CORSO DI ANALISI VETTORIALE 2014/15 - PROGRAMMA DI ESAME

Funzioni di più variabili. Insiemi di definizione. Punti di accumulazione, definizione di limite. Funzioni continue: definizione, esempi e controesempi.
Derivate direzionali, definizione di differenziabilità, piano tangente al grafico, formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde ed enunciato del Teorema di Schwarz.
Permanenza del segno; insieme compatti per successioni; Teorema di Weierstrass.
Formula di Taylor in più variabili. Condizioni di estremalità locale del II ordine.

Teorema di Dini (teorema delle funzioni implicite) scalare nel piano. Teorema di Dini scalare nello spazio. Teorema di Dini per sistemi 2x3, 2x4 e superiori.
Estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Invertibilità locale delle trasformazioni del piano; rappresentazioni parametriche delle superfici, piani tangenti e vettori normali.

Curve: Curve parametrizzate. Sostegno di una curva. Curve semplici,
chiuse. Curve di Jordan. Curve regolari. Esempi. Vettore velocità, versore tangente. Lunghezza di una curva C^1 a tratti e formula per il calcolo. Integrali curvilinei di una funzione scalare (integrali curvilinei di 1^a specie). Forme differenziali lineari e integrali curvilinei di forme differenziali (integrali curvilinei di 2^a specie). Lavoro di campi vettoriali. Forme differenziali esatte, funzione primitiva (o potenziale) di una forma differenziale esatta. Integrali di forme differenziali esatte. Campi vettoriali conservativi. Forme differenziali chiuse. Rotore di un campo vettoriale. Campi vettoriali irrotazionali. Insiemi semplicementi connessi. Relazione tra forme differenziali esatte e chiuse. Forme differenziali chiuse in un insieme piano con una lacuna.

Integrale di Riemann per funzioni limitate e continue con un numero finito di discontinuità. Integrali impropri; criterio del confronto per integrandi non negativi; convergenza assoluta o condizionata. Confronto tra integrali impropri e serie. 

Successioni uniformemente convergenti e continuità della funzione limite.
Continuità e derivabilità degli integrali di Riemann o impropri dipendenti da un parametro. Convergenza di serie di funzioni: puntuale, uniforme, assoluta, totale. Serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza, serie delle derivate. Serie di Taylor. 

Definizione dell'integrale di Riemann in 2 variabili. Integrazione sui rettangoli e formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan. Domini normali.
Proprietà degli integrali doppi; calcolo di aree elementari  con l'integrazione su domini normali. Integrabilità. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi. Esempi.
Integrali tripli e formule di riduzione.
Misura di Peano-Jordan e integrabilità delle funzioni continue e limitate sugli insiemi PJ-misurabili dello spazio.
Cambiamenti di variabili negli integrali tripli. Integrali impropri doppi e tripli. Coordinate cilindriche e sferiche. Teorema di Guldino per il volume dei
solidi di rotazione.

Illustrazione della formula di Gauss-Green.
Dimostrazione della formula di Gauss-Green.
Area di una superficie, integrali superficiali, Teorema di Stokes in 3 dimensioni.
Teorema della divergenza in 3 dimensioni.

Superfici regolari. Piano tangente, versore normale. Esempi. Superfici orientabili. Superfici con bordo e orientazione del bordo. Area di una
superficie. Teorema di Guldino per l'area delle superfici di rotazione. Integrali di
superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Formule di Gauss-Green nel piano. divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza nel piano. Formula di Stokes nel piano, e sua applicazione al problema dell'esattezza delle forme differenziali.
Formule per il calcolo dell'area di domini piani. Teorema di Stokes nello spazio (s.d.). Teorema della divergenza nello spazio (s.d.).

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Libro di testo consigliato:

* V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini: Analisi Matematica, Vol. 2 - Apogeo ed.

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