=a^xy ;

inoltre la funzione è invertibile R→ (0,+∞), x → a^x e la sua inversa è la funzione logaritmo in base a ossia la funzione

(0,+∞) → R, y → log_a ( y ) ,

ossia quella funzione per la quale valgono

per ogni x reale: log(a^x)=x

per ogni y >0 : a ^{log_a( y )}=y

utilizzando queste proprietà e quelle dell'elevamento a potenza si ottengono facilmente le proprietà dei logaritmi

log_a(1)=0

log_a(bc)=log_a(b)log_a(c)

log_a(b^_α)=α log_a(b) [ caso particolare α=-1: log_a(1/b)= - log_a(b) ]

Cambio di base

log_a(c)=log_a(b)log_b(c)

[caso particolare, osservando che log_a(a)=1, e ponendo c=a si ottiene

1=log_a(b)log_b(a) ossia  log_b(a) = 1/log_a(b)

NOTAZIONE:

Log(x)=log₁₀(x)     (logaritmo in base 10) 

ln(x)=log_e(x)      (logaritmo naturale e numero di Nepero  e = (circa) 2,71828

Esempio 6.14 del libro: sia come nel libro passando ai logaritmi in base 10, che con i logaritmi in base 2  [le due soluzioni sono uguali, utilizzando il fatto che

Log 2 =  (log₂10 )^-1 ]

lunedì 3 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Verifica del Cambio di base

log_a(c)=log_a(b)log_b(c)

VERIFICA osserviamo che 

           a^log_a(c)= c e che a^{log_a(b)log_b(c)} = (a^log_a(b) ) ^log_b(c) = b^log_b(c)=c

e quindi  a^log_a(c) = a^{log_a(b)log_b(c)}  e che, essendo la funzione x → log_a (x) biunivoca, e quindi a^x₁= a^x₂ se e solo se x₁=x₂, deve necessariamente valere   

              log_a(c)=log_a(b)log_b(c) 

Scale logaritmiche: 

il grafico della funzione di tipo esponenziale

y=Ka^x,  con K>0 e a >0

in scala semilogaritmica  

ossia con scala logaritmica solo sull'asse delle ordinate, cioè prendendo

 Y=Log ( y ) e X= x ,

diviene Y= α + β X,   con α=Log(K) e  β= Log(a)

[  infatti da y=Ka^x, e prendendo in entrambi i membri il Log si ottiene che

   Log y =Log (K a^x)= Log(K) + Log(a^x)= Log(K) + x Log(a)

   che, tenendo conto del fatto che Y=Log ( y ) e X= x si può riscrivere come

   Y= α + β X, prendendo α=Log(K) e  β= Log(a) ]

Viceversa se in scala semilogaritmica una funzione appare come una retta 

Y= α + β X

allora nelle variabili x e y si ha che  y=Ka^x, con  K= 10^α e a=10^β

[come discende subito ripercorrendo all'indietro i passaggi precedenti e tenendo conto che α=Log(K) e  β= Log(a) se e solo se K= 10^α e a=10^β]

il grafico della funzione di tipo elevamento a potenza 

y=A x^b,

in scala (doppiamente) logaritmica

ossia con scala logaritmica sia sull'asse delle ordinate, che sull'asse delle ascisse, cioè prendendo   Y=Log ( y ) e X=Log( x )  

diviene Y= γ + b X,   con γ=Log(A)  (γ= gamma, minuscolo)

[  infatti da y=A x^b, e prendendo in entrambi i membri il Log si ottiene che

   Log y =Log (A x^b)= Log(A) + Log(x^b)= Log(A) + b Log(x)

   che, tenendo conto del fatto che Y=Log ( y ) e X= Log ( x ) si può riscrivere come

   Y=  γ + b X, prendendo γ=Log(A)   ]

Viceversa se in scala semilogaritmica una funzione appare come una retta 

Y= γ + b X

allora nelle variabili x e y si ha che  y=Ax^b, con  A= 10^γ .

[come discende subito ripercorrendo all'indietro i passaggi precedenti e tenendo conto che γ=Log(A)  se e solo se A= 10^γ ]

Svolti gli esercizi D.34 e un fac-simile dell'esercizio D.35 del foglio 1

Svolto l'esercizio D.15 del foglio 1.

