Per semplicità e chiarezza ho aggiunto un argomento dal titolo
MODALITA' DELL'ESAME E REGOLE DI VALUTAZIONE
https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=2290#regole
Inoltre ho finito gli appunti teorici sulla parte di probabilità
incluso l'esempio D38 del foglio RA2 sul test diagnostico
Infine mi è stato fatto notare che oggi nell'esercizio D40 del foglio 2, nella parte relativa al problema del tempo di raddoppio (se la soluzione è crescente) o del tempo in cui si azzera (se la soluzione è descrescente) ho fatto un banale errore di segno per cui la soluzione dell'equazione (problema di Cauhcy)
x'(t)=3/100 x(t)-36, x(0)=200
(come si ricava dal fatto che il tasso di crescita vale x'(t)/x(t) se non ci fosse la diminuzione di 36 kg alla settimana ATTENZIONE il tempo è calcolato in settimane)
ossia del tipo
x'(t)=Hx(t)+K, x(0)=x
che, con il metodo di variazione delle costanti o di Lagrange, si ricava essere
x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)
con H=3% e K = -36
è (200-36/(3/100)) e(3/100)t +36/(3/100)= -1000 e(3/100)t +1200
il ptuno di stabilità (o meglio di equilibrio), che è il valore per cui la soluzione è costante cioè per cui e quindi 0= x'(t)=H x +K=0, cioè x = - (K/H) rimane valida
ma invece la soluzione è decrescente
si deve trovare non il tempo di raddoppio ma il tempo di estinzione (lago vuoto)
ossia il t tale che -1000 e3/100t +1200=0 e quindi
e(3/100)t = 1200/1000=6/5 , cioè passando ai logaritmi
(3/100)t = ln(6/5)
t= (100/3) ln(6/5)=6,077 settimane cioè circa un mese e mezzo
(in realtà la soluzione dopo questo tempo diviene negativa e semplicemente non ha senso come modello per il peso del pesce nel lago...ossia il modello vale solo per un tempo ristretto o finché x(t) è abbastana grande...
Invece il tempo di raddoppio che si trova imponendo
x(t)= ( x + (K/H) ) eHt - (K/H)= 2 x
come quel valore t tale che
eHt = [(K/H) + 2 x ] / ( x + (K/H) ) o equivalentemente
eHt = [K + 2 H x ] / ( K+ H x )
ossia t = (1/H) ln( [K + 2 H x ] / ( K+ H x ) ]
ha senso solo se H>0 e x + (K/H) > 0 per essere sicuri che x(t) sia crescente e tenda all'infinito.
Buono studio a tutti
Giovanna Nappo