Informazioni generali:
Il programma del corso è ripartito approssimativamente in sei blocchi didattici, di circa 8 ore l’uno. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di correzione di esercizi. Durante lo svolgimento del corso saranno proposti alcuni progetti (facoltativi), il cui svolgimento permetterà di approfondire tematiche particolarmente rilevanti e/o di studiare applicazioni notevoli della teoria delle equazioni differenziali. Parte delle lezioni frontali saranno strutturate seguendo la metodologia research oriented learning. Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze:
risolvere problemi,
applicare a problemi reali le conoscenze acquisite,
comunicazione orale e scritta.
Programma approssimativo
Teoremi di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy, lemma di Gronwall e risultati di dipendenza continua. Esempi ed applicazioni.
Prolungabilità ed esplosione in tempo finito di soluzioni. Integrazione diretta di alcune classi di equazioni differenziali. Esempi ed applicazioni.
Equazioni differenziali e sistemi lineari: matrice fondamentale ed esponenziale di matrici, metodo di variazione dei parametri, stabilità ed instabilità. Esempi ed applicazioni.
Studi qualitativi per sistemi di due equazioni in due incognite. Esempi ed applicazioni, analisi di alcuni sistemi classici: Lotka-Volterra, SIR, Van Der Pol, Duffing.
Alcuni risultati di esistenza e non esistenza di soluzioni periodiche per equazioni del secondo ordine. Esempi ed applicazioni.
Esempi ed applicazioni dei metodi diretti per il calcolo delle variazioni. Punti critici di funzionali e condizioni di estremalità: condizioni necessarie (equazioni di Eulero-Lagrange) e alcune condizioni sufficienti.
Testi consigliati
Note a cura del docente,
A. Malusa, Equazioni Differenziali,
C. Mascia, Equazioni Differenziali Ordinarie.
Prerequisiti
Non sono previsti esami propedeutici, comunque il corso richiede una solida conoscenza degli argomenti sviluppati nei corsi di base di analisi matematica ed algebra lineare, in particolare spazi vettoriali di dimensione finita e non, applicazioni lineari, calcolo di primitive e proprietà dell’integrazione, continuità in una e più variabili, differenziabilità in una e più variabili.