Docente:
Luca Leuzzi
Email luca.leuzzi@uniroma1.it
Ricevimento per il corso
Si svolgerà nello studio 313, terzo piano edificio Marconi oppure in remoto al seguente link Meet
meet.google.com/mwd-vojd-pim
previo appuntamento via email con il docente.
Inizio del Corso:
Venerdì 23 Settembre ore 15 Aula CARERI.
Orario di lezione:
Lunedì 14-16, Aula CARERI, Edificio Marconi
Mercoledì 16-18, Aula CARERI, Edificio Marconi
Venerdì 15-16, Aula CARERI, Edificio Marconi
Programma:
- Introduzione
al corso - Modalità di esame. Moto Browniano: trattazione di Einstein
(soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin.
Trattazione naif delle equazioni stocastiche. - Introduzione
al concetto di eventi casuali e probabilità. - Assiomi della
probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e
condizionata. - - Distribuzione
e densità di probabilità- Valori medi - Media e varianza di una
variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e
covarianza di variabili random vettoriali. - Significato
dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione
caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni
binomiale, di Poisson e Gaussiana. - Funzione caratteristica di distribuzioni di probabilità - Funzione caratteristica delle funzioni di correlazione.
- Legge dei grandi numeri.
- Teorema
del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e
dimostrazione. Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a
potenza. - Validità
del Teorema del limite centrale per variabili correlate. Limite
Centrale per la variabile somma di variabili definite su catene di
Markov. - Catene
di Markov (CdM). Definizione di distribuzione di probabilità degli
stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati.
Equazione di Chapman-Kolmogorov per stati e passi discreti.
Classificazione degli stati di una CdM. Proprietà generali di
ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM.
Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov
stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e
significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione. - Introduzione
ai processi stocastici in tempo continuo. Processi stocastici
Markoviani. Giustificazione dell'approssimazione Markoviana. - Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Master equation per processi Markoviani di salto in tempo continuo. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato.
- Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.
- Processi
stazionari non-markoviani. Media vincolata alle condizioni iniziali,
matrice di autocorrelazione temporale. Funzione di autocorrelazione a
due tempi per processi Markoviani stazionari. Processi lineari e
regressione. Processo
di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Processo del telegrafo
aleatorio. Proprietà dei processi. Funzioni di autocorrelazione. - Problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti.
- Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale.
- Derivazione
dell'eq. di Fokker-Planck dall'equazione differenziale stocastica alla
Ito., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprietà,
differenze (e relazioni) di integrazione tra Ito e Stratonovich, regola
di differenziazione di Stratonovich. - Esempi
di equazioni differenziali stocastiche (EDS): eds omogenea nelo spazio,
eds con rumore moltiplicativo lineare con prescrizione Ito e
Stratonovich, eds dell'oscillatore complesso dissipativo con frequenza
aleatoria, eds di processi di Ornstein Uhlenbeck (velocità
del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica,
campo elettromagnetico in coordinate polari ampiezza-fase), eds di
processi di Ornstein-Uhlenbeck multivariati, eds di processi
unidimensionali lineari. - Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita'. Scrittura
dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuità e significato della
corrente di probabilità, condizioni al contorno tipiche, soluzione
stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla. - Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: diffusione in campo gravitazionale con condizione riflettente e periodica,
Ornstein-Uhlenbeck, processo di reazione chimica in approssimazione
continua; non-hermitianità dell'operatore di Fokker-Planck, operatore
ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezza. - Soluzione
generale omogenea in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. di
transizione; prob. congiunta; caso stazionario potenziale con condizioni
al contorno riflettenti e naturali; equivalenza con
Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni di
Ornstein-Uhlenbeck (equivalenza con oscillatore armonico quantistico). - Esempi di risoluzione con decomposizione nelle autofunzioni del processo di Wiener con barriere riflettenti o assorbenti; problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio.
- Tempo
di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius),
ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie).. - Problema
generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte
simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e
dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della
corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per
processi continui. - Condizione
di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di
sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della
risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui. - Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.
Testi consigliati:
C. W. Gardiner, Handbook of stochastic methods [HoSM]
W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol. 1 e Vol. 2 [ItPT]
G. Boffetta, A. Vulpiani, Probabilità in Fisica [PiF]
L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, Trattatello di probabilità v2020-21 (capitoli in allegato alle lezioni) [Trattatello]
H. Risken, The Fokker-Planck Equation [RISKEN]
P. Billingsley, Probability and Measure [BILL]
- Docente: Luca Leuzzi
- Docente: Andrea Puglisi