Definite le funzioni x→cos(x) e x→sin(x)

Osservato che cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x), sin(x)=cos(π/2-x)=cos(x-π/2) e quindi il grafico di y=sin(x) si ottiene come traslazione dal grafico di cos(x)

Disegnati i grafici di y=2sin(x), di y=(1/2) sin(x).

In generale osservato come di ottengono i grafici di y=-f(x), di y=f(-x), di y=|f(x)|.

Suggerito di svolgere l'esericizio C6.1 guardando anche l'interpretazione nell'esercizio C6.2

mercoledì 5 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Proprietà di sinθ e cosθ: Ricordando che il punto P(cosθ,sinθ) è il punto di incontro tra la semiretta che parte dall'origine O(0,0) e forma un angolo θ con l'asse delle x, si trova facilmente che valgono le seguenti proprietà:

1) cos²θ+sin²θ=1  

             da cui sin θ = ±(1-cos²θ )^½ , [ attenzione il segno dipende da θ!!  ]

2) cos(-θ)=cosθ; sin(-θ)=-sinθ

3) cos(π/2-θ)=sinθ; sin(π/2-θ)=cosθ

               da cui sin(π/2+θ)=cosθ  infatti sin(π/2+θ)=sin(π/2-(-θ))=cos(-θ)=cosθ

              e sin α = cos (α-π/2)

4) cos (α-β)= cosα cosβ + sinα sinβ

Come si deduce dall'osservare che il segmento individuato dai punti

R(cosα, sinα) ed S(cosβ, sinβ)

ha la stessa lunghezza del punto individuato dai punti

P(cos(α-β), sin(α-β)) e Q=(1,0)

per cui dist²(R,S)=dist²(P,Q), ossia, ricordando che dist²(P₁,P₂)=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²,

[dist²(R,S)=] (cosα - cosβ)²+(sinα - sin β)²= (cos(α-β)-1)²+(sin(α-β))² [=dist²(P,Q)]

svolgendo i calcoli si ottiene

(cosα - cosβ)²+(sinα - sin β)²=

=cos²α + cos²β -2cosαcosβ + sin²α + sin²β -2 sinα sin β

= cos²α + sin²α + cos²β + sin²β -2cosαcosβ  - 2 sinα sin β

= 1+1 -2 (cosαcosβ + sinα sin β)= 2 -2(cosαcosβ + sinα sin β)

(cos(α-β)-1)²+(sin(α-β))²=(cos(α-β))²+1-2cos(α-β) +(sin(α-β))²=

= (cos(α-β))²+(sin(α-β))²+1-2cos(α-β) = 2 -2 cos(α-β)

da cui la relazione 4) cos(α-β) = cosαcosβ + sinα sin β

Dalla relazione 4) vengono poi immediatamente

4bis)   cos(α+β) = cosαcosβ - sinα sin β

          sin (α+β) = sinα cos β +  cosα sinβ

          sin (α- β) = sinα cos β - cosα sinβ

Infatti

cos(α+β) = cos(α- (-β))= cosαcos(-β) + sinα sin(-β) = cosα cos β + sinα (-sinβ)

             = cosαcosβ - sinα sin β

sin (α+β) =  cos(α+β-π/2) = cosα cos (β-π/2) - sinα sin(β-π/2)

              = cosα cos (π/2-β) - sinα ( - sin(π/2-β) ) =cosα sinβ + sinα cos β

              = sinα cos β +cosα sinβ

e infine

sin (α- β) = sin (α+ (- β))=  sinα cos(- β) + cosα sin(-β) = sinα cos β - cosα sinβ

Tracciato i grafici delle funzioni seno e coseno,

Definizione di funzione periodica e di periodo

una funzione è periodica se esiste un valore T>0 tale che

per ogni x si ha  f(x+T)= f(x)

Il periodo è il piu' piccolo valore T>0  per cui vale la relazione precedente.

ESEMPIO: il periodo della funzione seno è 2π infatti

per ogni x vale sin(x+k2π)=sinx (qualunque sia k intero positivo nullo o negativo) e il piu' piccolo valore T per cui vale ciò è appunto 2π.

Esercizi su disegno del grafico di funzioni del tipo f(x+a), bf(x+a), f(kx) etc.

