Come le ho detto in classe, per la continuità di Y(x) penso di aver risolto utilizzando il fatto che g(x,z) (che si usa per ricavare l'esistenza e l'unicità di Y(x), con z=y-y⁰) è continua, e quindi continua anche come funzione della sola x, ed è una contrazione in z. (tale dimostrazione il libro la dava come esercizio non svolto).
  Il problema sta ora nel dimostrare che Y(x) è derivabile, poiché non so trattare formalmente l'invertibilità dell'integrale di una matrice. Forse posso risolvere tale problema ricavando la derivabilità di Y(x) adattando la dimostrazione fatta da lei per il caso R² -> R, dovendo applicare il teorema di Rolle questa volta alle singole componenti di una funzione vettoriale.
  Mi basterebbe sapere se ciò è possibile o sto inventando cose, e nel caso qualche dritta per concludere il teorema, visto che manca davvero l'ultimo pezzettino.