Obiettivi del corso: Lo studente che abbia passato l'esame avrà una conoscenza rigorosa dei modelli probabilistici, in particolare dell'uso delle martingale per ottenere i principali teoremi limite.
PROGRAMMA DI MASSIMA DEL CORSO
1. Spazi di probabilità e valori attesi condizionati.
Spazi di misura e loro proprietà. Eventi. Lemma di Borel-Cantelli e definizioni di limite superiore ed inferiore per eventi. Variabili aleatorie e sigma-algebre generate dalle variabili aleatorie. Rappresentazione di Skorokhod. Indipendenza delle sigma-algebre. Definizione di sigma-algebra coda e legge 0-1 di Kolmogorov. Valore atteso: disuguaglianza di Jensen, disuguaglianza di Schwarz, di Holder e Minkowski. Legge dei grandi numeri per variabili con momento quarto limitato. Valore atteso condizionato.
2. Martingale.
Martingale e teorema di convergenza di Doob. Martingale arrestate e Teorema dell'Optional Stopping Time. Martingale e giochi equi. Martigale in L^2 e leggi forti dei grandi numeri. Uniforme integrabilità. Martingale uniformemente integrabili.
Fine del programma per gli studenti che sostengono l'esame da 6 crediti.
3. Convergenza in legge.
Funzione Caratteristica. Convergenza debole. Tightness. Teorema di Levy per la convergenza delle funzioni caratteristiche. Teorema del limite centrale. Un primo risultato di grandi deviazioni: il Teorema di Cramer.
Testo consigliato:
Williams Probability with Martingales (Cambridge University Press, 1991). Altro materiale didattico verrà indicato quando gli argomenti non seguiranno il libro di testo.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%
- Docente: Giovanna Nappo
- Docente: Giovanna Nappo