Teorema della funzione implicita

Teorema della funzione implicita

de Usuario eliminado -
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  Salve professore,

ho trovato questo pdf che tratta del teorema delle contrazioni e del teorema delle funzioni implicite. L'ho riletto più volte, ma non riesco a capire dove si dimostra la continuità di Y(x) (l'esplicitazione delle y in funzione delle x). Nella parte finale della dimostrazione mi pare venga dato per già verificato che Y(x) sia continua, limitandosi a dimostrare la continuità di DxY(x). 

  Il problema (qualora sussista realmente, dato che molto probabilmente sono io a non aver compreso bene qualche passaggio) mi pare analogo a quello incontrato durante la dimostrazione in classe, che lei ha in seguito corretto aggiungendo appunto la continuità. Potrei provare a generalizzare la dimostrazione di continuità che lei ci ha mostrato in classe o ricavare Y dalla convergenza uniforme di una serie Yn, come mi pare sia anche suggerito ma non sviluppato nel pdf.

  In ogni caso ciò che realmente mi preme sapere è se io non ho ben compreso qualche passaggio (molto probabilmente) o se effettivamente manca qualcosa sul pdf (meno probabilmente). Grazie in anticipo.

En respuesta a Usuario eliminado

Re: Teorema della funzione implicita

de Usuario eliminado -

  Come le ho detto in classe, per la continuità di Y(x) penso di aver risolto utilizzando il fatto che g(x,z) (che si usa per ricavare l'esistenza e l'unicità di Y(x), con z=y-y0) è continua, e quindi continua anche come funzione della sola x, ed è una contrazione in z. (tale dimostrazione il libro la dava come esercizio non svolto).
  Il problema sta ora nel dimostrare che Y(x) è derivabile, poiché non so trattare formalmente l'invertibilità dell'integrale di una matrice. Forse posso risolvere tale problema ricavando la derivabilità di Y(x) adattando la dimostrazione fatta da lei per il caso R2 -> R, dovendo applicare il teorema di Rolle questa volta alle singole componenti di una funzione vettoriale.
  Mi basterebbe sapere se ciò è possibile o sto inventando cose, e nel caso qualche dritta per concludere il teorema, visto che manca davvero l'ultimo pezzettino.