 

venerdì 7 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Definizione della funzione tangente di x, denotata sia con tg(x) che con tan(x)

tg(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x)  dove cos(x)≠0 ossia per x≠π/2 + k π (k intero)

e delle funzioni inverse di sin(x), di cos(x) e di tan(x)

ossia

arcsin(x), arccos(x) e arctg(x)=arctan(x).

Esercizi su richiesta.

lunedì 10 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Studio di una funzione:insieme di definizione, esempi vari.

Comportamento agli estremi, limite (finito) di f(x) per x che tende ad a da destra (da sinistra), esempi vari.  Enunciati (senza dim)

se esistono finiti i limiti

lim f(x)=L_f e lim g(x)=L_g

allora esistono finiti

lim [ f(x) + g (x) ]=  lim f(x)+  lim g(x)=  L_f + L_g ,

lim [α f(x) + β g (x) ]= α lim f(x)+ β lim g(x)= α L_f +β L_g , con α e β numeri reali

lim  f(x) g (x) = lim f(x) lim g(x)=L_f L_g ,

INOLTRE

lim  f(x) / g (x) = lim f(x)/ lim g(x)=L_f /L_g ,

PURCHE' abbia senso dividere per g(x) (ossia sia g(x)≠0) ed  L_g≠0

da cui è possibile calcolare i limiti di

lim_x→a x = a (ovvio)

lim_x→a x²= a² e più in generale

lim_x→a xⁿ= aⁿ

e quindi per ogni funzione polinomiale f(x)=a₀+a₁x +a₂x²+...+a_n-1 xⁿ-1 + a_nxⁿ

lim_x→a f(x)= f(a)

Esempio

lim_{x→ -1} 2+3x-4x⁴= 2+3(-1)-4(-1)⁴=2-3+4=3

Esercizi su richiesta

lunedì 10 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Studio di una funzione: Comportamento agli estremi, limite finito per per x che tende ad a; limite (infinito)  per x che tende ad a da destra (da sinistra), limite (infinito)  per x che tende ad a; limiti per x che tende a +∞ (più infinito) e per x che tende a -∞ (meno infinito).

studio dei limiti nel caso f(x)=1/x per x che tende a + infinito, e per x che tende a zero da destra.

Esercizi su richiesta

mercoledì 12 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Studio di una funzione: funzioni pari e dispari esempio f(x)=ln(2-x²)

Utilizzo della seguente proprietà (non dimostrata)

se esistono finiti i limiti

 lim_{x→ a} g(x)=b   le il limite lim_{t→ b}f(t)=L

allora esiste finito anche il limite

 lim_{x→ a}f(g(x)) = lim_{t→ b}f(t) = L

Definizione di funzione continua in un punto; definizione di funzione continua in un intervallo aperto.

CONTROESEMPIO:

La funzione parte intera di x (si denota con [x]) e vale

f(x)=[x]=k se e solo se k≤x<k+1

non è continua nei punti x=k con k intero

Definizione di funzione crescente (strettamente o non) e decrescente (strettamente o non) in un intervallo

Definizione di funzione crescente (se non si specifica l'intervallo si intende nell'insieme di definizione)

ESEMPIO la funzione f(x)=1/x è strettamente descrescente in (0,+∞)

infatti se x₁ < x₂ , con x₁ e x₂> 0 allora 1/x₁ >1/x₂;

lo stesso vale in (-∞,0), MA NON E' una funzione  descrescente:

ad esempio per -1(= x₁) <  +1 (=x₂) si ha f(x₁)=-1< f(x₂)=1.

esercizi su richiesta

venerdì 14 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Calcolo dell'equazione della retta tangente ad una parabola generica (di equazione y=a x² +bx +c, con a,b e c costanti NOTE) 

che passa per il punto (x₀,y₀)=(x₀, a x₀²+bx₀+c)

[cioè (x₀,y₀) appartiene alla parabola]

1° MODO:

imponendo che l'intersezione tra la retta generica y-y₀=m(x-x₀) che passa per il punto (x₀,y₀)  abbia un solo punto di intersezione con la parabola:

cioè usando come parametro m e cercando il valore di m per il quale c'è un solo punto di intersezione, si tratta di studiare il sistema

y=a x² +bx +c   (I)

y-y₀=m(x-x₀)     (II)

con  y₀=a x₀²+bx₀+c

e cercare m in modo che il sistema abbia una sola soluzione:

inserendo la condizione (I) nella (II) e tendeno conto del valore di y₀ si ha:

a x² +bx +c-(a x₀²+bx₀+c)= m(x-x₀)

ossia

a x² +(b-m)x - a x₀² - bx₀+mx₀=0.     

