Docenti [orario di ricevimento]:

Luca Leuzzi [Lunedì 16:30-18:30, stanza 313 - edificio Marconi]

Andrea Puglisi []

Orario di lezione:

Lunedì 14-16, Aula 5, Edificio Fermi

Mercoledì 14-16, Aula 5, Edificio Fermi

Programma:

Introduzione al corso - Movimento Browniano: trattazione di Einstein (soluzione dell'equazione di diffusione) e equazione di Langevin. Trattazione naif delle equazioni stocastiche.

Introduzione al concetto di eventi casuali e probabilità. - Assiomi della probabilità e loro illustrazione. - Probabilità congiunta e condizionata. - Diverse definizioni del concetto di probabilità: classica, frequentista, soggettiva.

Distribuzione e densità di probabilità- Valori medi - Media e varianza di una variabile random scalare. - Momenti generalizzati, correlazione e covarianza di variabili random vettoriali.

Significato dei concetti di dipendenza e correlazione statistica. - Funzione caratteristica e funzione generatrice dei momenti. - Distribuzioni binomiale, di Poisson e Gaussiana.

Funzione caratteristica di distribuzioni di probabilità - Funzione caratteristica di per le funzioni di correlazione. 

Tipi di convergenza in probabilità: quasi certa, in media quadratica, in probabilità ed in distribuzione. Legge dei grandi numeri debole per variabili correlate e dimostrazione. Enunciato legge dei grandi numeri forte.

Teorema del limite centrale (TLC) per variabili i.i.d. a varianza finita e dimostrazione. Validità del TLC per variabili correlate. Teorema limite per variabili i.i.d. con distribuzione a potenza.

Catene di Markov (CdM). Definizione di distribuzione di probabilità degli stati ad un dato tempo e di probabilità di transizione tra stati. Classificazione degli stati di una CdM. Proprietà generali di ricorrenza, transitorietà e periodicità degli stati di una CdM. Separabilità e irriducibilità di una catena di Markov. Catena di Markov stazionaria. Teoremi sull'esistemza della soluzione stazionaria e significato. Significato di autovalori ed autovettori della matrice di transizione.

Teorema ergodico per CdM finite. Introduzione ai processi stocastici in tempo continuo. Processi stocastici stazionari. Master equation per processi Markoviani di salto in tempo continuo. 

Equazione integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato. Equazione di Fokker Planck. Equazione backward integro-differenziale di Chapman - Kolmogorov e suo significato.

Processi stocastici Markoviani stazionari ed omogenei. Condizioni di asintoticità della soluzione stazionaria.

Funzione di correlazione a due tempi e spettro di potenza per processi Markoviani. Processo di Wiener e processo di Ornstein-Uhlenbeck.

Processo di Wiener "w" e sue proprieta', problema generale dell'integrazione stocastica, integrale stocastico alla Ito, funzioni non-anticipant.

Proprieta' dell'integrale di Ito (ordine del differenziale dw, regola di differenziazione di Ito per funzioni di w, media, correlazione temporale), calcolo di int(w dw); equazione differenziale stocastica, formula di ito general.

Derivazione dell'eq. di Fokker-Planck dall'eq. diff. stoc., caso multivariato, integrale di Stratonovich e sue proprieta', differenze (e relazioni) di integrazione tra ito e Stratonovich, regola di differenziazione di Stratonovich.

Esempi di equaz. diff. stoc.: sde totalmente omogenea, sde moltiplicativa lineare, (ito e stratonovich), sde di Ornstein Uhlenbeck (e spiegazione dei problemi fisici attinenti: velocita' del moto Browniano, posizione del moto overdampato in buca armonica)

Definizione di processo omogeneo, stazionario ed ergodico e condizione di ergodicita', Scrittura dell'eq. di Fokker-Planck come eq. di continuita' e significato della corrente di probabilita', condizioni al contorno tipiche, soluzione stazionaria in una dimensione (omogenea) con corrente nulla e non nulla

Esempi di sol. stazionarie di eq. di Fokker-Planck in 1d: Ornstein-Uhlenbeck, equaz della sedimentazione con cond. riflettente o periodica; non-hermitianita' dell'operatore di Fokker-Planck, operatore ausiliario hermitiano, autovalori positivi, completezz.

Soluzione generale time-dependent in 1d come sovrapposizione di autofunzioni, prob. congiunta con corrente nulla, autocorrelazione con corrente nulla, equivalenza con Sturm-Liouville/Schroedinger, esempi di soluzione alle autofunzioni: wiener con barriere riflettenti o assorbent.

Esempio di Ornstein-Uhlenbeck con metodo alle autofunzioni (equivalenza con oscillatore armonico quantistico); problema generale dei tempi di primo passaggio e formula per il tempo medio.

Tempo di prima uscita da una buca con barriera finita (legge di Arrhenius), ornstein-uhlenbeck multivariato (covarianza e correlazioni stazionarie), potenziale che non genera la forzanon nulla).

Problema generale dei processi multivariati (corrente non nulla): parte simmetrizzabile e antisimmetrizzabile del drift, della corrente e dell'operatore; parte reversibile e irreversibile del drift, della corrente e dell'operatore; condizione di bilancio dettagliato per processi continui.

Condizione di bil. dett. per Ornstein-Uhlenbeck (relazioni di Onsager); esempio di sist. al bilancio dettagliato: Klein-Kramers; cenni di teoria della risposta lineare e applicazione ai processi Markoviani continui.

Teorema d Fluttuazione dissipazione generalizzato per processi continui. Esempi di applicazioni.