ALCUNI STUDENTI MI HANNO FATTO DELLE DOMANDE su ALCUNI ESERCIZI

METTO A DISPOSIZIONE DI TUTTI LE RISPOSTE.

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Esercizi Svolti a lezione

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Ci sono due urne esternamente uguali: la prima contiene una pallina bianca e tre rosse, mentre la seconda urna contiene due palline bianche e due rosse. Si sceglie a caso una delle due urne e si estrae una pallina dall'urna scelta.

a) Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca

b) Sapendo che la pallina estratta è bianca, quanto vale la probabilità che sia stata scelta la prima urna?

c) Sapendo che la pallina estratta è bianca, è più probabile che l'urna scelta sia la prima o che sia la seconda?

RISPOSTA

Prima di tutto poniamo

U1="viene scelta l'urna 1" , U2="viene scelta l'urna 1"  e B="viene estratta una pallina bianca" 

INOLTRE scegliere a CASO le probabilità di ciascuna scelta sono uguali: in questo caso si tratta di scegliere tra due urne e quindi P(U1)=P(U2)=1/2

(più in generale se ci fossere n casi la probabilitàdi ciascun caso varrebbe 1/n)

Sappiamo inoltre che P(B/U1)=1/4 e che P(B/U2)=2/4 (=1/2)

a) formula delle probabilità totali:

P(B)=P(U1)P(B/U1)+P(U2)P(B/U2)=(1/2) (1/4)+(1/2)(2/4)=3/8

b) Formula di Bayes P(U1/B)=P(U1)P(B/U1)/P(B) = (1/2) (1/4)/ (3/8)=1/3

c) P(U2/B)>P(U1/B) infatti

1° modo, sempre per la  Formula di Bayes P(U2/B)=P(U2)P(B/U2)/P(B) = (1/2) (2/4)/ (3/8)=2/3

2°modo P(U2/B)=1-P(U1/B)=1-(1/3)=2/3 in quanto U2 è il complementare di U1

ATTENZIONE ci si poteva aspettare il risutato c) in quanto nell'urna 2 ci sono più palline che nell'urna 1, e la probabilità di scegliere una delle due urne è la stessa. SE LA PROBABILITA'  P(U2) fosse  più piccola di P(U1) potrebbe anche accadere che P(U1|B) > P(U2/B) come mostra la seguente variazione dell'esercizio precedente

VARIAZIONE:

Ci sono due urne esternamente uguali: la prima contiene una pallina bianca e tre rosse, mentre la seconda urna contiene due palline bianche e due rosse. Si lancia un dado e se esce un numero da 1 a 5 si sceglie l'urna 1 se invece esce 6 si sceglie l'urna 2  e si estrae una pallina dall'urna scelta.

a) Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca

b) Sapendo che la pallina estratta è bianca, quanto vale la probabilità che sia stata scelta la prima urna?

c) Sapendo che la pallina estratta è bianca, è più probabile che l'urna scelta sia la prima o che sia la seconda?

Risposta: prima di tutto, con le stesse notazioni dell'esercizio precedente, l'unica differenza rispetto al problema di prima è che P(U1)=5/6 e P(U2)=1/6

a) formula delle probabilità totali:

P(B)=P(U1)P(B/U1)+P(U2)P(B/U2)=(5/6) (1/4)+(1/6)(2/4)=7/24

b) Formula di Bayes P(U1/B)=P(U1)P(B/U1)/P(B) = (5/6) (1/4)/ (7/24)=5/7

c) P(U1/B)>P(U2/B) infatti

1° modo, sempre per la  Formula di Bayes P(U2/B)=P(U2)P(B/U2)/P(B) = (1/6) (2/4)/ (7/24)=2/7

2°modo P(U2/B)=1-P(U1/B)=1-(5/7)=2/7 in quanto U2 è il complementare di U1

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FOGLIO 8

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D1 FOGLIO 8

Una funzione y e’ tale che 1+y² = −e^−x · y' . Essa inoltre vale 1 quando x = 0.
Questa equazione è a variabili separabili:

dividendo per (1+y²)  e per - e^−x  cioè moltiplicando per 1/(1+y²) e per -e^x, si ottiene
y'/(1+y²) =  −e^x  
e la soluzione generale è data da
arcotan( y )=  −e^x  +C
e quindi applicando la funzione tangente ad ambo i membri si ottiene la soluzione generale da cui poi si puo' ricavare facilemente la soluzione particolare con la condizione iniziale data.