Per ottenere un solo punto di intersezione è necessario (e sufficiente) che la precedente equazione abbia una sola soluzione, ovvero che il discriminante  sia nullo. Al variare di m il discriminante vale

Δ(m) =  (b-m)² -4 a (- a x₀² - bx₀+mx₀) = b² -2bm+m² +4a²x₀² + 4abbx₀ - 4amx₀

ossia Δ(m)= m² - 2(b+2ax₀) m + b² +4a²x₀² + 4abbx₀

  =m² - 2(b+2ax₀) m + (b+2ax₀) ² = [ m- (b+2ax₀) ]².

in definitiva l'unico valore per il quale Δ(m) = 0  è   m= b+2ax₀

e quindi l'equazione della retta tangente è y-y₀= (b+2ax₀) (x-x₀)

2° MODO:

stesso calcolo utilizzando l'idea che la retta tangente si ottiene prendendo una generica secante che passa per il punto (x₀,y₀)=(x₀, a x₀²+bx₀+c) e per il punto (x₁,y₁)=(x₁, a x₁²+bx₁+c) [sempre appartenente alla parabola] e mandando x₁ ad avvicinarsi sempre più a x₀, in modo che i due punti di intersezione vadano a coincidere:

L'equazione della secante è (y-y₀)/ (y₁-y₀) = (x-x₀)/ (x₁-x₀) ovvero il coefficiente angolare della secante che passa per i punti (x₀,y₀) e (x₁,y₁) vale

(y₁-y₀)/ (x₁-x₀)

= [(a x₁²+bx₁+c)-(a x₀²+bx₀+c)] /(x₁-x₀)

= [a (x₁²- x₀²)+b(x₁-x₀)]/(x₁-x₀)

= a (x₁²- x₀²)/(x₁-x₀) + b (x₁-x₀)/(x₁-x₀)

= a(x₁+x₀)(x₁-x₀)/(x₁-x₀) +b

= a(x₁+x₀)+b

e quindi mandando x₁ a x₀ si ottiene che il coefficiente angolare tende a 2x₀+b, ovvero si riottiene il risultato che l'equazione della retta tangente è

y-y₀= (b+2ax₀) (x-x₀).

----------------------------

OSSERVAZIONE:

mentre il primo metodo non si riesce a generalizzare al caso in cui fossimo interessati alla retta tangente alla curva individuata dal grafico di una funzione y=f(x)  il secondo metodo si può generalizzare:

in questo caso la retta secante ha equazione

(y-y₀)/ (y₁-y₀) = (x-x₀)/ (x₁-x₀) ma con y₀=f(x₀) e y₁=f(x₁)

e quindi ha equazione

y-y₀= (f(x₁)-f(x₀))/(x₁-x₀)

e il ragionamento si può ripetere se esiste finito il seguente limite:

lim _{x1→ x0}  (f(x₁)-f(x₀))/(x₁-x₀)   (limite del rapporto incrementale)

che, se esiste è la derivata della funzione f nel punto x₀.

Definzione della derivata in un punto, osservazione che

1) la derivata di f(x)=c (ossia della funzione constante) è uguale a 0 in ogni punto x₀

2) la derivata di x è 1 in ogni punto x₀

3) la derivata di x² vale 2x₀ in ogni punto x₀, (calcolo già fatto precedentemente)

3) la derivata di  xⁿ vale n(x₀)^n-1in ogni punto x₀ utilizzando la relazione

      xⁿ_- x₀ⁿ= (x-x₀) (x^n-1+x^n-2x₀+x^n-3x₀²+....+x^n-kx₀^k-1+....+x²x₀^n-3+xx₀^n-2+x₀^n-1)

e che quindi

      xⁿ_- x₀ⁿ/ (x-x₀) = x^n-1+x^n-2x₀+x^n-3x₀²+....+x^n-kx₀^k-1+....+x²x₀^n-3+xx₀^n-2+x₀^n-1

che converge (per x che tende a x₀) a

 x₀^n-1+x₀^n-2x₀+x₀^n-3x₀²+....+x₀^n-kx₀^k-1+....+x₀²x₀^n-3+x₀x₀^n-2+x₀^n-1= nx₀^n-1_,

come si vede immediatamente (sono n addendi tutti uguali a x₀^n-1)

