###### 1) Sia $X_1, \ldots, X_n$ un campione i.i.d. da $N(\theta,2)$ di dimensione $n=10$. Considerare il $\textit{midrange campionario}$:

# $$M(\textbf{X}_n)= \frac{X_{(n)}+X_{(1)}}{2}$$
#   Supporre che $\theta=2$ e utilizzare un numero sufficiente di simulazioni della statistica campionaria per approssimare 
stat.camp <- function(x.oss, n){
  M.x <- (max(x.oss)-min(x.oss))/2
  return(M.x)
}
n.1=10
nrep=1000
matrice.norm <- matrix(rnorm(n*nrep, mean=2, sd=sqrt(2)), ncol=n.1)
sim.stat <- apply(matrice, 1, stat.camp)
View(sim.stat)
# a) la distribuzione della statistica campionaria $M(\textbf{X}_n)$ per $\theta=2$
hist(sim.stat, freq=F)
# b) il valore atteso di $M(\textbf{X}_n)$;
val.atteso <- mean(sim.stat)
# c) la varianza di $M(\textbf{X}_n)$;
sd.stat <- sd(sim.stat)
varianza <- (sd.stat)^2
# d)  il quantile di livello 0.75 delle distribuzione campionaria di $M(\textbf{X}_n)$;
quantile(sim.stat, probs=0.75)
# e) la probabilità $\Pr(M(\textbf{X}_n)<1)$.
p.stat.min.1 <- sum(sim.stat<1)/nrep

# ###### 2) 
# Sia $X_1, \ldots, X_n$ un campione i.i.d. da $Cauchy(\mbox{posizione}=2,\mbox{scala}=\theta)$ di dimensione $n=15$.
# Si consideri il sistema di ipotesi
# $$H_0: \theta=1 \qquad H_1: \theta=2.$$
#   Si consideri la regione di accettazione del test
# $$A=\left\{ \textbf{x}_n \in \mathcal{X}^n: \frac 1n \sum_{i = 1}^nx_i^2 < 1.8 \right\} $$
n.2=15
theta.0 <- 1
theta.1 <- 2
matrice.cauchy.0 <- matrix(rcauchy(n.2*nrep, location=2, scale=1))
stat.test <- function(x.oss){
  stat <- sum((x.oss)^2)/length(x.oss)
  return(stat)
}
# a) Rappresentare graficamente la funzione di densità di $X_i$
curve(dcauchy(x, location=2, scale=1), from=0, to=5, col="red")
curve(dcauchy(x, location=2, scale=2), from=0, to=5, col="blue", main="distribuzione Cauchy con scale =1 col red /n distribuzione di Cauchy con scale=2 col blue", add=T)
# b) Utilizzare un numero sufficiente di simulazioni della statistica campionaria 
#    per approssimare la probabilità di errore di I tipo;
sim.stat.test <-apply(matrice.cauchy.0, 1, stat.test)
count=0
for(i in 1:nrep){
  if(sim.stat.test[i] <= 1.8){
    count=count+1
  }else{
    count=count
  }
}
prob.1.specie <- count/nrep
# c) Utilizzare un numero sufficiente di simulazioni della statistica campionaria 
#    per approssimare la probabilità di errore di II tipo;
matrice.cauchy.1 <- matrix(rcauchy(n.2*nrep, location=2, scale=2))
sim.stat.test <-apply(matrice.cauchy.1, 1, stat.test)
count=1
for(i in 1:nrep){
  if(sim.stat.test[i] <= 1.8){
    count=count+1
  }else{
    count=count
  }
}
pot.test <- count/nrep
prob.2.specie <- 1-pot.test
# d) Utilizzare un numero sufficiente di simulazioni della statistica campionaria per approssimare la potenza del test.
pot.test

# ###### 3)  Sia $X_1, \ldots, X_n$ un campione i.i.d. da $Exp(\theta)$ di dimensione $n=20$.
# Si consideri l'intervallo aleatorio basato sulla mediana campionaria:
# $$ C(\textbf{X}_n)=\left[\frac{1}{2}Med(\textbf{X}_n), 2 Med(\textbf{X}_n)\right].$$
# Valutare approssimativamente attraverso simulazioni la probabilità di copertura dell'intervallo assumendo $\theta=1$.

n=20
nrep=1000
matrice.exp <- matrix(rexp(n*nrep, rate=1), ncol=n)
sim.med <- apply(matrice.exp, 1, median)
IC <- matrix(NA, nrow=nrep, ncol=2)
copre.si.no <- rep(NA, nrep)
for(i in 1:nrep){
  IC[i,1] <- sim.med[i]*0.5
  IC[i,2] <- sim.med[i]*2
  ifelse(1>=IC[i,1] & 1<=IC[i,2], copre.si.no[i]<-1, copre.si.no[i]<-0)
}
mean(copre.si.no)


# Seconda Parte
# Modello Normale vincolato
# I seguenti dati indicano il numero di azioni vendute in un giorno per alcune aziende sul mercato di Londra:
# xoss = c(140, 210,  200,  315,  350,  500,  156,  240,  120,  123,  280,  120,  135,  187,  155)
# Assumendo che si tratti di un campione casuale da $N(\theta, \sigma^2)$, risolvere i seguenti quesiti:
#   
# a) Calcolare l'intervallo di confidenza all' 90$\%$ per $\theta$.
x.oss = c(140, 210, 200, 315, 350, 500, 156, 240, 120, 123, 280, 120, 135, 187, 155)
oo <- t.test(x.oss, alternative="two.sided", conf.level=0.90)
str(oo)
int.conf <- oo$conf.int
# b) Stabilire se si può accettare l'ipotesi nulla che $\theta=150$ contro ipotesi alternativa bilaterale per un test di ampiezza 0.1.
ifelse(0.10 > oo$p.value, "rifiuto H0", "accetto H0")
  #rifiuto H0
# c) Calcolare il p-value per il suddetto test.
oo$p.value
# d) Calcolare il valore della statistica test.
oo$statistic
# e) Condurre un test con ipotesi alternativa $\theta<150$ e stabilire se si può accettare l'ipotesi nulla assumendo $\alpha=0.1$.
bb <- t.test(x.oss, alternative="less", conf.level=0.99)