Schema della sezione

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    Introduzione

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    22 settembre - 28 settembre

    • Lezione 1 - Prolusione – giovedì 25 settembre 2025

      Introduzione al Corso: sua organizzazione e illustrazione del programma delle lezioni.

      Il principale obiettivo del corso è quello di studiare le proprietà delle linee e delle superfici per mezzo dei metodi digitali della rappresentazione. Verranno inoltre definiti i principi di carattere generale comuni a tutti i modellatori matematici e poligonali. Si parlerà di METODO di rappresentazione (matematica e poligonale) e non di SOFTWARE, per far riferimento all'insieme delle teorie e dei procedimenti da cui scaturiscono. Il contributo della rappresentazione digitale nel Rinnovamento della Geometria Descrittiva è da ritrovarsi nella elevata accuratezza (valutabile nell'ordine del millesimo di millimetro) e nel carattere "costruttivo" di questi strumenti. Sono stati brevemente accennati i caratteri della rappresentazione matematica e della rappresentazione numerica.

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    29 settembre - 5 ottobre

    • Lezione 2 – martedì 30 settembre 2025

      I metodi della rappresentazione digitale: caratteri della rappresentazione matematica e numerica. La rappresentazione matematica e la modellazione in wireframe, per superfici e solida. Importanza della modellazione in dimensioni reali e concetto di tolleranza come parametro che definisce l'accuratezza della rappresentazione matematica. Vantaggi della modellazione solida. Solido per implosione di superfici. Prima utilizzazione del software Rhinoceros V8.0, descrizione dell’interfaccia, costruzione di un cubo (fil di ferro, superfici e solidi), operazioni di raccordo e bucatura.

    • Link alla registrazione della parte operativa URL

    • Lezione 3 – giovedì 2 ottobre 2025

      Il passaggio dallo spazio grafico a quello tridimensionale: esercizio di restituzione prospettica. La lezione è stata dedicata allo svolgimento di un esercizio che a partire dalla prospettiva grafica bidimensionale (disegnata sul piano verticale XZ) di alcuni cubi disposti nello spazio, ha restituito la loro posizione nello spazio tridimensionale ripercorrendo così a ritroso i procedimenti utilizzati per costruire la prospettiva bidimensionale. La scena osservata dal centro di proiezione (impostazione della camera e del suo target) verifica sperimentalmente le proprietà della prospettiva per mezzo della collimazione perfetta tra spazio grafico e spazio reale. L’esercitazione si conclude con la redazione di una tavola in formato A4 che integri la costruzione della prospettiva rappresentata al tratto (attenzione particolare agli spessori e ai tipi di linea) e lo shading dei cubi tridimensionali (vd. immagine allegata, inserita solo a scopo illustrativo e con dimensioni diverse da quelle utilizzate in aula).

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale - I parte URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale - II parte URL
    • Prospettiva di cubi nello spazio File
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    6 ottobre - 12 ottobre

    • Lezione 4 – martedì 7 ottobre 2025

      Introduzione alla modellazione solida di un tema di architettura (Casa Sasaki, Tadao Ando). Descrizione degli aiuti al disegno con le funzioni Project e Planar. Importazione e gestione di immagini raster all'interno di Rhinoceros e loro modifica. Tecniche di disegno bidimensionale CAD: gestione layers, tipi di linea e spessore linea, editing delle curve (trim e split). Impostazione del file di lavoro in unità di misura coerenti con le grandezze architettoniche e analisi grafica dell’architettura con l’individuazione della sua matrice geometrica. Modellazione solida degli elementi architettonici: muri, ripartizioni interne, infissi e parti vetrate. Le operazioni booleane tra solidi. Impostazione dello spazio carta (layout) per l’impaginazione delle tavole, controllo della scala di riduzione e gestione delle quotature nelle detail view.

