Analisi (2020-21) FISICA, (Canale A-C)

Programma

1. Numeri reali.

Rappresentazione geometrica. Operazioni, ordinamento. Intervalli. Struttura metrica: il modulo e le sue proprietà. Insiemi limitati, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Gli assiomi dei numeri reali: Archimede e gli intervalli incapsulati.

2. Funzioni reali di variabile reale.

Dominio e codominio, iniettività e suriettività, composizione ed inversione, restrizioni ed estensioni. Funzioni reali di variabile reale. Grafici di funzione e operazioni elementari su grafici. Richiami sulle funzioni elementari: i polinomi, le funzioni razionali, il modulo, le funzioni trigonometriche, l'esponenziale. Composizione e inversione di funzioni. Funzioni invertibili e funzioni monotone. Inverse di potenze, funzioni trigonometriche ed esponenziali.

3. Successioni e serie.

Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Proprietà delle successioni convergenti: combinazioni lineari, prodotti, operazioni razionali. Successioni divergenti ed oscillanti. Monotonia del limite. Forme indeterminate. Confronto di infiniti. Successioni monotone: caratterizzazione del limite in termini di estremo superiore/inferiore. Serie numeriche: definizione e convergenza. Linearità. Condizione necessaria. Serie a termini positivi. La serie geometrica, la serie armonica generalizzata. Criterio di confronto e del confronto asintotico. Serie a segno qualsiasi. Una condizione sufficiente per la convergenza: la convergenza assoluta. La serie esponenziale.

4. Limiti e continuità.

Limiti di funzioni: definizione, esempi e controesempi. Operazioni con i limiti. Monotonia del limite. Teorema del confronto per i limiti di funzioni. Teorema ponte e criterio di non esistenza. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Limite destro e sinistro. Confronto di infiniti e di infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Classi di funzioni continue ed esempi di funzioni discontinue. Teorema dei valori intermedi e teorema di esistenza degli zeri. Problemi di massimo e minimo su intervalli chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass.

5. Calcolo differenziale in una variabile.

Definizione di derivata. Generazione di funzioni derivabili: combinazioni lineari, prodotti, rapporti, composizione e inversione. Teorema di Rolle, teorema di Lagrange e teorema di Cauchy. Funzioni a derivata positiva, negativa, nulla. Punti stazionari, punti di massimo e minimo locale. Criteri di convessità per funzioni derivabili una volta e per funzioni derivabili due volte. Problemi di massimo e minimo su intervalli illimitati. Ordine di infinito e ordine di infinitesimo. I simboli di Landau.
Teorema di de L'Hôpital. Polinomio di Taylor: definizione, proprietà, resto. Espressione del resto in forma di Lagrange.

6. Integrali.

Problema del calcolo delle aree. Integrale definito. Proprietà dell'integrale: linearità, additività e monotonia. Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni Lipschitziane. Funzioni integrali: definizione e lipschitzianità. Le primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo degli integrali indefiniti. Integrali elementari. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di funzioni razionali.

7. Equazioni differenziali lineari.

Equazioni lineari del primo ordine con coefficiente costante. Numeri complessi: definizione di base. Formula di Eulero per l'esponenziale complesso. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Caso omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di due soluzioni linearmente indipendenti. Caso non omogeneo: struttura dell'insieme delle soluzioni, determinazione di una soluzione particolare attraverso il metodo di analogia. Caso di forzanti polinomiali, esponenziali, trigonometriche. Risonanza.

8. Funzioni di più variabili.

Struttura vettoriale di R^d, norma e sua proprietà e distanza euclidea. Successioni di punti e nozione di convergenza. Legame tra la convergenza in R^d e la convergenza in R. Curve in R^d. Continuità e derivabilità. Vettore velocità. Grafico di una funzione di più variabili. Insiemi di livello. Continuità di funzioni di più variabili. Calcolo differenziale: derivate parziali, derivate direzionali. Punti stazionari e condizione necessaria per punti di massimo e minimo relativo. Eventuali cenni su derivate successive e matrice Hessiana.