Docente: Matteo Paoluzzi, Email: matteo.paoluzzi@uniroma1.it

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Programma indicativo

  1. Definizione di probabilità, approccio frequentista e approccio soggettivista, assiomi di teoria della probabilità, probabilità condizionata, formula di Bayes.
  2. Distribuzioni di probabilità: momenti, mediana, distribuzioni binomiale, di Poisson, di Gauss, di Cauchy. Proprietà degli integrali integrali Gaussiani, funzione Gamma di Eulero, formula di Stirling, metodo di Laplace.
  3. Leggi dei grandi numeri. Enunciato debole e forte.
 Teorema del limite centrale. Dimostrazioni.
  4. Metodo del punto di sella. Grandi deviazioni, casi Gaussiano, binomiale, esponenziale. Trasformata di Legendre. 
  5. Analisi dei dati sperimentali, inferenza bayesiana, paradosso della distribuzione Poissoniana, inferenza da dati Gaussiani, da dati distribuiti come Cauchy, da dati di distribuzione ignota, metodo del ripessaggio.
  6. Analisi dei dati sperimentali nel caso vettoriale, metodo dei minimi quadrati per dati gaussiani, dati correlati. Trattazione nel caso di distribuzione generica.
  7. Random Walk, in mezzi disomogenei, con trappole, limite di passo al continuo: equazione di Fokker-Planck, equazione di Langevin.
  8. Funzioni generatrici, operazione di convoluzione. Reazioni a catena, teorema fondamentale
  9. Eventi ricorrenti, classificazione, relazioni fondamentali, teorema della probabilità limite.
  10. Catene di Markov, classificazione, teoremi delle proprietà delle catene, teoremi della probabilità limite e dell'equazione di bilancio. Calcolo della correlazione temporale in catene finite.
  11. Catene di Markov reversibili, relazione di bilancio dettagliato. Metodo Monte Carlo: calcolo degli integrali, importance sampling,  algoritmo di Metropolis, simulazioni numeriche della dinamica, Modello di Ising.
  12. Eventi correlati, esempi in catene di Markov finite. Funzioni di correlazione connesse e loro generatrici. Teorema del limite centrale e grandi deviazioni per eventi correlati.
  13. Processi dipendenti dal tempo, processi di nascita. Teorema di Feller per i processi di nascita divergenti. Processi di nascita e morte.
  14. Entropia, teorema di Shannon. Cenni di meccanica statistica. Relazione tra grandi deviazioni e termodinamica, entropia di Kolmogorov-Sinai. Esponenti di Lyapunov.