D12 FOGLIO 8

La concentrazione di un farmaco nel sangue diminuisce nell’unita’ di tempo del 2%. Si supponga uguale a 1 la concentrazione iniziale al tempo t = 0. La funzione che descrive l’andamento della concentrazione e’

(varie risposte)

Dal testo sappiamo che C(t)=C(t-1)-2%C(t-1) ossia C(t)=C(t-1)0,98 e che C(0) vale 1
Basta quindi risolvere questa equazione a tempo discreto per ottenere che diviene una progressione geometrica
OPPURE E FORSE MEGLIO
si ipotizza posto k il tasso di smaltimento cioè C'(t)/C(t)= - k la soluzione
è del tipo C(t)=Ce^-kt   con C(0)=C=1 e C(1)=0,98=e^-k da cui si ottiene lo stesso la soluzione C(t) = (0,98)^t  osservando che e^-kt =(e^-k)^t

PER ALTRI ESERCIZI DI TIPO SIMILE, MA CON TASSO DI CRESCITA e DIMINUZIONE COSTANTE (o di SMALTIMENTO e SOMMINISTRAZIONE) si veda più sotto l'esempio dell'esercizio D40 del foglio RA2

Inoltre, nel caso in cui il tasso di smaltimento del farmaco nel sangue sia del 30% (ossia k=0,3) e venga somministrato nell'unità di tempo 3 mg del farmaco, e con concentrazione iniziale C(0)=5, allora

l'equazione è del tipo C'(t)= - 0,3 C(t) + 3, C(0)=5

IN GENERALE   la soluzione del problema di Cauchy

x'(t) = H x(t) + K, x(0) =  x ,

è

x(t) = ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H)

qui H= -k = -0,3    K=3mg   x = 5

e quindi la soluzione  è

C(t) = (5 - (3/0,3) ) e ^-0,3t + (3/0,3) = (5-10) e ^-0,3t + 10= 10 - 5 e ^-0,3t .

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FOGLIO 9

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D48 FOGLIO 9
Ad un concorso con 10000 concorrenti, i voti  alla prova scritta sono risultati distribuiti
secondo una gaussiana con media aritmetica μ = 5,2 e scarto quadratico medio s = 1. Quante persone hanno, approssimativamente, ottenuto la sufficienza (cioe’ un voto >= 6?)

Prima di tutto deve tenere presente che se dei dati x_i si comportano come una gaussiana di media μ e scarto quadratico medio (o deviazione standard) s questo significa che le percentuali che questi siano in una certa regione possono essere calcolati usando le aree corrispondenti individuate dalla densità gauusiana corrispondente. Queste aree si possono calcolare attraverso delle tabelle (pagina 183 del libro) che permettono di calcolare la probabilita' che i dati siano
in intervali di tipo simmetrico rispetto alla media [μ-us, μ+us] al variare di u, fuori di tali intervalli o in intervalli del tipo  [μ+us, +i∞)

quindi si tratta di trovare u tale che μ+us=6 tenendo presente che μ = 5,2  ed s=1 e poi utilizzare al tabella corrispondente.

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FOGLIO 10

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D3 FOGLIO 10
Un campo di 1000 mq e’ coltivato al 70% a fiori.  Sul campo c’e’ un tendone di 600 mq che ne copre
una parte. Il 20% della parte coltivata a fiori non e’ coperta dal tendone. Dal vicino campo da
tennis, una palla finisce nel campo. Se essa non colpisce il tendone, con quale probabilita’ coglie la
parte coltivata a fiori?
Nel   DISEGNO in allegato è schematicamente disegnata (ATTENZIONE, le proporzioni non sono rispettate) la parte con il tendone in grigio (T1 U T2),  F1 rappresenta la parte coltivata a fiori non coperta dal tendone, mentre la parte coltivata a fiori sotto il tendone è la T1
Si assume, senza dirlo, che la probabilità che la pallina cada in una regione del campo sia proporzionale all'area
e si richiede P(F1/ F1UG )= Aera(F1)/[Area(F1)+Area(G)]
Con questo suggerimento, si dovrebbe essere in grado di proseguire.

D14 FOGLIO 10

Sulla base di dati precedenti, si ipotizzi che nel 1994 in Italia ci siano stati 1,8 milioni di consumatori di droghe leggere, e 200.000 consumatori di droghe pesanti. Su un campione di 1000 consumatori  di droghe pesanti, 750 hanno dichiarato di aver fatto prima uso di droghe leggere.  Su tale base, quanto vale la probabilita’ di passare dal consumo di droghe  leggere a quello di droghe pesanti?


Dal fatto che dal campione 750 su 1000  hanno usato anche droghe leggere, si può dedurre che circa i 3/4 dei consumatori di droghe pesanti sono anche consumatori di droghe leggere cioè 150.000 quindi la probabilita' di passare da droghe leggere a droghe pesanti è il rapporto tra questi 150.000  e il numero totale dei drogati ossia 1.800.000 e quindi la probabilita' che uno che ha usato droghe leggere abbia consumato anche droghe pesanti vale  15/180 = 5/60=1/12= 0,08333 e quindi circa l'8%

D22 FOGLIO 10

Un tiratore centra il bersaglio 8 volte su 10. Quanto vale la probabilita’ che centri il bersaglio almeno una volta sparando due colpi?