    • Materiale per esercitazione modellazione solida architettura File
    • Link alla registrazione di alcune proprietà di visualizzazione URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale - I parte URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale - II parte URL

    • Lezione 5 – giovedì 9 ottobre 2025

      La rappresentazione matematica II parte. Riepilogo dei Caratteri e principi della rappresentazione matematica e poligonale. Concetto di tolleranza nei software matematici. Evoluzione e storia delle curve a poli: l'algoritmo di De Casteljeau, le curve di Bezier, le B-spline e NURBS. Definizione dell'acronimo NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline) e caratteristiche delle funzioni parametriche (grado della curva, poligono di controllo, numero e peso dei punti di controllo, continuità tra gli span). Esperienze pratiche in Rhinoceros e Grasshopper: curve da punti di controllo (B-spline), individuazione dei tratti di Bezier, modifica del grado della curva, concetto di parametrizzazione non uniforme.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL
    • Le linee curve per l'architettura e il design URL
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    13 ottobre - 19 ottobre

    • Lezione 6 – martedì 14 ottobre 2025

      La rappresentazione matematica: qualità delle linee e delle superfici. Concetti di tangente, curvatura, torsione, cerchio osculatore, tangente-normale-bitangente (terna di Frenet, piano osculatore, piano normale e piano rettificante), nelle linee piane e sghembe e strumenti di analisi (grafico di curvatura e generazione del cerchio osculatore). Controllo della continuità tra curve: G0 (di posizione), G1 (di tangenza) e G2 (di curvatura). Sperimentazioni sull’analisi della curvatura di linee grafiche e verifica dell’influenza del grado della curva nell’andamento del grafico di curvatura. Ridisegno di un’immagine raster (come l’esempio allegato Farfalla.jpg) secondo due approcci: curva per interpolazione di punti e curva da punti di controllo e confronto tra i grafici di curvatura.

    • Immagine farfalla File
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • Lezione 7 – giovedì 16 ottobre 2025

      La rappresentazione matematica: qualità delle linee e delle superfici. Concetto di curvatura gaussiana nelle superfici ed individuazione delle curvature principali, esperienze sulle superfici a curvatura positiva (es. ellissoide), curvatura negativa (es. paraboloide iperbolico), curvatura nulla (es. cono e cilindro rotondi) e curvatura variabile (es. toro) e definizione dei punti ellittici, iperbolici e parabolici delle superfici. Continuità di curvatura nelle superfici.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL
    • Analisi della curvatura gaussiana di alcune superfici File
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    20 ottobre - 26 ottobre

    • Lezione 8 – martedì 21 ottobre 2025

      La rappresentazione matematica: qualità delle linee e delle superfici. Applicazione dei concetti di curvatura e sua analisi nella rappresentazione di linee e superfici: esercizio di rappresentazione matematica di una bottiglietta di acqua minerale, verifica della continuità tra le linee e redazione di una tavola di sintesi (vedi immagine allegata di riferimento).

      Gli studenti dovranno rappresentare una bottiglietta diversa da quella presa in esame nella lezione e per la quale sono stati forniti i file di base, utilizzando lo stesso approccio metodologico e personalizzando la grafica dell’etichetta da applicare come texture.

    • Materiali di base della bottiglietta File
    • Esempio di tavola di sintesi File
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • giovedì 23 ottobre 2025. lezione sospesa a causa delle concomitanti sedute di Laurea

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    27 ottobre - 2 novembre

    • Lezione 9 – martedì 28 ottobre 2025

      I poliedri. Poliedri e loro definizioni: poliedri concavi e convessi, faccia, spigolo, vertice, angolo diedro, angolo triedro e angolo solido; breve storia dei poliedri da Platone (360 a.C.), Piero della Francesca e Luca Pacioli (rapporto aureo tra spigoli dei poliedri) fino ai poliedri stellati di Keplero (1619) e Poinsot (1810). Proprietà geometriche dei poliedri regolari, formula di Eulero, concetto di dualità e dimostrazione della possibile esistenza dei soli 5 poliedri regolari (solidi platonici). Costruzione come metodo di dimostrazione esistenziale: costruzione in ambiente matematico del tetraedro e dell'ottaedro con le sfere circoscritte ed inscritte.

