Introduzione alla teoria dei processi stocastici

Docente:

Luca Leuzzi

Email luca.leuzzi@uniroma1.it

Lezioni esclusivamente in remoto dal 5/11 al 3/12 2020                            
In
ottemperanza al DPCM 3/11/2020 art. 1 comma 9 lettera z e al
conseguente  decreto rettorale n. 2772/2020 del 5/11/2020 la didattica
in presenza è sospesa  fino al 3/12/2020. Pertanto il corso di Calcolo
delle Proabilità si terrà, nei medesimi orari, per via telematica al seguente link Meet meet.google.com/fqx-zydy-hbs

Ricevimento per il corso

Si svolgerà in remoto al seguente link Meet
previo appuntamento via email con il docente.
meet.google.com/mwd-vojd-pim

Inizio del Corso:

Lunedì 28 Settembre ore 14:15 Aula Rasetti.

Orario di lezione:

Lunedì e Mercoledì 14-16, Aula Rasetti, Edificio Marconi

In
ottemperanza alle indicazioni del Consiglio di Area Didattica per
evitare assembramenti gli studenti in presenza sono ammessi in aula
dalle 14:15. La lezione inizia al più tardi alle 14:30. 

A chi segue in remoto si richiede di collegarsi per le 14:15 su

http://meet.google.com/xps-gyht-zqp

Programma:

  • Introduzione
    al corso - Modalità di esame. Moto Browniano: trattazione di Einstein
    (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin.
    Trattazione naif delle equazioni stocastiche.
  • Introduzione
    al concetto di eventi casuali e probabilità. - Assiomi della
    probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e
    condizionata. - Diverse definizioni del concetto di probabilità:
    classica, frequentista, soggettiva.
  • Distribuzione
    e densità di probabilità- Valori medi - Media e varianza di una
    variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e
    covarianza di variabili random vettoriali.
  • Significato
    dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione
    caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni
    binomiale, di Poisson e Gaussiana.
  • Funzione caratteristica di distribuzioni di probabilità - Funzione caratteristica delle funzioni di correlazione. 
  • Legge dei grandi numeri debole per variabili correlate e dimostrazione. Enunciato legge dei grandi numeri forte.
  • Teorema
    del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e
    dimostrazione.  Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a
    potenza.
  • Catene
    di Markov (CdM). Definizione di distribuzione di probabilità degli
    stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati.
    Equazione di Chapman-Kolmogorov per stati e passi discreti.
    Classificazione degli stati di una CdM. Proprietà generali di
    ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM.
    Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov
    stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e
    significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione.
  • Validità
    del Teorema del limite centrale per variabili correlate. Limite
    Centrale per la variabile somma di variabili definite su catene di
    Markov.
  • Introduzione
    ai processi stocastici in tempo continuo. Processi stocastici
    Markoviani. Giustificazione dell'approssimazione Markoviana.
  • Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Master equation per processi Markoviani di salto in tempo continuo. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato.
  • Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.
  • Processi
    stazionari non-markoviani. Media vincolata alle condizioni iniziali,
    matrice di autocorrelazione temporale. Funzione di autocorrelazione a
    due tempi per processi Markoviani stazionari. Processi lineari e
    regressione. Processo
    di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Processo del telegrafo
    aleatorio. Proprietà dei processi. Funzioni di autocorrelazione.
  • Problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti.
  • Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale.
  • Derivazione
    dell'eq. di Fokker-Planck dall'equazione differenziale stocastica alla
    Ito., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprietà,
    differenze (e relazioni) di integrazione tra Ito e Stratonovich, regola
    di differenziazione di Stratonovich.
  • Esempi
    di equazioni differenziali stocastiche (EDS): eds omogenea nelo spazio,
    eds con rumore moltiplicativo lineare con prescrizione Ito e
    Stratonovich, eds dell'oscillatore complesso dissipativo con frequenza
    aleatoria, eds di processi di Ornstein Uhlenbeck (velocità
    del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica,
    campo elettromagnetico in coordinate polari ampiezza-fase), eds di
    processi di Ornstein-Uhlenbeck multivariati, eds di processi
    unidimensionali lineari. 
  • Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita'. Scrittura
    dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuità e significato della
    corrente di probabilità, condizioni al contorno tipiche, soluzione
    stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla.
  • Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: diffusione in campo gravitazionale con condizione riflettente e periodica,
    Ornstein-Uhlenbeck, processo di reazione chimica in approssimazione
    continua; non-hermitianità dell'operatore di Fokker-Planck, operatore
    ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezza.
  • Soluzione
    generale omogenea in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. di
    transizione; prob. congiunta; caso stazionario potenziale con condizioni
     al contorno riflettenti e naturali; equivalenza con
    Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni  di
    Ornstein-Uhlenbeck (equivalenza con oscillatore armonico quantistico).
  • Esempi di risoluzione con decomposizione nelle autofunzioni del processo di Wiener con barriere riflettenti o assorbenti; problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio.
  • Tempo
    di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius),
    ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie)..
  • Problema
    generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte
    simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e
    dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della
    corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per
    processi continui.
  • Condizione
    di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di
    sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della
    risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui.
  • Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.

Testi consigliati:

C. W. Gardiner, Handbook of stochastic methods [HoSM]

W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol. 1 e Vol. 2 [ItPT]

G. Boffetta, A. Vulpiani, Probabilità in Fisica [PiF]

L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, Trattatello di probabilità v2020-21 (capitoli in allegato alle lezioni) [Trattatello]

H. Risken, The Fokker-Planck Equation [RISKEN]

P. Billingsley, Probability and Measure [BILL]