Prima di tutto si deve pensare che, OGNI VOLTA CHE IL TIRATORE PROVA A CENTRARE IL BERSAGLIO,  colpire il bersaglio è come scegliere una pallina bianca da un'urna che contiene 8 palline bianche e 2 rosse

Si tratta di calcolare al probabilità dell'evento E U F

dove E= "il tiratore centra il bersaglio al primo colpo"

ed    F="il tiratore centra il bersaglio al secondo colpo"

e si può usare la formula P(EUF)=P(E)+P(F)-P(E∩F) ed ottenere

P(EUF)= (8/10) + (8/10) - 8*8/(10*10)

OPPURE

Si può procedere calcolando la probabilita' di NON CENTRARE il bersaglio in entrambe le prove (che è il complementare dell'evento di cui si chiede la probabilità) e poi usare la proprietà che la probabilità del complementare di A vale 1-P(A)

ossia calcolare P(E^c∩F^c)=2*2/(10*10) e poi ottenere che P(EUF)=1-P(E^c∩F^c)=96/100

D. 23 FOGLIO 10  Il 4% di una popolazione e’ affetto da una certa
malattia. L’accertamento della malattia e’ affidato ad un test di laboratorio che fornisce nel 90% dei casi la risposta corretta (sia in presenza che in assenza di malattia, ovvero specificita’ del test = sensibilita’ del test). Per un individuo il test ha dato esito positivo. Qual e’ la probabilita’ che egli abbia effettivamente la malattia?

DATI DEL PROBLEMA: prevaleza P(M⁺)=4% , P(T⁺/M⁺)=P(T^-/M^-)=90%

la soluzione discende dalla formula di Bayes

P(M⁺|T⁺) = P(M⁺)P(T⁺|M⁺)/ [P(M⁺)P(T⁺|M⁺) + P(M^-)P(T⁺|M^-) ]

               = P(M⁺)P(T⁺|M⁺) / [ P(M⁺)P(T⁺|M⁺) + [1-P(M⁺)][1-P(T^-|M^-)]  ]

(si veda l'ESEMPIO DEI TEST DIAGNOSTICI in Diario delle lezioni del 15 gennaio 2015 ed in particolare lo svolgimento dell'ESERCIZIO D38 del foglio RA2 )

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FOGLIO RA2

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Riporto qui quanto scritto nel messaggio inviato al FORUM da cui si puo' ottenere come si ricavano gli esercizi simili a questo

D40 FOGLIO RA2.

In un lago di pesca sportiva i pesci si riproducono ad un tasso del 3% alla settimana. Ogni settimana vengono pescati 36 kg di pesce. Si supponga che al
tempo t=0 ci siano 200 kg di pesce nel lago. Si scriva l’equazione differenziale che descrive il problema.

Qual e’ il valore di stabilita’?

Si descriva l’andamento delle funzione che risolve il problema.

La quantita’ di pesci nel lago aumenta o diminuisce?
Se aumenta, dopo quanto tempo raddoppia?

Se diminuisce, dopo quanto tempo il lago e’ vuoto?

Come si ricava dal fatto che il tasso di crescita vale x'(t)/x(t) (se non ci fosse la diminuzione di 36 kg alla settimana)

ATTENZIONE il tempo è calcolato in settimane

l'equazione (anzi meglio il problema di Cauhcy) è

x'(t)=3/100 x(t)-36, x(0)=200

ossia del tipo

x'(t)=Hx(t)+K, x(0)=x

che, con il metodo di variazione delle costanti o di Lagrange, si ricava essere

x(t)= ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H)

con H=3% e K = -36

LA SOLUZIONE è quindi

x(t)=(200-36/(3/100)) e^(3/100)t +36/(3/100)= -1000 e^(3/100)t +1200

1) il punto di stabilità (o meglio di equilibrio), che è il valore per cui la soluzione è costante cioè per cui  e quindi 0= x'(t) = H x +K=0, cioè   x  =  - (K/H)

2) la soluzione è decrescente e tende a meno infinito per t che tende a + infinito

3) si deve trovare non il tempo di raddoppio ma il tempo di estinzione (lago vuoto)

ossia il t tale che  -1000 e^3/100t +1200=0 e quindi

e^(3/100)t = 1200/1000=6/5 , cioè passando ai logaritmi

(3/100)t = ln(6/5)

t= (100/3) ln(6/5)=6,077 settimane cioè circa un mese e mezzo

OSSERVAZIONE: in realtà la soluzione dopo questo tempo diviene negativa e semplicemente non ha senso come modello per il peso del pesce nel lago...ossia il modello vale solo per un tempo ristretto o finché x(t) è abbastana grande...

IN GENERALE   la soluzione del problema di Cauchy

x'(t) = H x(t) + K, x(0) =  x ,

è

x(t) = ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H) 

e se tale soluzione è crescente, il tempo di raddoppio che si trova imponendo

x(t)= ( x + (K/H) ) e^Ht - (K/H)=  2 x  

come quel valore t tale che

e^Ht = [(K/H) +  2  x ] / ( x + (K/H) ) o  equivalentemente

e^Ht = [K +  2 H  x ] / ( K+ H x  )

ossia t =   (1/H) ln( [K +  2 H  x ] / ( K+ H x  ) ]

ha senso solo se H>0 e   x + (K/H) > 0 per essere sicuri che x(t) sia crescente e tenda all'infinito. (QUI SUPPONGO x >0)