    • Lezione 10 – giovedì 30 ottobre 2025

      I poliedri. Ripresa delle costruzioni dei poliedri regolari dodecaedro e icosaedro, sviluppo piano e costruzione (attraverso la creazione di piramidi sulle facce dell'icosaedro e del dodecaedro) del piccolo e grande dodecaedro stellato (poliedri di Keplero). Verifica delle proprietà geometriche.

      È richiesta la modellazione fisica dei due poliedri di Keplero a partire dal loro sviluppo piano.

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    3 novembre - 9 novembre

    • Lezione 11- martedì 4 novembre 2025

      I poliedri. Solidi di Archimede (poliedri semiregolari): caratteristiche geometriche ed operazioni condotte sui solidi platonici per generarli. I duali dei poliedri di Archimede: i poliedri catalani. Definizione di un procedimento per la rappresentazione vacua dei poliedri. Costruzione del poliedro semiregolare cubottaedro e del suo duale dodecaedro rombico (poliedro catalano) come inviluppo dei piani tangenti alla sfera che circoscrive il cubottaedro e passanti per i suoi vertici; sviluppo sul piano delle facce del poliedro. Tassellazione dello spazio per mezzo del cubo, del tetraedro ed ottaedro, del cubottaedro ed ottaedro e del solo dodecaedro rombico.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • Lezione 12 – giovedì 6 novembre 2025

      Le cupole geodetiche: poliedri quasiregolari e caratteristiche delle strutture spaziali triangolate definite da Buckminster Fuller. Operazioni di generazione delle strutture geodetiche a partire dai poliedri regolari e semiregolari: doubling, division, twinning e pyramidation.

      Costruzione per mezzo della rappresentazione matematica delle griglie icosaedriche (2 operazioni di doubling applicate all'icosaedro) ed individuazione dei tipi di vertici, tipi di spigoli e tipi di facce sul poliedro I-2-2; doubling dispari (terze parti degli spigoli del poliedro di origine) applicato all’icosaedro. Costruzione delle griglie dodecaedriche per mezzo di un'operazione di twinning applicata al dodecaedro seguita da un'operazione di doubling. È stato richiesto agli studenti di proseguire il lavoro a casa con la costruzione dell’operazione di pyramidation applicata all’icosaedro troncato.

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    10 novembre - 16 novembre

    • Lezione 13 – martedì 11 novembre 2025

      Tecniche di progettazione dei tetti. Nomenclatura (linea di colmo, vertice, gronda, compluvio e displuvio, sporto ...), ripresa dei concetti di angolo di pendio di un piano e di retta di massima pendenza. Caratteristiche geometriche dei tetti con falde a pendenza costante: la retta di intersezione tra due falde si proietta sul piano di imposta nella bisettrice dell'angolo formato dalle linee di gronda; linea di colmo tra due falde opposte converge nel punto (proprio o improprio) comune alle due linee di gronda delle falde che lo generano.

      La seconda parte della lezione è stata dedicata allo svolgimento di alcune esercitazioni.

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    • Lezione 14 – giovedì 13 novembre 2025

      Le superfici. Classificazione delle superfici: genesi geometrica, proprietà analitiche, proprietà differenziali. Esempi di superfici di traslazione e rivoluzione: rivoluzione di una linea grafica, rivoluzione di un cerchio rispetto ad un asse complanare (i tre tipi di toro), rivoluzione di una retta rispetto ad un asse complanare (generazione del cono e cilindro rotondo) e cenno all'iperboloide rotondo come rivoluzione di due linee rette sghembe. Esempi di genesi proiettiva: cono e cilindro quadrico. Sezioni piane delle superfici di rivoluzione (meridiani e paralleli) e sezioni circolari di Villarceau nel toro (verifica dello scostamento tra la curva di intersezione ed un cerchio NURBS).