Definizione di funzione derivabile in un intervallo e alcune proprietà delle derivate (senza dimostrazione)  derivata della somma di due funzioni uguale somma delle derivate di due funzioni, formula della derivata del prodotto di due funzioni e del rapporto di due funzioni. Se la funzione è derivabile in x₀, allora è continua in x₀.

Esempi: derivate delle funzioni polinomiali

Esempio della funzione f(x)=| x | che è derivabile per x strettamente positivo con derivata 1, per x strettamente negativo con derivata che vale -1 ma non è derivabile in 0 (il limite da sinistra del rapporto incrementale vale -1 mentre il limite da destra vale 1)

ALTRO IMPORTANTE USO DELLA DERIVATA se la funzione f(x) è derivabile e se la funzione è crescente in un intervallo, allora si vede facilmente che la derivata è positiva o nulla, viceversa (SENZA DIMOSTRAZIONE) se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo e la derivata è positiva in quell'intervallo, allora la funzione è crescente in quell'intervallo.

lunedì 17 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Derivata di f(x)=e^x, utilizzando il fatto che limite (e^x-1)/x tende a 1 per x che tende a 0 (questo limite NON DIMOSTRATO):

(e^x-e^x₀)/(x-x₀)= e^x₀ (e^x-x₀-1)/(x-x₀)  quindi la derivata di e^x calcolata in x₀ vale

lim _{x1→ x0}  (e^x-e^x₀)/(x-x₀)= lim _{x1→ x0} e^x₀ (e^x-x₀-1)/(x-x₀)

= e^x₀ lim _{x1→ x0} (e^x-x₀-1)/(x-x₀) = e^x₀ lim _{h→ 0} (e^h-1)/h = e^x₀ 1= e^x₀.

In modo del tutto analogo si potrebbe ottenere che la derivata di a^x vale C a^x dove C è una costante da determinare [è la derivata in 0 di a^x, ossia il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y=a^x nel punto (0,1) ]

Per ottenere il valore di C serve la

Formula della derivata della funzione composta (NON DIMOSTRATA)

df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)

Utilizzando questa formula si ottiene subito che la derivata di e^βx vale e^βx β= βe^βx Utilizzando questa formula e il fatto che a^x = (e ^lna )^x = e^{x lna} si ottiene che

da^x /dx= e^{x lna}  ln a  = a^x ln a .

Esercizi a richiesta

lunedì 17 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce

TEST

mercoledì 19 novembre 2014 (ore 15-17 aula A Plesso Tecce)

Forme indeterminate di limiti del tipo ∞ - ∞ , ∞/∞, 0/0

Esempi di limiti del rapporto di due funzioni polinomiali per x che tende a + infinito (o a - infinito)

Esempio del limite sinx/x per x che tende a 0 

Dimostrazione del fatto che  lim _{x→ 0} sinx/x =1 ulitizzando il fatto che

1) la funzione sinx/x è pari e quindi basta considerare il caso in cui si considera il limite per x che tendo a 0 da destra

2) se 0<x< π/2 allora 0<sinx<x<tan(x)=sinx /cosx  da cui dividento per x si ottiene

0<sinx/x<x/x=1<tan(x)/x=(sinx/x) /cosx

e quindi (se vale la disuguaglianza stretta "<" allora vale anche la disuguaglianza debole "≤")

sinx / x ≤1 e  1 ≤ (sinx /x) /cosx  ossia cosx ≤ (sinx /x)  e riassumendo

cosx ≤ (sinx /x) ≤1

a questo punto è intuitivo che se x tende a 0 (da valori positivi) si ottiene che

lim _{x→ 0⁺} sinx/x =1

In realtà vale un risultato noto come il Teorema del confronto (e corollario dei carabinieri)

TEOREMA del confronto (versione non enunciata)

Se f(x)≤ h(x) ≤ g(x)  e se esistono 

lim _{x→ x0} f(x) = L_f  ,   lim _{x→ x0} h(x) = L_h , lim _{x→ x0} g(x) = L_g 

allora

L_f  ≤ L_h ≤L_g

TEOREMA DEL CONFRONTO (dei carabinieri)

Se f(x)≤ h(x) ≤ g(x)  e se esistono 

lim _{x→ x0} f(x) = lim _{x→ x0} g(x) = L

allora esiste    lim _{x→ x0} h(x) = L.

