Docente:

Luca Leuzzi

Email luca.leuzzi@uniroma1.it

Ricevimento per il corso
Si svolgerà nello studio 313, terzo piano edificio Marconi oppure in remoto al seguente link Meet
meet.google.com/mwd-vojd-pim
previo appuntamento via email con il docente.

Inizio del Corso:

Venerdì 23 Settembre ore 15 Aula CARERI.

Orario di lezione:

Lunedì  14-16, Aula CARERI, Edificio Marconi
Mercoledì  16-18, Aula CARERI, Edificio Marconi
Venerdì  15-16, Aula CARERI, Edificio Marconi

Programma:

• Introduzione
  al corso - Modalità di esame. Moto Browniano: trattazione di Einstein
  (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin.
  Trattazione naif delle equazioni stocastiche.
• Introduzione
  al concetto di eventi casuali e probabilità. - Assiomi della
  probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e
  condizionata. -
• Distribuzione
  e densità di probabilità- Valori medi - Media e varianza di una
  variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e
  covarianza di variabili random vettoriali.
• Significato
  dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione
  caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni
  binomiale, di Poisson e Gaussiana.
• Funzione caratteristica di distribuzioni di probabilità - Funzione caratteristica delle funzioni di correlazione. 
• Legge dei grandi numeri.
  
• Teorema
  del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e
  dimostrazione.  Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a
  potenza.
• Validità
  del Teorema del limite centrale per variabili correlate. Limite
  Centrale per la variabile somma di variabili definite su catene di
  Markov.
  
• Catene
  di Markov (CdM). Definizione di distribuzione di probabilità degli
  stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati.
  Equazione di Chapman-Kolmogorov per stati e passi discreti.
  Classificazione degli stati di una CdM. Proprietà generali di
  ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM.
  Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov
  stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e
  significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione.
• Introduzione
  ai processi stocastici in tempo continuo. Processi stocastici
  Markoviani. Giustificazione dell'approssimazione Markoviana.
• Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Master equation per processi Markoviani di salto in tempo continuo. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato.
• Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.
• Processi
  stazionari non-markoviani. Media vincolata alle condizioni iniziali,
  matrice di autocorrelazione temporale. Funzione di autocorrelazione a
  due tempi per processi Markoviani stazionari. Processi lineari e
  regressione. Processo
  di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck. Processo del telegrafo
  aleatorio. Proprietà dei processi. Funzioni di autocorrelazione.
• Problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipanti.
• Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito generale.
• Derivazione
  dell'eq. di Fokker-Planck dall'equazione differenziale stocastica alla
  Ito., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprietà,
  differenze (e relazioni) di integrazione tra Ito e Stratonovich, regola
  di differenziazione di Stratonovich.
• Esempi
  di equazioni differenziali stocastiche (EDS): eds omogenea nelo spazio,
  eds con rumore moltiplicativo lineare con prescrizione Ito e
  Stratonovich, eds dell'oscillatore complesso dissipativo con frequenza
  aleatoria, eds di processi di Ornstein Uhlenbeck (velocità
  del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica,
  campo elettromagnetico in coordinate polari ampiezza-fase), eds di
  processi di Ornstein-Uhlenbeck multivariati, eds di processi
  unidimensionali lineari. 
• Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita'. Scrittura
  dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuità e significato della
  corrente di probabilità, condizioni al contorno tipiche, soluzione
  stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla.
• Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: diffusione in campo gravitazionale con condizione riflettente e periodica,
  Ornstein-Uhlenbeck, processo di reazione chimica in approssimazione
  continua; non-hermitianità dell'operatore di Fokker-Planck, operatore
  ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezza.
• Soluzione
  generale omogenea in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. di
  transizione; prob. congiunta; caso stazionario potenziale con condizioni
   al contorno riflettenti e naturali; equivalenza con
  Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni  di
  Ornstein-Uhlenbeck (equivalenza con oscillatore armonico quantistico).
• Esempi di risoluzione con decomposizione nelle autofunzioni del processo di Wiener con barriere riflettenti o assorbenti; problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio.
• Tempo
  di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius),
  ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie)..
• Problema
  generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte
  simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e
  dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della
  corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per
  processi continui.
• Condizione
  di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di
  sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della
  risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui.
• Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.

Testi consigliati:

C. W. Gardiner, Handbook of stochastic methods [HoSM]

W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol. 1 e Vol. 2 [ItPT]

G. Boffetta, A. Vulpiani, Probabilità in Fisica [PiF]

L. Leuzzi, E. Marinari, G. Parisi, Trattatello di probabilità v2020-21 (capitoli in allegato alle lezioni) [Trattatello]

H. Risken, The Fokker-Planck Equation [RISKEN]

P. Billingsley, Probability and Measure [BILL]