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    17 novembre - 23 novembre

    • Lezione 15 – martedì 18 novembre 2025

      Le superfici. Sezioni piane di un cono quadrico e generazione delle coniche. Costruzione del teorema di Dandelin-Quetelet per lo studio delle proprietà delle coniche (I parte). Dimostrazione della ellisse come curva luogo geometrico. Costruzione del centro, degli assi di simmetria, dei fuochi e della direttrice nella ellisse; calcolo dell’eccentricità della conica.

      Rappresentazione NURBS delle coniche e variazione del peso del punto di controllo nel caso dell'ellisse, della parabola e dell'iperbole e verifica delle proprietà della conica.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • Lezione 16 – giovedì 20 novembre 2025

      Le superfici. Sezioni piane di un cono circolare retto e generazione delle coniche. Costruzione del teorema di Dandelin-Quetelet per lo studio delle proprietà delle coniche (II parte). Dimostrazione dell’iperbole come curva luogo geometrico. Costruzione del centro, degli assi di simmetria, dei fuochi e delle direttrici. Definizione di eccentricità di una conica e sua applicazione nella rappresentazione NURBS delle coniche. Dimostrazione della parabola come curva luogo geometrico.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL
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    24 novembre - 30 novembre

    • Lezione 17 – martedì 25 novembre 2025

      Le superfici. Genesi proiettiva delle coniche e analoga genesi proiettiva delle superfici quadriche. L'ellisse, la parabola, l'iperbole come prospettiva piana del cerchio. L'ellissoide, il paraboloide rotondo e l'iperboloide a due falde come prospettiva solida della sfera. Elementi di prospettiva piana: centro di proiezione, quadro e piano anteriore. Elementi di prospettiva solida: centro di proiezione, secondo piano limite (o piano delle fughe), piano di collineazione (o piano delle tracce) e primo piano limite (o piano anteriore). Riferimenti alle prospettive solide nella storia dell'architettura (Bramante e Borromini).

      La ricerca degli assi del cono quadrico. Caratteristiche dei coni quadrici (ellittici o rotondi) come superfici quadriche e definizione di centro, assi principali di simmetria, piani principali, sezioni principali e degeneri delle quadriche. Individuazione degli assi di un cono quadrico ellittico e delle sue sezioni circolari.

    • Dispensa sulla prospettiva solida File

      Dispensa sugli elementi fondamentali della prospettiva solida e trasformazioni proiettive delle superfici quadriche non rigate.

      Le immagini possono essere utilizzate come riferimento per l'elaborazione della tavola/e sull'argomento.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • Lezione 18 – giovedì 27 novembre 2025

      Le superfici. I sistemi voltati: nomenclatura degli elementi principali, classificazione delle volte, classificazione dei profili e classificazione dei piani di imposta. Modellazione matematica di tipo solido di una volta a crociera romana e genesi geometrica di una volta a padiglione.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL
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    1 dicembre - 7 dicembre

    • Lezione 19 – martedì 2 dicembre 2025

      Le superfici. Modellazione matematica ibrida di una volta a botte lunettata sferoidica. Definizione della volta della lunetta attraverso superficie per reticolo di curve.

      Introduzione alle superfici di suddivisione: storia, principi di suddivisione di Catmull e Clark, confronto tra NURBS e SUB-D (a cura della Dott.ssa Lucrezia Di Marzio). Illustrazione di un esempio di applicazione delle SUB-D nell’architettura contemporanea con un’analisi del Centro Culturale Heydar Aliyev a Baku. Esercizio di rappresentazione SUB-D della Poltrona Tortello - B&B Italia.