(il nome dei carabinieri viene dalla seguente idea preso un ladro i due carabinieri di mettono uno da una parte e uno dall'altra del ladro e se i due carabinieri vanno alla prigione allora annche il ladro va in prigione)

Alcuni esercizi del foglio 5, ricerca dei massimi e dei minimi della funzione

f(x)= e ^-x2+x/2+1 

senza usare le derivate, ma utilizzando il fatto che la funzione g(x)=-x²+x/2+1 ammette un punto massimo assoluto (detto anche di massimo globale) in x₀=-b/(2a)= (-1/2)/(-2)= 1 e il valore massimo vale g(1)= -1²+1/2+1=1/2

ossia per ongi x vale g(x)≤ g(1)=1/2 e allora, poiché la funzione f(t)=e^t è crescente allora

e^g(x)≤ e^g(1)=e^1/2  per ogni x

ossia la funzione f(x)=e^g(x) ≤ e^g(1)=f(1)=e^1/2 ammette un punto di massimo in x=1 e il valore massimo vale e^1/2  . Invece la funzione non ammette minimo assoluto in quanto f(x)>0 per ogni x e lim _x→ ∞ f(x) = 0.

venerdì 21 novembre 2014 (ore 11-13 aula C Medicina Legale)

Esercizio su massimo  e/o minimo:

in un corridoio a forma di L di cui una prima parte ha larghezza 1 metro e una seconda parte ha larghezza due metri, e altro 3,20 metri dobbiamo far passare una lastra di larghezza 4 m e altezza 3,18 metri (quindi deve passare in verticale)

E' possibile?

la soluzione si riduce a un problema del tipo

1) dato un punto A(a,0) sull'asse delle ascisse, con a > 2, trovare il punto B(0,b(a)) sull'asse delle ordinate e che appartiene alla retta che unisce il punto A con il punto P(2,1)

[questo punto rappresenta lo "spigolo" del corridoio: i lati sono gli assi cartesiani, ossia le rette y=0, x=0 e le rette parallele agli assi cartesiani passanti per P(2,1)]

(l'equazione della retta è  (y-0)/(1-0)=(x-a)/(2-a) ossia y= (x-a)/(2-a) e quindi b(a)= (0-a)/(2-a)= a/(a-2)  che è positivo solo per a>2)

2) trovare la distanza L(a)  tra A(a,0) e B(0,b(a) ) ossia

L(a) = radice[ (a-0)²+(0-b(a))²]

3) trovare il valore minimo di L(a): per trovarlo possiamo anche trovare prima il valore minimo di

(L(a))²=a²+(b(a))²= a² + (a/(a-2))²

e il punto a* in cui assume il valore minimo ossia (L(a*))² ≤ (L(a))² per ogni a>2

e quindi avremo anche che L(a*) ≤ L(a)

(qui possiamo calcolare

d/da (L(a))² = 2 a + 2(a/(a-2)) d/da (a/(a-2))

                   = 2 a + 2 (a/(a-2)) [1(a-2) - a 1]/(a-2)²)

                   = 2a + 2a (-2)/(a-2)³= 2a[ (a-2)³-2]/(a-2)³.

Osservando che a>2>0 e a-2>0

d/da (L(a))² <0 per (a-2)³ <2        ossia a-2 < 2^1/3 , cioè a < 2+ 2^1/3

d/da (L(a))² =0 per (a-2)³ =2        ossia a = 2+ 2^1/3

d/da (L(a))² >0 per (a-2)³ >2        ossia a> 2+2^1/3,

quindi a*= 2 + 2^1/3 (<2) è un punto di minimo per (L(a))²  per a >2,

perché la derivata è negativa prima di a* e quindi la funzione decresce, è nulla in a* e positiva dopo a* quindi la funzione è crescente dopo a*.

