Docente:

Luca Leuzzi

Email luca.leuzzi@uniroma1.it

Ricevimento per il corso
Si svolgerà nello studio 313, terzo piano edificio Marconi oppure in remoto al seguente link Meet
meet.google.com/mwd-vojd-pim
previo appuntamento via email con il docente.

Inizio del Corso:

Venerdì 23 Settembre ore 15 Aula CARERI.

Orario di lezione:

Lunedì  14-16, Aula CARERI, Edificio Marconi
Mercoledì  16-18, Aula CARERI, Edificio Marconi
Venerdì  15-16, Aula CARERI, Edificio Marconi


Programma:

  • Introduzione al corso - Modalità di esame. Moto Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche.
  • Introduzione al concetto di eventi casuali e probabilità. - Assiomi della probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e condizionata. -
  • Distribuzione e densità di probabilità- Valori medi - Media e varianza di una variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e covarianza di variabili random vettoriali.
  • Significato dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni binomiale, di Poisson e Gaussiana.
  • Funzione caratteristica di distribuzioni di probabilità - Funzione caratteristica delle funzioni di correlazione. 
  • Legge dei grandi numeri.
  • Teorema del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e dimostrazione.  Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a potenza.
  • Validità del Teorema del limite centrale per variabili correlate. Limite Centrale per la variabile somma di variabili definite su catene di Markov.
  • Catene di Markov (CdM). Definizione di distribuzione di probabilità degli stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati. Equazione di Chapman-Kolmogorov per stati e passi discreti. Classificazione degli stati di una CdM. Proprietà generali di ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM. Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione.
  • Introduzione ai processi stocastici in tempo continuo. Processi stocastici Markoviani. Giustificazione dell'approssimazione Markoviana.
  • Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Master equation per processi Markoviani di salto in tempo continuo. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato.
  • Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.
  • Processi stazionari non-markoviani. Media vincolata alle condizioni iniziali, matrice di autocorrelazione temporale. Funzione di autocorrelazione a due tempi per processi Markoviani stazionari. Processi lineari e regressione. Processo di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Processo del telegrafo aleatorio. Proprietà dei processi. Funzioni di autocorrelazione.
  • Problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti.
  • Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale.
  • Derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dall'equazione differenziale stocastica alla Ito., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprietà, differenze (e relazioni) di integrazione tra Ito e Stratonovich, regola di differenziazione di Stratonovich.
  • Esempi di equazioni differenziali stocastiche (EDS): eds omogenea nelo spazio, eds con rumore moltiplicativo lineare con prescrizione Ito e Stratonovich, eds dell'oscillatore complesso dissipativo con frequenza aleatoria, eds di processi di Ornstein Uhlenbeck (velocità del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica, campo elettromagnetico in coordinate polari ampiezza-fase), eds di processi di Ornstein-Uhlenbeck multivariati, eds di processi unidimensionali lineari. 
  • Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita'. Scrittura dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuità e significato della corrente di probabilità, condizioni al contorno tipiche, soluzione stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla.
  • Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: diffusione in campo gravitazionale con condizione riflettente e periodica, Ornstein-Uhlenbeck, processo di reazione chimica in approssimazione continua; non-hermitianità dell'operatore di Fokker-Planck, operatore ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezza.
  • Soluzione generale omogenea in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. di transizione; prob. congiunta; caso stazionario potenziale con condizioni  al contorno riflettenti e naturali; equivalenza con Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni  di Ornstein-Uhlenbeck (equivalenza con oscillatore armonico quantistico).
  • Esempi di risoluzione con decomposizione nelle autofunzioni del processo di Wiener con barriere riflettenti o assorbenti; problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio.
  • Tempo di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius), ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie)..
  • Problema generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per processi continui.
  • Condizione di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui.
  • Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.

Testi consigliati:

C. W. Gardiner, Handbook of stochastic methods [HoSM]

W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol. 1 e Vol. 2 [ItPT]

G. Boffetta, A. Vulpiani, Probabilità in Fisica [PiF]

L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, Trattatello di probabilità v2020-21 (capitoli in allegato alle lezioni) [Trattatello]

H. Risken, The Fokker-Planck Equation [RISKEN]

P. Billingsley, Probability and Measure [BILL]