      Link per accedere al progetto “Pixar in a box”: https://www.khanacademy.org/computing/pixar

    • EsercitazioneSubD_base File
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale (volta a botte lunettata) URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale (SubD - a cura della Dott.ssa Lucrezia Di Marzio) URL

    • Lezione 20 – giovedì 4 dicembre 2025

      Le superfici. Le superfici Rigate e le loro proprietà fondamentali. Teorema di Monge e sua verifica sperimentale. L’iperboloide ad una falda (superficie quadrica rigata con 3 direttrici rette): generazione di un iperboloide rotondo per mezzo di una rivoluzione di una retta rispetto ad un asse non appartenente al piano della retta. Sezione dell'iperboloide con un piano passante per l'asse (sezione meridiana). Generazione dell'iperboloide rotondo per rivoluzione dell'iperbole NURBS attorno l'asse coniugato e generazione del cono asintotico. Sezione dell'iperboloide con un piano tangente in un punto generico ed individuazione di due schiere di rette passanti per il punto. Generazione di un iperboloide ad una falda ellittico, per dilatazione dell'iperboloide rotondo. Individuazione delle sue sezioni circolari e paraboliche.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL
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    8 dicembre - 14 dicembre

    • Lezione 21 – martedì 9 dicembre 2025

      Le superfici. Le superfici rigate: il paraboloide iperbolico e sua genesi geometrica per mezzo di due rette sghembe e di un piano direttore (il piano direttore individuato da due rette sghembe si costruisce traslandone una sull'altra fino a farle incidere in un punto; il piano così individuato dalle due rette ha la giacitura cercata). Analisi delle proprietà geometriche del paraboloide iperbolico: proiezione lungo la direzione individuata dai due piani direttori (uno delle generatrici ed uno delle direttrici), sezione rette per l'individuazione del vertice del paraboloide, costruzione degli assi e delle parabole principali del paraboloide iperbolico. Generazione del paraboloide iperbolico per traslazione di una parabola principale sull'altra. 

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL

    • giovedì 11 dicembre 2025 lezione sospesa a causa delle concomitanti sedute di Laurea

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    15 dicembre - 21 dicembre

    • Lezione 22 – martedì 16 dicembre 2025

      Le superfici. Le superfici sviluppabili: definizione e proprietà geometriche. Sviluppo sul piano delle superfici sviluppabili e delle curve di minima distanza (linee geodetiche). Analisi della curvatura gaussiana di una superficie sviluppabile (esempio dell'elicoide sviluppabile).

      Le superfici elicoidali: definizione e caratteristiche. Elicoide generico ed elicoidi con generatrici rette: elicoidi aperti, elicoidi chiusi (obliquo e retto) elicoide sviluppabile. Elicoidi aventi per generatrici circonferenze: vite di Saint Gilles, serpentino.

      RILEVAMENTO OPIS Come indicato dal sistema di Autovalutazione, Valutazione e Accreditamento (AVA), durante la lezione sono stati dedicati almeno 15 minuti per la compilazione delle Opinioni Studenti (Opis) dal momento che il corso ha raggiunto i suoi 2/3 di erogazione. Sono state proiettate le slide relative al percorso guidato per l’accesso alla compilazione Opinioni Studenti ed è stata ricordata l’importanza dell’iniziativa che garantisce il completo anonimato. Gli studenti non presenti in aula potranno compilare il questionario anche da casa.

      Per la corretta procedura è necessario inserire il codice Opis del corso: JGLUE9MZ

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale | Superfici Sviluppabili URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale | Superfici Elicoidali URL

    • Lezione 23 – giovedì 18 dicembre 2025

      Applicazioni di superfici elicoidali in architettura: genesi geometrica della colonna torsa con controllo dell’entasi attraverso le UDT (Universal Deformation Technology).

      Applicazioni di superfici rigate in architettura: costruzione di tre tipi di pilastri progettati da Pier Luigi Nervi e rappresentazione della geometria ideale del Los Manantiales di Felix Candela.

    • Dati esercizio Felix Candela File
    • Dati colonna torsa Cartella
    • Dati Felix Candela RH7 File
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale | Colonna torsa URL
    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale | Rigate in architettura URL
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    5 gennaio - 11 gennaio

    • Lezione 24 – giovedì 8 gennaio 2026

      Impostazione di rendering architettonici rapidi in Rhinoceros: configurazione dell’illuminazione, parametri della camera (altezza del punto di vista e piano di quadro), uso dei clipping plane, messa in tavola e impaginazione.

    • Link alla registrazione dell'attività laboratoriale URL