di conseguenza L(a*) ≤ L(a) per ogni a>2

4) per risolvere il problema è necessario che la larghezza della lastra sia minore del valore minimo L(2 + 2^1/3)

L(2 + 2^1/3) =  [ ( 2 + 2^1/3 )²+ (2 + 2^1/3 )²/( 2 + 2^1/3 -2)² ]^1/2

                   =(2+2^1/3) [1+1/(2^1/3)²]^1/2 = (2+2^1/3) [1+1/2^2/3]^1/2

                  =_(circa)  (2+1/1,26) (1+1/(1,26)²)^1/2=(circa)  3,79*(1,63)^1/2

                  =(circa) 3,79 * 1,27 = 4,8133

e quindi la lastra può passare nel corridoio.

limiti notevoli:

1) ricordato che lim _x→0 sin(x)/x = 1

2) ricavato che lim_x →0 [1-cos(x)]/x²= 1/2

infatti

[1-cos(x)]/x² = [1-cos(x)][1+cos(x)]/ [x²(1+cos(x) )]

= [1- (cos(x))²][x²(1+cos(x) )] = (sin(x))² [x²(1+cos(x) )] = (sin(x)/x)²*[1/(1+cos(x) )]

e quindi si ricava ilo limite poiché , quando x tende a zero,

sin(x)/x tende a 1 e 1/(1+cos(x)) tende a 1/2

altro argomentio: Derivate delle funzioni sin (x), cos(x) e tan(x) 

d/dx cos(x)= -sin (x)

infatti

[cos(x+Δ)-cos(x)]/Δ = [cos(x) cos(Δ) - sin(x) sin(Δ) - cos(x)]/Δ

= cos(x) [cos(Δ)-1]/Δ - sin(x) sin(Δ)/Δ

(moltiplicando e dividendo per Δ nel primo addendo)

= cos(x)  Δ ([cos(Δ)-1]/Δ²) - sin(x) sin (Δ)/Δ

poiché, per Δ che tende a zero, 

([cos(Δ)-1]/Δ²) tende a (-1/2)  e sin(Δ)/Δ tende a 1  

si ottiene che

d/dx cos(x) =lim_Δ→∞ [cos(x+Δ)-cos(x)]/Δ

= cos(x) lim_Δ→0 Δ lim_Δ→0 ([cos(Δ)-1]/Δ²) - sin(x) lim_Δ→0 sin(Δ)/Δ

=cos(x) 0 (-1/2) - sin(x)= -sin(x)

d/dx sin(x)= cos(x)

infatti  sin(x)= cos(π/2-x) e quindi per la regola della funzione composta

d/dx sin(x) = d/dx cos(π/2-x)= -sin(π/2-x) d/dx(π/2-x)= -sin(π/2-x) (-1)

                = sin(π/2-x)=cos(x)

regola mnemonica sul segno: 

nelle vicinanze dello 0, la funzione sin(x) è strettamente crescente  quindi la derivata deve essere positiva e cos(x)≥0

per x >0, la funzione cos(x) è strettamente decrescente e quindi la sua derivata deve essere negativa, e -sin(x) è negativa!

per x≠ π/2 + k π, d/dx tan(x) = 1/[cos(x)]²

infatti, per la regola della derivata del rapporto,

d/dx tan(x)= d/dx [sin(x)/cos(x)]  = [cos(x) cos(x) - sin(x) (-sin(x))]/[cos(x)]²

= [cos²(x) + sin²(x)]/[cos(x)]² =1/[cos(x)]².

(ATTENZIONE: NOTAZIONE cos²(x) = [cos(x)]²)

Formula della derivata della funzione inversa:

Se f(x) è invertibile, cioè se esiste f^-1(x), se è derivabile in x₀ e se  f'(f^-1(x₀))≠0

allora y=f^-1(x) è derivabile in x₀ e vale

d/dx f^-1(x₀)= 1/ f'( f^-1(x₀))

Calcolo della derivata del logaritmo:  d/dx ln(x)= 1/x  (x>0)

infatti la funzione ln(x) è l'inversa di f(x)=e^x, e  inoltre d/dx e^x=e^x quindi

d/dx ln(x) = 1/ (e ^ln(x) ) =1/x 

dove abbiamo utilizzato il fatto che e ^ln(x)=x (proprietà della funzione inversa)