Obiettivi del corso.

Fornire alcuni concetti fondamentali di probabilità e statistica, che sono alla base del ragionamento logico-matematico nelle situazioni di incertezza caratterizzate da informazione incompleta, stimolando quelle capacità critiche che consentono di affrontare anche problemi nuovi, oltre a quelli di "routine". In particolare, gli studenti devono impadronirsi di alcuni concetti di base relativi a probabilità condizionate e non, distribuzioni di probabilità discrete e continue, inferenza statistica.Concetti e risultati teorici di base su probabilità condizionate e non, previsione, varianza, coefficiente di correlazione, densità di probabilità e funzione di ripartizione, distribuzioni congiunte, marginali e condizionate; funzione caratteristica; nozioni base di inferenza statistica.

Prerequisiti.

Il corso richiede la conoscenza preliminare di temi fondamentali di analisi, quali limiti, integrali, derivate e successioni.

Programma del corso

Il programma del corso si divide in due parti principali: una parte inerente alla teoria della probabilità e una seconda parte relativa all'introduzione di modelli statistici di base con rilevanti applicazioni per l'Ingegneria.
Più in dettaglio, verrà prima discussa una parte introduttiva al corso e suoi obiettivi, presentando concetti di base di calcolo delle probabilità e di statistica descrittiva e inferenziale, specificandone i legami e le connessioni.
Poi, i seguenti temi verranno trattati mediante un primo approccio intuitivo, una definizione formale e, infine, la presentazione di vari esempi esplicativi.
Probabilità
- Introduzione agli spazi di probabilità: richiami di teoria degli insiemi e delle loro proprietà.
- Cenni di teoria della misura: definizione di misura e misura di probabilità, definizione di eventi incompatibili, probabilità dell'evento complementare, proprietà (monotonia, disuguaglianza di Boole, principio di inclusione/esclusione per due eventi e per più eventi).
- Calcolo combinatorio: definizione di spazio di probabilità uniforme e sue proprietà, combinazioni semplici, disposizioni semplici, permutazioni semplici, disposizioni con re-immissione, legge ipergeometrica (estrazione senza re-immissione); disposizioni senza re-immissione, legge binomiale (estrazione con re-immissione).
- Probabilità condizionata e legge delle probabilità totali.
- Teorema di Bayes: dimostrazione, problema dei falsi positivi ed affidabilità dei test.
- Indipendenza stocastica: indipendenza tra due eventi, indipendenza tra più di due eventi, indipendenza a due a due.
- Introduzione alle variabile aleatorie: intuizione, descrizione e definizione, legge di una variabile aleatoria.
- Variabili aleatorie discrete: definizione e proprietà, densità discreta, variabile aleatoria binomiale, variabile aleatoria geometrica, variabile aleatoria uniforme discreta, variabile aleatoria ipergeometrica, variabile aleatoria di Poisson,
- Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria discreta: definizione e proprietà.
- Vettori aleatori discreti: definizione, significato ed esempi; densità di un vettore aleatorio discreto, densità discreta congiunta di variabili aleatorie, densità marginale di una componente di un vettore aleatorio discreto.
- Indipendenza tra variabili aleatorie: definizione, significato e fattorizzazione della densità discreta congiunta, densità condizionale di una variabile aleatoria discreta, indipendenza tra funzioni di variabili aleatorie indipendenti.
- Funzioni di vettori aleatori discreti: definizione, significato, densità discreta di una funzione di un vettore aleatorio, indipendenza tra funzioni di vettori aleatori indipendenti.
- Media di una variabile aleatoria: definizione, media di funzioni reali di vettori aleatori, linearità della media, media di variabili aleatorie di tipo Bernoulli, binomiale, Poisson e geometrica.
- Momenti di una variabile aleatoria: momento k-esimo e momento k-esimo centrato, varianza di una variabile aleatoria, disuguaglianza di Chebyshev, proprietà della varianza, varianza della somma di variabili aleatorie.
- Covarianza tra due variabili aleatorie: definizione, significato e proprietà della covarianza, coefficiente di correlazione lineare e le sue proprietà.
- Teoremi di convergenza monotona e applicazioni alla funzioni di ripartizione.
- Variabili aleatorie continue: definizione e significato; variabili aleatorie assolutamente continue, densità continua di una variabile aleatoria continua, proprietà, modelli notevoli (variabile aleatoria uniforme su un intervallo, variabile aleatoria esponenziale).
- Vettori aleatori assolutamente continui bidimensionali: densità congiunta e densità marginali, indipendenza, verifica della condizione di indipendenza, variabile aleatoria uniforme su una regione di piano.
- Funzioni unidimensionali di variabili aleatorie continue: significato e metodo per determinare la legge della variabile aleatoria trasformata; funzioni unidimensionali di vettori assolutamente continui bidimensionali, formula di convoluzione.
- Vettori assolutamente continui bidimensionali: densità condizionale di una variabile aleatoria continua,
momenti di vettori aleatori assolutamente continui, media di variabili aleatorie ottenute come funzioni di vettori aleatori assolutamente continui, calcolo dei momenti di variabili aleatorie notevoli.
- Variabili aleatorie normali standard e normali: definizione, proprietà di una variabile aleatoria Gaussiana, calcolo della media, calcolo della varianza, variabile aleatoria Gaussiana come trasformazione di Gaussiana standard, grafico della densità con studio di funzione.
- Convergenza in distribuzione di successioni di variabili aleatorie (definizione e significato), teorema del limite centrale, legge debole dei grandi numeri

Statistica
- Inferenza, campionamento e campione statistico, statistica campionaria, media campionaria e varianza campionaria, non distorsione della media e della varianza campionaria, calcolo della varianza della media campionaria;
- Applicazioni del teorema centrale del limite: approssimazione normale della media campionaria; campionamento da modello normale, distribuzione esatta della media e della varianza, variabili aleatorie chi-quadrato e t-Student.
- Inferenza basata sulla verosimiglianza: funzione di verosimiglianza, stima di massima verosimiglianza, metodo di calcolo della stima di massima verosimiglianza, log-verosimiglianza, problemi di stima non regolari; momenti campionari.
- Metodo dei momenti: sistema dei momenti, stima dei momenti.
- Cenni su intervalli di confidenza e test d'ipotesi.

Modalità di svolgimento

Il metodo didattico principale utilizzato è quello della lezione frontale, finalizzato ad esporre agli studenti non solo il contenuto teorico del corso, ma anche un insieme ampio e consistente di esempi e di casi di studio. Gli studenti saranno comunque invitati a risolvere esercizi, da soli o in gruppo, al fine di sviluppare le capacità di applicare le competenze acquisite durante la lezione frontale nella risoluzione di problemi di probabilità e statistica o applicazioni all'ingegneria.
La frequenza dell'insegnamento è facoltativa, anche se fortemente consigliata.