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domanda di calcolo delle probabilità caso continuo

 
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domanda di calcolo delle probabilità caso continuo
by luca buonacucina - Monday, 30 March 2020, 10:51 AM
 

vorrei chiedere come stabilisco nel continuo in generale gli estremi di integrazione mettere quando uso la formula di convoluzione per il calcolo della distribuzione di probabiilità della somma di due variabili aleatorie sotto l'ipotesi di indipendenza ma non di identica distribuzione.. In particolare vorrei sapere come si ricavano tali estremi in quanto nella formula si integra su tutto R.

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Ri: domanda di calcolo delle probabilità caso continuo
by ilaria bombelli - Monday, 30 March 2020, 1:25 PM
 

Ciao Luca,

allora per capire gli estremi di integrazione dovresti considerare il supporto (o lo spettro) delle densità all'interno dell'integrale.

In particolare la funzione integranda sarà f(x)* supporto di X + g(z-x)*supporto di Y dove f e g sono rispettivamente le densità di X e Y;  il supporto di solito è espresso come funzione indicatrice. Per capire gli estremi di integrazione dovrai riscrivere le funzioni indicatrici come unica funzione indicatrice nell'intervallo risultante dall'intersezione degli intervalli originali: l'intervallo in cui la funzione indicatrice trovata assume valore 1 sarà quindi il dominio di integrazione. In allegato puoi trovare un esempio generico. 

Per qualsiasi altro dubbio, non esitare a scriverci!

Le tutor

 

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Ri: domanda di calcolo delle probabilità caso continuo
by luca buonacucina - Monday, 30 March 2020, 4:48 PM
 

ma nel caso in cui z fosse minore di zero cosa cambierebbe? ma quindi il procedimento nel pdf vale per qualsiasi variabili aleatorie x e y stocasticamente indipendenti nel senso che gli estremi di integrazione saranno sempre 0 e z?

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Ri: domanda di calcolo delle probabilità caso continuo
by ilaria bombelli - Tuesday, 31 March 2020, 9:30 AM
 

Nel caso in cui z fosse negativo la seconda funzione indicatrice sarebbe 0 e quindi la seconda funzione di densità g non sarebbe definita.

Per quanto riguarda la seconda domanda, no, gli estremi non sono sempre (0, z), ma dipendono dagli intervalli originali delle funzioni indicatrici. Il procedimento da seguire è sempre lo stesso, però:

1) scrivi i due supporti sotto forma di funzioni indicatrici: in base alla formula di convoluzione che utlizzi avrai due casi:

     a) la prima I sarà funzione di x, la seconda funzione di z-x oppure,

     b) se utilizzi la formula di convoluzione in funzione di y, la prima funzione indicatrice sarà                     funzione di z-y, la seconda funzione di y.

2) se siamo nel caso a) riscrivi la seconda I come funzione soltanto di x, modificando gli estremi dell'intervallo di I. A questo punto avrai due funzioni indicatrici funzioni di x con due intervalli associati.

3) Trovi il nuovo intervallo in cui entrambe le funzioni indicatrici valgono 1: ossia trovi l'intersezione dei due intervalli (x deve appartenere al primo intervallo e al secondo).

4) A questo punto all'interno dell'integrale avrai una funzione indicatrice soltanto: il suo intervallo (se hai eseguito tutti i passaggi correttamente) definirà gli estremi di integrazione.